에르데스-울람 문제

수학에서 Erdős-Ulam 문제는 평면에 유클리드 거리가 모두 합리적인 숫자인 점들의 밀집된 집합이 포함되어 있는지 여부를 묻는다.폴 에르드스와 스타니슬라프 울람의 이름을 따서 지어졌다.

합리적인 거리를 가진 큰 점 세트

Erdős-Anning 정리에서는 정수 거리를 갖는 점 집합이 유한하거나 단일 선에 놓여 있어야 한다고 명시하고 있다.^[1]그러나 합리적인 거리를 가진 다른 무한대의 점 집합이 있다.예를 들어, 단위 원에서는 S를 점 집합으로 한다.

$(\displaystyle)(\cos \theta ,\sin \theta )}$

여기서 ${\displaystyle \theta}$은(는$)$ ${\displaystyle \mathrm{황갈색}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$[\$displaystyle \tan {\tfrac {\teta }{4}}}}$을(를) 합리적인 숫자로 만드는$$ 값으로 제한된다$$.For each such point, both ${\displaystyle \sin {\tfrac {\theta }{2}}}$ and ${\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}}$ are themselves both rational, and if ${\displaystyle \theta }$ and ${\displaystyle \varphi }$ define two points in S, then their distance is the rational number

${\displaystyle \frac 2\sin {\frac {\theta }{2}}\coses {\frac-2}\parphi }{\frace {\parpi }}{2}}\cos {\frace}{}}}}}\cos {\frac {\ta}}}오른쪽.$

보다 일반적으로, 반지름 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ }이$($가) 있는 원은 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$가 이성적인$$ 경우에만 서로 합리적인 거리에 있는 점들의 밀도 세트를 포함한다$$.^[2]그러나 이들 세트는 원형에만 밀도가 높을 뿐 전체 비행기에 밀도가 없다.

이력 및 부분 결과

1946년 스타니슬라브 울람은 유클리드 평면의 밀집된 부분집합을 이루는 서로 합리적인 거리에 일련의 점들이 존재하는지 물었다.^[2]이 질문에 대한 답은 여전히 열려 있는 반면, 요세프 솔리모시와 프랑크 드 지우는 합리적인 거리에서 무한히 많은 점들을 포함하는 유일한 불가역 대수학 곡선은 선과 원이라는 것을 보여주었다.^[3]테렌스 타오와 자파르 샤파프는 봄비에리-랑 추측이 사실이라면 동일한 방법이 비행기의 합리적인 거리에 무한한 밀도의 점 집합이 없음을 보여줄 것이라고 독자적으로 관찰했다.^[4][5]헥터 파스텐은 다른 방법을 사용하여 abc 추측이 또한 Erdős-Ulam 문제에 대한 부정적인 해결책을 내포하고 있다는 것을 증명했다.^[6]

결과들

Erdős-Ulam 문제가 긍정적인 해결책을 가지고 있다면 Bombieri-Lang^[4][5] 추측과 abc 추측에 대한 백범례를 제공할 것이다.^[6]그것은 또한 모든 거리가 정수인 평면 그래프의 도면의 존재에 대한 하버트의 추측을 풀 것이다.고밀도 합리 거리 집합이 존재하는 경우 평면 그래프의 직선 도면은 이 집합의 점을 정점으로 사용하기 위해 소량(교차를 도입하지 않음) 변색된 다음 거리를 정수로 만들기 위해 크기를 조정할 수 있다.그러나 에르드스-울람 문제와 마찬가지로 하버드의 추측도 입증되지 않은 채로 남아 있다.

참조