시겔 제로

수학에서 일반 리만 가설에 잠재적 반증의 디리클레 L-functions의 02차 번호로 연관에, 더 구체적으로 분석적 정수론, Landau–Siegel 0이나 단순히 시에 겔 0(또한 뛰어난 zero[1]으로 알려져), 에드문트 란다우와 칼 루드비히 시겔의 이름을 딴 분야에서의 한 종류. 에잇lds. 대략적으로, 이것들은 (정량화할 수 있는 의미로는) s = 1에 매우 근접할 수 있는 0이다.

동기부여와 정의

디리클레 L 기능 이론에서 시겔 0이 나타나는 방식은 고전적인 제로 프리 영역에 대한 잠재적 예외로서, L 기능이 실제 디리클레 문자와 연관되어 있을 때만 발생할 수 있다.

진짜 원시 디리클레 문자

정수 q ≥ 1의 경우 Dirichlet 문자 modulo q는 $다음$ 속성을 충족하는$$ 산술 함수 :$$: $Z\mathbb{}$→ $C\mathbb{}$ ${\$이다$.$

• (완전 승수) χ$$( $m$ $n$)$$= $\chi$( $m$) $\chi$( n$$) ${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)},$ n;
• (주기적) χ$$($n$+ $q$)$$= $\chi$( $n$) ${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)};$
• ($\mathrm{지원}$) $\mathrm{\chi }$( n$$)$$= 0 ${\textstyle \chi (n)=0}$ 만약$$ ,)> ${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1$

즉, χ은 호모형성 $\chi \stackrel{}{}$~$$: $({\mathbb{}}^{}$/ $q\mathbb{}$ Z${}^{}$) ${\times }^{}$→ C ${}^{}$ ${\$을 들어 올리는 것이다$.$

The trivial character is the character modulo 1, and the principal character modulo q, denoted ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$, is the lifting of the trivial homomorphism ${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$$$. A character ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ is called imprimitive if there exists some integer ${\textstyle d\neq q}$ with ${\textstyle d\mid q}$ such that the induced homomorphism ${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\$$mathbb {Z}^{\time }\to \mathb {C} ^{*}}}$인자를$$ 다음과 같이 입력하십시오.

${\displaystyle(\mathb {Z} /q\mathb {Z} )^{\time }\mathb {Z}/d\mathb {Z}^{\time }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}\mathb {C}^{*}}}}}}}}}}}}}}$

일부 문자 $\chi {}^{}(m\mathrm{}$ $\mathrm{o}$ $d$) ${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod}~{d})$에 대해$$$otherwise$($m\mathrm{}\mathrm{o}$ d $q$ )${\textstyle \chi ~(\mathrm$ {$mod}~{q})$를 원시라고 한다.문자 $\chi$${\textstyle$$\chi$$}$이(가) 복잡한 결합상품 ${\$ $chi$$}}}$과($와$ 같으면 실제(또는 2차)이다$.$$={\overline {\chi (n)}}}$ $$$if{}^{}$ ${2\mathrm{}}^{}$= ${}_{}$ ${0\mathrm{}}_{}$ ${\$인 경우 동등하게$.$The real primitive Dirichlet characters are in one-to-one correspondence with the Kronecker symbols ${\textstyle (D \,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$ for ${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$ a fundamental discriminant (i.e., the discriminant of a quadratic number field).^[2]$(D$ $\cdot$) ${\textstyle ($D$\,\cdot \,)}$을(를) 정의하는 한 가지 방법은 (p prime에 대해)에 의해 결정되는 완전한 곱셈 산술 함수로 한다$$.

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots \\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots \end{cases}},\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.}$

따라서 $실제{}_{}$ 원시 문자 modulo $D$ $textstyle$$\chi _{D}=(D \,\cdot$ $\,$ $)\}$을(를) 쓰는 것이 일반적이다$.$

고전 제로 지역

그 디리클레 L-function 성격에 χ(m입니다 dq){\textstyle \chi ~(\mathrm{모드}~q)}를 디리클레 급수 나는(s, χ))∑ n≥ 1χ(n)ns−((n)n^{-s}}Re(s)을에 대해 정의된, 1{\textstyle \mathrm{리}(의 해석 접속 법.로 정의된다 연관시켰다.s)>$1)$여기서 s는 복합 변수다.$\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi }$ 비주류의$$ 경우 이 지속은 전체로, 그렇지 않으면 s = 1에 단순한$$ 잔류극 $\prod \underset{}{}$ $\underset{}{p}$ $\underset{}{\mid }$ $\underset{}{q}$( $1$- ${\mathrm{p}}^{}$- 1${}^{}$) ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})$을 유일한 특이점으로 가지고 있다.For ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$, Dirichlet L-functions can be expanded into an Euler product ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$, from where it follows that ${\textstyle L(s,\chi )}$ has no zeros in this region.산술 진행에 대한 소수 정리는 $L$($1$+ $i$ $t$ ,$\chi$)과 동등하다 (어떤 의미에서는) $\ne$ $0$ ${\textstyle$ L$(1+it,\chi )\neq$0$}$( $$($\mathrm{}$t $t\mathbb{}$t { R ${\$↦ 1− s{\textstyle s\mapsto 1-s}이, 같은 패리티 L(s, χ){L(s,\chi)\textstyle}의 χ,[3] 다른 모든 0로 부정적인 정수의 제외하고{0<>Re(s)<1}안에{){0<, \mathrm\displaystyle 있어야 한다는 결론을 내리는 것 게다가 함수 방정식을 통해, 우리가 다가오면서 이 지역 반영할 수 있다.{리}(s)< 1\}}}}}<<<<<<<>>>>><<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>><<<<<<<<<<<

zero-free 지역에(Grönwall,[4]Landau,[5]Titchmarsh[6])은 고전 정리 국가들이 a(n)(효과적으로 계산할 수 있는)실수 한 을이 존재한다;0{\textstyle A>0}L(s, χ){L(s,\chi)\textstyle}이,)σ+나는{\displaystyle s=\sigma +it}어 복잡한 변수가 s쓰기, 기능 등이 없0.이 지역에서

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{(\log q(t +2)}}}$

$\chi \text{(}m\mathrm{}$ $\mathrm{o}$ d $q$) ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$이(가) 비현실인 경우$\chi$ ${\textstyle \chi}$이(가) 진짜라면$$ 이 지역에는 최대 1개의 0이 존재하며, 이는 반드시 현실적이고 단순해야 한다.이 가능한 영은 이른바 시겔 영이다.

The Generalized Riemann Hypothesis (GRH) claims that for every ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$, all the non-trivial zeros of ${\textstyle L(s,\chi )}$ lie on the line ${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$.

"시겔 0" 정의

제시된 시겔 0의 정의는 0이 없는 지역의 상수 A와 연관된다.이것은 많은 상황에서 상수 A의 특정 가치는 거의 중요하지 않기 때문에 종종 이러한 대상들을 다루기 어렵게 만든다.^[1]따라서, 다음과 같은 0의 무한가족의 존재를 주장하거나 부인하거나, 보다 확실한 진술로 작업하는 것이 보통이다.

• 추측("no Siegel 0"):If ${\textstyle \beta _{D}}$ denotes the largest real zero of ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$, then ${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log D }}}$.

시겔 0의 존재 가능성 또는 비존재 가능성은 숫자 이론의 밀접하게 관련되는 주제에서 큰 영향을 미치는데, "노 시겔 0" 추측이 GRH를 더 약하지만 때로는 충분히 대체할 수 있는 역할을 한다(아래 예시에서는 시겔-타투자와의 정리 및 단수 문제 참조).명시적으로 0을 참조하지 않는 "no Siegel 0"의 등가 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}{L}(1,\chi _{D})=O(\log D).}$

등가성은 예를$$ 들어 특정 높이까지의 $L(s,$ $\chi$) ${\textstyle L(s,\chi )}$의 비경쟁적 0 수에 대한 0 영역과 고전적 추정치를 사용하여 추론할 수 있다.^[7]

란다우-시겔 추정치

이 0으로 처리하는 첫번째 돌파구 란다우, 보여 줬다에서 생긴 효과적으로 계산할 수 있는, 절대 상수 B을이 존재한다;0과 같이 만약χ D{\textstyle \chi_{D}}과χ D′ 뚜렷한 moduli에{\textstyle \chi_{D'}}가 진짜 원시적인 등장 인물, β, β′{\textstyle \beta ,\beta의} 왔다.$L$$(s$ ,${}_{}$ $D_{}$)$$, $L(s$ ,${}_{}$ ${D{}^{}}_{}$ ${{\prime }^{}}_{}$) ${\textstyle L(s,\chi _{D}), L(s,\chi _{D})$의 실제 0인 다음,

${\displaystyle \min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log DD'}}}$

이것은 시겔 0이 존재한다면, 너무 많을 수 없다는 것이다.이것이 증명되는 방법은 '뒤틀림' 주장을 통해서인데, 이 논거는 문제를 바이쿼트라틱 $필드\mathbb{}$ Q$$($D\sqrt{{}^{}},$ D $){\textstyle \mathb{Q} ({\sqrt{D},{\sqrt {D}}}}}}}}}$의 데데킨드 제타 기능으로 끌어올린다$.$이 기법은 여전히 현대 작품에 많이 적용되고 있다.

이 '반복 효과' (듀링- 참조)하일브론 현상), 더 세심한 분석 후마다 ε 을에 의하면 그의 1936년 theorem,[8]에;0{\textstyle \varepsilon>0}, C∈ R(ε)+{\textstyle C(\varepsilon)\in \mathbb{R}_{+}}과 L(s,χ D)의β{\beta\textstyle}은 진짜 0{\textstyle L(은 란다우를 이끌었다.s,\chi_{$D$ 그 다음 < 1- () - - ${\$ D $^{-{\frac{3}{8}}-\varepsilon }}}}}.$ 그러나 같은 해 같은 저널의 같은 호에서 Siegel은^[9] 이 추정치를 직접 개선했다

${\displaystyle \beta <1-C(\varepsilon ) D ^{-\barepsilon }$

$\mathrm{란도}$의 증명서와 시겔의 증명서는 $모두$ C ($)$ )$$∈ ${}_{}$+ ${\$ C $(\varepsilon )\in \mathb {R} _$를 계산할 수 있는 명시적인 방법을 제공하지 않기 때문에 비효율적인 결과의 예가 된다.

시겔-타투자와 정리

1951년, T. 타투자와는 어떤 된 0< < 1 2 <\$textstyle$ 0$<\varepsilon <{\frac {1}{11$}}에 대해 어떤 고정된 0 < 11.> $<\$textstyle 0>을 보여주면서 ^[10]시겔 정리의 '거의' 유효 버전을 증명했다$.$ > / ${\$ D $>e^{1/\varepsilon }}}.$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})0.655 D ^{-\barepsilon }}$

가능한 한 근본적인 차별을 제외하고.P. J. 와인버거(1973)는 ^[11]이 결과의 '대부분의 효과성'을 이용하여 오일러의 65개의 이단수 리스트가 대부분 하나의 원소를 제외하고 완성되어 있음을 보여주었다.

2차 필드와의 관계

시겔 0은 0이 없는 지역을 추론한다는 주장에서 인위적인 문제 이상이며, 사실 2차장 산술과 깊은 연관성을 누리고 있다.For instance, the identity ${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$ can be interpreted as the analytic formulation of quadratic reciprocity (see Artin reciprocity law §Statement in terms of L-functions).s = 1에 가까운 0의 분포와 산술 사이의 실제 연결은 디리클레트의 클래스 번호 공식에서 더 정확하게 나타난다.

${\displaystyle L(1,\chi _{D}={\begin{case}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt{}}}}}}}}}}}{\text{}}}}}D<0\[].5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}{\sqrt{D}\,h(D)}\\text{}{{}d},\case}}}}}$

여기서:

• $h$( $D$) ${\textstyle h(D)}$은(는) $Q\mathbb{}(D$) ${\textstyle \mathb {Q}({\sqrt{D})$의 이상적인 클래스 번호로$,$
• ${}_{}$W ${\$는 $Q\mathbb{}$($D$) ${\textstyle \mathb {Q}({\sqrt{$D$})}($D < 0);
• ${\epsilon }_{}$ $D_{}$ ${\$는 $Q\mathbb{}$ $(D\sqrt{}$ $)$ ${\textstyle \mathb {Q}({\sqrt{D}})}($D > 0)의 기본 단위다.

This way, estimates for the largest real zero of ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ can be translated into estimates for ${\textstyle L(1,\chi _{D})}$ (via, for example, the fact that ${\textstyle L'(\sigma ,\chi ) =O(\log ^{2}q)}$ for $1-\frac{1}{\log }$$\frac{q}{}\sigma$ ≤ $≤$ $1$ {\$textstyle$1-{\$frac {1$}{\$log$q}\$leq \sigma$ \sigma $\leq$ 1$})$^[12]의 추정치가 되며, 이는 다시 $h$($){\textstyle h(D)}$에 대한 추정치가 된다$.$ 사례 D > 0이 기본 단위와 관련된 추가적인 합병증을 가져오지만, 해당 주제에서 고전적인 세 양을 근본적으로 교환하여 취급한다.

시겔 0을 '양극적 현상'으로 나타냄

일반적으로 시겔 0의 현상과 관련된 난이도는 전적으로 2차 확장에 국한된다는 의식이 있다.It is a consequence of the Kronecker–Weber theorem, for example, that the Dedekind zeta function ${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:$$I]^{-$$s\mathbb{}$$}$ 아벨 숫자 $필드$ K$$/ Q ${\$은(는) Dirichlet L-functions의 제품으로 쓸 수 있다$$.^[13]Thus, if ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ has a Siegel zero, there must be some subfield ${\textstyle F\subseteq K}$ with ${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$ such that ${\textstyle \zeta _{F}(s)}$ has a Siegel zero.

비아벨리안 사례 ${\zeta }_{}$ K${}_{}$($s$ $)$ ${\textstyle \zeta _{K}}}$은(는) 더 복잡한 Artin L 기능에만 반영될 수 있지만$$, 동일한 것은 사실이다.

• 정리(Stark, 1974년).^[14]$K$/ $Q\mathbb{}$ ${\$을(를) n > 1의 숫자 필드로 한다$$.$K/Q\mathbb{}$ ${\$가) 정상이면$$$$ c$(n$ )${\$textstyle $c(n)}($$$= 4 ${\textstyle =4}),$$\mathrm{즉}$ 실제 $\beta$ ${\textstyle =4n!}$이(가$$) 범위에 있으면$$ 상수 $c$(=$4$\$textsty$)가 있다.

$1-{\frac {c(n)}{\log \Delta _{K}}}}\leq \beta <1$

with ${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$, then there is a quadratic subfield ${\textstyle F\subseteq K}$ such that ${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$. Here, ${\textstyle \Delta _{K}}$ is the field discriminant of the extension ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$.

D < 0에 대한 "No Siegel 0"

2차 영역을 다룰 때, 케이스 > ${\textstyle D>0}$은(는) 기본 단위의 동작으로 인해 이해하기 어려운 경향이 있다. 사례 < 0 ${\textstyle D<0}$과 > 0 ${\textstyle D>0}$을(를) 별도로 취급하는 것이 일반적이다.음성 판별 사례로는 훨씬 더 많이 알려져 있다.

h(D)에 대한 하한

1918년, 헤케는 < 0 >{\$textstyle$ D$<0}$에 대한 "no Siegel zero"가 h $(D)({}^{}$ $\sqrt{D}$ ($\log$ D )${}^{}$- 1 ${\$ h$(D)\g${\$sqrt{D}}}{-1}($비교는 클래스 번호 문제 참조)를 의미한다는 것을 보여주었다.$$^[5]이는 Granville-Stark(2000년)의 정리 3의 결과물이므로 동등성으로 확장할 수 있다.^[15]

${\displaystyle {\text{"}}D<0\quad \iff \iff \iff h(D)\g {\frac {\sqrt{D}}{{\log D}}\sum _{(a,b,c){\frac {1}{a},},}에 대한 "No Siegel 0"$

감소된 이진 2차 변수에 대한 합계가 $x$ ${2\mathrm{}}^{}$+ $b$ $x$ $x$ y$$+ c $y$ ${2\mathrm{}}^{}$ ${\$2}}의$$판별 D ${\textstyle$ D$}$를 형성하는 경우$.$ 이를 통해 그란빌과 스타크는 숫자 필드에 대한 abc 추측의 일정한 균일한 공식은 음의 판별에 대해 "시겔 0"을 함축하지 않음"을 내포하고 있음을 나타냈다.

1976년에 D. 골드펠드는^[16] 다음과 같은 무조건적이고 $\mathrm{효과적}$인 하한선을 h ($D$ $){\textstyle$h$(D)}$에 대해 증명했다$.$

${\displaystyle h(D)\gg \p\mid D}{{p\bigg (}{2-{\frac {2}sqrt{p}}{p+1}{\bigg )}\\log D.}$

복합 곱하기

< ${\textstyle D<0}$에 대한 "no Siegel 0"에 대한 또 다른 등가성은 단수 모듈리의 높이에 대한 상한 단위로 제공될 수 있다.

${\displaystyle h(\tau _{D})\ll \log D ,}$

여기서:

• $h$ ${\textstyle h}$은(는) 숫자 필드에 대한 절대 로그 naïve 높이입니다.
• $j$ ${\textstyle j}$은(는) j-변수함수;
• ${\tau }_{}$ $D_{}$ $:=$( $D\sqrt{}$+ $D$)$$/ $2\mathrm{}$ ${\textstyle \tau _{D}=(D+{\sqrt{D})/2$}$$$.$

숫자 $j$ (${}_{}$ $D_{}$) ${\textstyle$ j$(\tau _{D}}$은(는) Q$$($$D )$${\$textstyle \mathbb{Q}({\sqrt{$D})}의 Hilbert 클래스 필드를$$ 생성하며$,$ 이는 최대 미RAM 확장이다.^[17]이러한 동등성은 그란빌-스타크(2000년)에서의 결과의 직접적인 결과로서 C에서 볼 수 있다.^[15]타풀라(2019년).^[18]

높이와 L 기능 값 사이의 정확한 관계는 P가 얻었다. Colmez(1993,^[19] 1998^[20]), Z [$\tau \mathbb{}$ D ${}_{}$ {\$textstyle E_{D}/\mathb {C}$에 대한 복잡한 곱셈이 있는$$ 타원 곡선 $E{}_{}$ $D_{}C$에 대해 [ ${}_{}$ $D_{}$ ] ${\textyle \mathb {Z}[\tau _{D}]]$가 있다는 것을 보여 주었다$.$

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal}-{{D}-{\frac {1}{1}{2}}\log D ={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D}+\log 2\pi ,}}$

${\mathrm{여기}}_{}$서 $h{}_{}$ F ${\mathrm{a}}_{}$ ${\$은(는) 팔팅스 높이를 나타낸다$$.^[21]F서에 상대적으로 초등 관계를 통해서는 나는(ED)=112h(j(τ D))+O(로그 ⁡ h(j(τ D))){\textstyle h_{\mathrm{Fal}}(E_{D})={\frac{1}{12}}h(j(\tau_{D}))+O(\log h(j(\tau_{D})))}[22]및 L′나는(1,χ D))− L′L(0,χ D)− 로그 ⁡ D+로그 ⁡ 2π+γ{\textsty.르${\frac {L'}{{L}}{{L}}=-{\frac {L'}{L}}}(0,\chi _{D}-log$ D +\$log$ 2$\pi +\gamma$}),$$^[23]콜메즈의 정리도 위의 동등성에 대한 증거를 제공한다.

시겔 0이 존재하는 경우의 결과

일반화 리만 가설은 사실일 것으로 예상되지만, "노 시겔 0" 추측은 여전히 열려 있는 반면, 이 가설의 심각한 반증들이 어떤 결과를 초래하는지를 연구하는 것은 흥미롭다.이러한 가능성을 연구해야 하는 또 다른 이유는 특정한 무조건적인 이론의 증명에는 두 가지 경우로 나누어야 하기 때문이다: 첫째는 시겔 0이 존재하지 않는다고 가정하는 증명이고, 그 다음에 또 다른 시겔 0이 존재한다고 가정하는 증명이다.이러한 유형의 정리 중 가장 유명한 예는 산술적 추이에서 가장 작은 프라임(prime)에 관한 린닉의 정리다.

다음은 시겔 0의 존재로부터 따르는 사실의 몇 가지 예들이다.

쌍둥이 프리타임의 부정도

이러한 방향에서 가장 두드러진 결과 중 하나는 타오에 ^[25]이어 다음과 같이 말할 수 있는 히스 브라운의 1983년 결과다^[24].

• 정리(Heath-Brown, 1983).적어도 다음 중 하나는 사실이다. (1) 시겔 0은 없다. (2) 쌍둥이 소수만 무한히 많다.

패리티 문제

체 이론의 동등성 문제는 일반적으로 말해서 체의 논거가 정수에 짝수 또는 홀수 수의 소수 소수 소수 분위가 있는지 구별할 수 없다는 사실을 대략 말한다.이렇게 되면 선형^[26] 체에서 나온 것이 기대치에서 2배만큼 떨어져 나가는 등 체 추정치가 상한을 많이 갖게 된다.2020년 그랜빌은^[27] 시겔 0의 존재를 전제로 체인지 간격 문제에 대한 일반적인 상한이 최적임을 보여주었는데, 이는 패리티 현상으로부터 오는 2의 추가 요인이 따라서 방법의 인위적인 한계가 되지 않을 것이라는 것을 의미한다.

참고 항목

• 일반화 리만 가설
• 듀링-헤이얼브론 현상
• 클래스 번호 문제
• 브라워-시겔 정리
• 시겔-왈피스 정리

참조

• Davenport, H. (1980). "Multiplicative Number Theory". Graduate Texts in Mathematics. 74. doi:10.1007/978-1-4757-5927-3. ISBN 978-1-4757-5929-7. ISSN 0072-5285.

• Iwaniec, H. (2006), Friedlander, J. B.; Heath-Brown, D. R.; Iwaniec, H.; Kaczorowski, J. (eds.), "Conversations on the Exceptional Character", Analytic Number Theory: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, July 11–18, 2002, Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Heidelberg: Springer, vol. 1891, pp. 97–132, doi:10.1007/978-3-540-36364-4_3, ISBN 978-3-540-36364-4, retrieved 2021-03-13

• Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (2006). Multiplicative Number Theory I: Classical Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.

• Zagier, D. B. (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie. Hochschultext (in German). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6.