로스 정리

수학에서 로스 정리(, Thue-Siegel-Roth theorem)는 대수적 숫자에 대한 디오판토스 근사의 근본적인 결과입니다. 대수적 숫자는 '매우 좋은' 유리수 근사치를 많이 가질 수 없다고 말하는 질적 유형입니다. 여기서 매우 좋은 것의 의미는 1844년 조셉 리우빌을 시작으로 악셀 튜 (1909), 칼 루트비히 시겔 (1921), 프리먼 다이슨 (1947), 클라우스 로스 (1955)의 연구로 계속되는 많은 수학자들에 의해 정제되었습니다.

진술

Roth의 정리는 모든 무리수 대수적 수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$는 근사 지수가 2와 같다는$$ 것을 말합니다. 이것은 모든ε > 0 ${\displaystyle$ \$varepsilon$ 0}에 대하여, 부등식이

${\displaystyle \left \alpha -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {1}{q^{2+\varepsilon}}}$

코프라임 정수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$와 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에서 유한하게 많은 해를 가질 수 있습니다$.$ 이 사실에 대한 로스의 증명은 시겔의 추측을 해결했습니다. 모든 무리수 대수적 수 α는 다음을 만족시킵니다.

${\displaystyle \left \alpha -{\frac {p}{q}\right >{\frac {C(\alpha,\varepsilon)}{q^{2+\varepsilon}}}$

$C{\displaystyle (\alpha ,}$ε) ${\displaystyle$ C$(\alpha,\$varepsilon )}에서는ε $>$ 0${\displaystyle$ \$varepsilon$>0} 및 α $displaystyle$ \alpha}에만 의존하는 양수입니다.

논의

이 방향의 첫 번째 결과는 대수적 숫자의 근사에 관한 리우빌의 정리로, 차수 d ≥ 2의 대수적 숫자 α에 대해 d의 근사 지수를 제공합니다. 이것은 이미 초월수의 존재를 증명하기에 충분합니다. Thue는 d보다 작은 지수가 디오판토스 방정식의 해에 적용된다는 것을 깨달았고 1909년의 Thue 정리에서 $그$가 Thue 방정식의 해의 유한성을 증명하기 위해 ${\displaystyle 적용}$한 $지수$d /$2$ + 1 +$$ε {\displaystyle d / 2 + 1$+\$varepsilon}을 확립했습니다. 시겔의 정리는 이를 약 2 √d의 지수로 향상시키며, 다이슨의 1947의 정리는 약 √2d의 지수를 갖습니다.

지수 2에 대한 Roth의 결과는 어떤 면에서는 가장 좋은 것인데, 이 문장은 ε = 0 ${\$displaystyle \varepsilon = 0} 설정에 실패할 것이기 때문입니다. 디오판토스 근사에 대한 디리클레 정리에 의해 이 경우 무한히 많은 해가 있습니다. 하지만 세르게이 랑의 추측이 더 강합니다.

${\displaystyle \left \alpha -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {1}{q^{2}\log(q)^{1+\varepsilon}}}$

정수 p와 q에서 유한하게 많은 해를 가질 수 있습니다. 만약 어떤 사람이 α를 대수적 실수뿐만 아니라 실수 집합 전체에 걸쳐 놓는다면, 거의 모든 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$에 대한 Roth의 결론과 Lang의 홀드 모두입니다$.$ 따라서 정리와 추측 모두 특정 셀 수 있는 집합이 특정 측도 0을 놓쳤다고 주장합니다.^[1]

이 정리는 현재 효과적이지 않습니다. $즉{\displaystyle }$, α$${\$displaystyle \alpha}$가 주어진 p,q의 가능한 값에는 알려진 바가 없습니다$.$^[2] Davenport & Roth(1955)는 Roth의 기술을 사용하여 "갭" 원리를 사용하여 불평등을 만족시키는 p/q의 수에 대한 효과적인 경계를 제공할 수 있음을 보여주었습니다.^[2] 우리가 실제로 C(ε)를 모른다는 것은 방정식을 푸는 프로젝트, 즉 해의 크기를 제한하는 프로젝트가 불가능하다는 것을 의미합니다.

증명기법

증명 기법은$$ε ${\$displaystyle$$\varepsilon}에 따라 임의로 많은 변수에 보조 다변량 다항식을 구성하는 것으로, 너무 많은 좋은 근사치가 있는 경우 모순을 초래합니다. 보다 구체적으로, 문제의 비합리적 대수 수에 대한 특정 수의 유리 근사치를 찾은 다음, 이들 각각에 대해 함수를 동시에 적용합니다(즉, 이러한 유리수 각각은 함수를 정의하는 식에서 고유 변수에 대한 입력 역할을 합니다). 본질적으로, 그것은 효과적이지 않았습니다(숫자 이론의 효과적인 결과 참조). 이러한 유형의 결과의 주요 적용은 일부 디오판토스 방정식의 해의 수를 제한하는 것이기 때문에 이것은 특히 흥미롭습니다.

일반화

기본 결과의 고차원 버전인 슈미트의 부분공간 정리가 있습니다. 또한 Roth 방법을 기반으로 ^[3]p-adic 메트릭을 사용하는 등 수많은 확장이 있습니다.

윌리엄 르베크(William J. LeVeque)는 고정 대수적 수 필드에서 근사적인 수를 취했을 때 유사한 경계가 유지된다는 것을 보여줌으로써 결과를 일반화했습니다. 대수적 숫자 ξ의 높이 H(ξ)를 최소 다항식의 계수의 절대값의 최대값으로 정의합니다. κ>2를 고칩니다. 주어진 대수적 수 α와 대수적 수 K에 대하여, 방정식

${\displaystyle \alpha -\xi <{\frac {1}{H(\xi)^{\kappa}}}$

K의 원소 ξ에서 유한하게 많은 해를 가지고 있습니다.

참고 항목

• 데이븐포트-슈미트 정리
• 그랜빌-랑주뱅 추측
• 슈퇴르머 정리
• 디오판토스 기하학

메모들

참고문헌

• Davenport, H.; Roth, Klaus Friedrich (1955), "Rational approximations to algebraic numbers", Mathematika, 2 (2): 160–167, doi:10.1112/S0025579300000814, ISSN 0025-5793, MR 0077577, Zbl 0066.29302
• Dyson, Freeman J. (1947), "The approximation to algebraic numbers by rationals", Acta Mathematica, 79: 225–240, doi:10.1007/BF02404697, ISSN 0001-5962, MR 0023854, Zbl 0030.02101
• Roth, Klaus Friedrich (1955), "Rational approximations to algebraic numbers", Mathematika, 2: 1–20, 168, doi:10.1112/S0025579300000644, ISSN 0025-5793, MR 0072182, Zbl 0064.28501
• Wolfgang M. Schmidt (1996) [1980], Diophantine approximation, Lecture Notes in Mathematics, vol. 785, Springer, doi:10.1007/978-3-540-38645-2, ISBN 978-3-540-09762-4
• Wolfgang M. Schmidt (1991), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467, Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0098246, ISBN 978-3-540-54058-8, S2CID 118143570
• Siegel, Carl Ludwig (1921), "Approximation algebraischer Zahlen", Mathematische Zeitschrift, 10 (3): 173–213, doi:10.1007/BF01211608, ISSN 0025-5874, MR 1544471, S2CID 119577458
• Thue, A. (1909), "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1909 (135): 284–305, doi:10.1515/crll.1909.135.284, ISSN 0075-4102, S2CID 125903243

더보기

• Baker, Alan (1975), Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-20461-5, Zbl 0297.10013
• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007), Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs, vol. 9, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88268-2, Zbl 1145.11004
• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006), Heights in Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs, vol. 4, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71229-3, Zbl 1130.11034
• Vojta, Paul (1987), Diophantine Approximations and Value Distribution Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1239, Springer-Verlag, ISBN 3-540-17551-2, Zbl 0609.14011