시간불변성계통

결정론적 연속 시간 SISO 시스템의 시간 불변성을 나타내는 블록 다이어그램. The system is time-invariant if and only if

y_{2}(t)=y_{1}(t-t_{0})

for all time

t

, for all real constant

t_{0}

and for all input

x_{1}(t)

.^[1]^[2]^[3] Click image to expand it.

시간 변이성(TIV) 시스템은 시간의 직접적인 함수가 아닌 시간에 의존하는 시스템 기능을 가지고 있다. 그러한 시스템은 시스템 분석 분야에서 시스템의 한 종류로 간주된다. 시간 의존적 시스템 함수는 시간 의존적 입력 함수의 함수다. 만약 이 기능이 (예를 들어, 입력 기능을 통해) 시간 영역에만 간접적으로 의존한다면, 그것은 시간 변동을 고려한 시스템이다. 반대로, 시스템 기능의 시간영역에 대한 직접적인 의존은 "시간변동 시스템"으로 간주될 수 있다.

수학적으로 말하면, 시스템의 "시간-invariance"는 다음과 같은 성질이다.^[4]^{: p. 50}

Given a system with a time-dependent output function $y(t),$ and a time-dependent input function $x(t);$ the system will be considered time-invariant if a time-delay on the input $x(t+\delta )$ directly equates to a time-delay of the output $y(t+\delta )$ $y(t+\delta )$ ) ${\displaystyle$ y $(t+\properties )}$ 함수 $y(t+\delta )$ . 예를 들어, $시간$ t ${\displaystyle$ t}이 $t$ ( $x(t)$ ) "만료 시간"인 경우, "시간 invariance"는 입력 $x(t)$ x $x(t)$ ( t $x(t)$ ) ${\$ $displaystyle$ $x($ $t)}$ 과 $x(t)$ 출력 $y(t)$ y $y(t)$ ( $)$ 사이의 관계가 $시간$ t ${\displaystyt}$ 에 대해 일정하다는 $y(t)$ 것을 의미한다 $t$

[\displaystyle y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)]=f(x(t)].}

신호 처리 언어에서, 이 속성은 입력과 출력에 의해 표현되는 것을 제외하고 시스템의 전송 기능이 시간의 직접적인 함수가 아닌 경우에 충족될 수 있다.

시스템 개략도의 맥락에서 이 속성은 오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이 다음과 같이 명시될 수도 있다.

시스템이 시간 변동을 일으키면 시스템 블록은 임의의 지연으로 통근한다.

시간변수계통도 선형이라면 NMR 분광학, 지진학, 회로, 신호처리, 제어이론, 기타 기술 영역에서 직접 응용이 가능한 선형시간변수 이론(선형 시간변수 이론)의 대상이다. 비선형 시간 변이 시스템은 포괄적이고 지배적인 이론이 결여되어 있다. 이산형 시간 변이 시스템을 시프트 변이 시스템이라고 한다. 시간 변이성이 없는 시스템은 시간 변이 시스템으로 연구된다.

간단한 예

시스템이 시간에 따라 달라지는지 확인하는 방법을 시연하려면 다음 두 시스템을 고려하십시오.

시스템 A: $y(t)=tx(t)$ $y(t)=tx(t)$ ) $y(t)=tx(t)$ = $y(t)=tx(t)$ $y(t)=tx(t)$ ( $y(t)=tx(t)$ ) ${\displaystyle$ y $(t)=tx(t)}$
시스템 B: $y(t)=10x(t)$ ( $y(t)=10x(t)$ ) $y(t)=10x(t)$ = $y(t)=10x(t)$ x $y(t)=10x(t)$ ( $y(t)=10x(t)$ ) ${\displaystyle$ y $(t)=10x(t)}$

시스템 A에 대한 $y(t)$ 시스템 $y(t)$ y $y(t)$ ( t $y(t)$ ) $y(t)$ 은(는) $x(t)$ ( $x(t)$ ) {\ $displaystyle$ x( $t)}$ 을(를) 제외한 t에 명시적으로 의존하므로 $x(t)$ 시간 의존성이 명시적으로 입력 함수의 함수가 아니기 때문에 시간 변동성이 없다.

이와는 대조적으로 $x(t)$ B의 시간 의존성은 시간 변동 입력 $x(t)$ ( t $x(t)$ ) ${\displaystyle$ x $(t)}$ 의 함수일 뿐이다 $x(t)$ 이것은 시스템 B를 시간-불변하게 만든다.

아래의 공식 예는 시스템 B가 시간의 함수로써 시프트-인바리안트 시스템인 반면, 시스템 A는 그렇지 않다는 것을 더 자세히 보여준다.

형식적 예

위의 시스템 A와 B가 다른 이유에 대한 보다 공식적인 증거가 제시되었다. 이 증거를 수행하기 위해 두 번째 정의가 사용될 것이다.

시스템 A: 입력 x

x_{d}(t)=x(t+\delta )

x_{d}(t)=x(t+\delta )

)

x_{d}(t)=x(t+\delta )

=

x_{d}(t)=x(t+\delta )

( t

x_{d}(t)=x(t+\delta )

+

x_{d}(t)=x(t+\delta )

)

{\dplaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}

의 지연으로 시작

[\displaystyle y(t)=tx(t)}

y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\properties )

이제 출력을

\delta

\delta

만큼 지연시키십시오.

[\displaystyle y(t)=tx(t)}

y_{2}(t)=y(t+\properties )=(t+\properties )x(t+\properties )

분명히

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

(

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

)

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

(

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

)

{\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t

따라서 시스템은 시간상 변동성이 없다.

시스템 B: 입력 x

x_{d}(t)=x(t+\delta )

t

x_{d}(t)=x(t+\delta )

)

x_{d}(t)=x(t+\delta )

= x

x_{d}(t)=x(t+\delta )

(

x_{d}(t)=x(t+\delta )

+

x_{d}(t)=x(t+\delta )

)

{\dplaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}

의 지연으로 시작

y(t)=10x(t)

y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\properties )

이제 출력을

\delta

\delta

만큼 지연시키십시오.

y(t)=10x(t)

y_{2}(t)=y(t+\properties )=10x(t+\properties )

분명히

y_{1}(t)=y_{2}(t)

y_{1}(t)=y_{2}(t)

( t

y_{1}(t)=y_{2}(t)

)

y_{1}(t)=y_{2}(t)

=

y_{1}(t)=y_{2}(t)

y_{1}(t)=y_{2}(t)

( t

y_{1}(t)=y_{2}(t)

)

{\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t

따라서 시스템은 시간적으로 변한다.

보다 일반적으로, 입력과 출력 사이의 관계는

y(t)=f(x(t),t)

그리고 시간에 따른 그것의

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}={\frac {\frac}{\frac}{\fract f}{\mathrm {d}{d}}t}}}.

시간 변이성 시스템의 경우 시스템 속성은 시간에 따라 일정하게 유지되며,

{\frac {\properties f}{\put t}=0.

위의 시스템 A 및 B에 적용됨:

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

=

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

(

t

)

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

∂ f ∂

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

=

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

(

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

)

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

{\displaystyle f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\prac

{\partial

f_{A}}}{\partial

t

}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

일반적으로

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

시간상자

는 아니다

.

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

=

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

x

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

(

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

)

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

= 0

{\displaystyle f_{B}=10x(t)=\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}}{\partial

t

}=0}

따라서

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

시간상반환이다.

추상적 예

우리는 Tr{\displaystyle \mathb{T}수 있다 나타낼. 여기서 r{r\displaystyle}은 벡터의 인덱스 세트를 이동해야 하는 양이다시프트 연산자를 _{r}로. 예를 들어, "선급별" 시스템

x(t+1)=\display(t+1)*x(t)

이 추상적 표기법으로 나타낼 수 있다.

{\tilde{x}_{1}=\mathb {T} _{1}{\tilde {x}

여기서 ${\tilde {x}}$ ~ ${\$ 은(는) 다음이 제공하는 함수임 ${\tilde {x}}$

{\tilde{x}=x(t)\forall t\in \mathb {R}

시스템이 변화된 출력을 내므로.

{\tilde{x}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathb {R}

그래서 $\mathbb {T} _{1}$ $\mathbb {T} _{1}$ ${\$ }는 $\mathbb {T} _{1}$ 입력 벡터를 1만큼 진척시키는 연산자다.

연산자 $\mathbb {H}$ ${\$ 에 의한 시스템을 나타낸다고 가정합시다 $\mathbb {H}$ 이 시스템은 교대조 연산자와 통근하는 경우, 즉, 시간 변동을 일으킨다.

\mathb {T} _{r}\mathb {H} =\mathb {T} \mathb {T} _{r}\all r

만약 우리의 시스템 방정식이 다음에 의해 주어진다면

{\tilde {y}=\mathb {H} {\tilde {x}

then it is time-invariant if we can apply the system operator $\mathbb {H}$ on ${\tilde {x}}$ followed by the shift operator $\mathbb {T} _{r}$ , or we can apply the shift operator $\mathbb {T} _{r}$ followed by the system operaTor $\mathbb {H}$ ${\$ $\mathbb {H}$ 두 계산에서 동등한 결과가 나온다.

시스템 운영자를 먼저 적용하면

\mathb {T} _{r}\mathb {H} {\tilde {x}=\mathb {T} _{r}{\tilde {y}={\tilde{y}}_{\tilde}}_{}}}}}}}}}

시프트 오퍼레이터를 먼저 적용하면

\mathb {H} \mathb {T} _{r}{{r}{\tilde{x}=\mathb {H}{\tilde{x}_{r}}

시스템이 시간 변동을 일으키면

\mathb {H} {\tilde {x}_{r}={\tilde {y}_{r}}

참고 항목

참조

^ Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. p. 28. ISBN 0-387-23488-8.
^ Sundararajan, D. (2008). A Practical Approach to Signals and Systems. Wiley. p. 81. ISBN 978-0-470-82353-8.
^ Roberts, Michael J. (2018). Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® (3 ed.). McGraw-Hill. p. 132. ISBN 978-0-07-802812-0.
^ Oppenheim, Alan; Willsky, Alan (1997). Signals and Systems (second ed.). Prentice Hall.

[Bessai_2005-1] Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. p. 28. ISBN 0-387-23488-8.

[Sundararajan_2008-2] Sundararajan, D. (2008). A Practical Approach to Signals and Systems. Wiley. p. 81. ISBN 978-0-470-82353-8.

[Roberts_2018-3] Roberts, Michael J. (2018). Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® (3 ed.). McGraw-Hill. p. 132. ISBN 978-0-07-802812-0.

[4] Oppenheim, Alan; Willsky, Alan (1997). Signals and Systems (second ed.). Prentice Hall.

[1]

[2]

[3]

[4]

Search

시간불변성계통

네임스페이스

더

목차

간단한 예

형식적 예

추상적 예

참고 항목

참조