단위(링 이론)

링 이론으로 알려진 추상 $R$ 의 분기에서, 링 R $R$ 의 단위는 $R$ $R$ 에 승법 역행성을 갖는 $u\in R$ $u\in R$ { $v\in R$ $u\in R$ {\ $displaystyle u\in$ R $}$ $v\in R$ v ${\displaystyle$ v $\in R}$ 이다 $R$ $v\in R$ $R$

vu=uv=1

vu=uv=1

=

vu=uv=1

vu=uv=1

= 1

{\displaystylevu=uv=1

여기서 $1$ 은 승수 정체성이다.^[1]^[2] $R$ 의 단위 세트는 R의 단위 그룹 또는 $단위$ 그룹이라고 불리는 곱하기 아래의 그룹 $R$ 을^× 형성한다.^[a]단위 그룹의 다른 명칭은 $R *$ , $U(R),$ $E(R)$ 이다(독일어 Einheit에서).null

덜 흔하게, 단위라는 용어는 단위나 단위 링이 있는 링과 같은 표현에서 링의 요소 $1$ 을 가리키는 데 사용되며, 예: '단위' 매트릭스도 사용된다.이 때문에 일부 저자들은 $1$ 을 '단일성' 또는 '정체성'이라고 부르며, $R$ 은 '단일성'이 아닌 '단일성 고리' 또는 '정체성 고리'라고 말한다.null

예

승법적 $정체성$ 1과 그 첨가물 역 $-1$ 은 항상 단위다.보다 일반적으로, 링 $R$ 에 있는 모든 단위의 근은 단위다: $r n$ = $1$ 이면 $r$ 은^{n − 1} $r$ 의 곱셈 역이다.0이 아닌 링에서 원소 0은 단위가 아니므로, $R$ 은^× 덧셈에 따라 닫히지 않는다.0이 아닌 모든 요소가 단위인 비제로 링 $R$ 을 디비전 링 $(또는 \times$ 스큐 필드 $)$ 이라고 한다.역분할반지는 들판이라고 불린다.예를 들어, 실수 $R$ 필드의 단위 그룹은 R - ${0$ }이다.null

정수 링

정수 $Z$ 의 링에서 유일한 단위는 $1$ 과 $-1$ 이다.null

정수 modulo $n$ 의 링 $Z / nZ$ 에서, $단위$ 는 n에 대한 정수 coprime으로 대표되는 조합 등급 $(mod$ $n)$ 이다.그것들은 정수 modulo $n$ 의 곱셈 그룹을 구성한다.

숫자 필드의 정수 링

2차 정수 $\sqrt 3$ 을 $Z$ 에 붙여서 얻은 링 $Z [\sqrt 3]$ 에서 $1은$ ( $2$ + $(3)($ 2 - $=3$ ) = 1이므로 $2$ + $\sqrt 3$ 은 하나의 단위로서 그 힘도 마찬가지여서 $Z [\sqrt 3]$ 는 무한히 많은 단위를 가지고 있다.null

보다 일반적으로 숫자 필드 $F$ 에 있는 $정수$ R의 링에 대해 디리클레의 단위 정리는 $R$ 이^× 그룹에 이형성이라는 것을 명시한다.

\mathbf {Z}^{n}\time \mu _{R}

여기서 $\mu _{R}$ $\mu _{R}$ ${\$ 는 $\mu_R$ 단위 그룹의 순위인 $R$ 과 n에서 통합의 뿌리의 (마인드, 순환) 그룹이다.

n=r_{1}+r_{2}-1,

여기서 $r_{1},r_{2}$ $r_{1},r_{2}$ , $r_{1},r_{2}$ $r_{1},r_{2}$ ${\$ }}개는 $r_{1},r_{2}$ 각각 $F$ 의 실제 임베딩 수와 복합 임베딩 쌍 수입니다.null

$이렇게$ 하면 Z $[\sqrt 3]$ 예가 복구된다.실제 2차 필드(정수의 링)의 단위 그룹은 r $r_{1}=2,r_{2}=0$ = $r_{1}=2,r_{2}=0$ , $r_{1}=2,r_{2}=0$ $r_{1}=2,r_{2}=0$ = 0 $r_{1}=2,r_{2}=0$ 이기 때문에 1위 무제한이다 $r_{1}=2,r_{2}=0$

다항식 및 파워 시리즈

정류 링 $R$ 의 경우, 다항 링 $R [x]$ 의 단위는 다항식이다.

p(x)=a_{0}+a_{1}}x+\properties a_{n}x^{n}}}

$a_{0}$ ${\$ 이 $R$ 의 단위이고 $a_{0}$ , $a_{1},\dots ,a_{n}$ $a_{1},\dots ,a_{n}$ 1 $a_{1},\dots ,a_{n}$ , $a_{1},\dots ,a_{n}$ n ${\$ 이 $a_{1},\dots ,a_{n}$ (^[4]가) 영확산인 경우, 즉, 일부 N = $a_{i}^{N}=0$ {\ $displaystyle$ $a_{i}^{N}=0}$ 을 만족한다.특히 $R$ 이 도메인이라면 $R [x]$ 의 단위는 $R$ 의 단위다.파워 시리즈 링 $R[[x]]$ [ $R[[x]]$ [ $R[[x]]$ $R[[x]]$ $R[[x]]$ 의 단위는 파워 $R[[x]]$ 시리즈임

p(x)=\sum _{i=0}^{\infit }a_{i}x^{i}}}}}

${\$ 이 $R$ 의 단위인 $a_{0}$ 경우.^[5]

매트릭스 링

링 $R$ 위에 있는 $n$ × $n$ 행렬의 링 $M n (R)$ 의 단위 그룹은 변환 불가능한 행렬의 $GL n (R)$ 그룹이다.정류 링 $R$ 의 경우, $M n$ (R $)$ 의 $요소$ $A$ 는 $A$ 의 결정인자가 R에서 반전될 수 없는 경우에만 변환할 수 있다.그 경우 애드주게이트 매트릭스 측면에서 $A$ 를⁻¹ 명시적으로 부여할 수 있다.null

일반적으로

For elements $x$ and $y$ in a ring $R$ , if $1-xy$ is invertible, then $1-yx$ is invertible with inverse $1+y(1-xy)^{-1}x$ ;^[6] this formula can be guessed, but not proved, by the following calculation in a ring of noncommutative power series:

(1-yx)^{n1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.

비슷한 결과는 화씨의 신원을 참조하라.null

단위군

$R$ - $R$ 이^× 최대 이상이라면 정류 링은 국소 링이다.null

밝혀진 바와 같이, $R$ - $R$ 이^× 이상이라면, 그것은 반드시 최대 이상이고 최대 이상은 $R$ 과^× 분리되기 때문에 R은 국부적이다.null

$R$ 이 유한한 필드인 경우, $R$ 은^× $|R|-1$ - $|R|-1$ 1 $(\displaystyle$ R $-1}$ 순서)의 순환 그룹이다 $|R|-1$

$모든$ 고리 동형성 $f$ : R → $S$ 는 단위를 단위에 매핑하기 때문에 집단 $동형성 \times$ R → $S$ 를^× 유도한다.실제로 단위집단의 형성은 고리 범주에서 집단의 범주까지 펑터를 정의한다.이 펑터에는 그룹 링 구조의 일체형인 왼쪽 부선이 있다.^[7]null

The group scheme $\operatorname {GL} _{1}$ is isomorphic to the multiplicative group scheme $\mathbb {G} _{m}$ over any base, so for any commutative ring $R$ , the groups $\operatorname {GL} _{1}(R)$ and ${\displaystyle \mathbb {G$ $} _{m}(R)}$ are canonically isomorphic to $U(R)$ . Note that the functor $\mathbb {G} _{m}$ (that is, $R\mapsto U(R)$ ) is representable in the sense: ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \op$ 정류 링 R에 대한 $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ $Eratorname {Hom}(\mathb {Z}$ [ $t,t^{-11},R)}($ 예: 앞서 언급한 그룹 링 구성과의 연결 관계에서 비롯됨).Explicitly this means that there is a natural bijection between the set of the ring homomorphisms $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ and the set of unit elements of R (in contrast, $\mathbb {Z} [t]$ represents the additive group ${\displaystyle \mathbb {G} _{$ $a$ 교감 고리 범주에서 아벨 그룹 범주에 이르는 건망증이 심한 펑터).null

연관성

$R$ 이 상쇄적이라고 가정해 보자. $R$ 의 요소 $r$ 과 $s$ 는 r = $us$ 와 같은 단위 $u$ 가 R에 존재한다면 consident라고 부르고, $r$ ~ $s$ 를 쓴다.어떤 링에서든 가법역원소^[b] $x$ 와 $-x$ 의 쌍은 연관되어 있다.예를 들어, 6과 -6은 $Z$ 에서 연관되어 있다.일반적으로 $~$ 는 $R$ 에 대한 동등성 관계다.

연관성은 또한 곱셈을 통한 $R$ 에 대한 $R$ 의^× 작용 측면에서도 설명될 수 있다. $R$ 의 두 요소는 동일한 R-비트에^× 있으면 연관된다.null

통합 도메인에서 주어진 0이 아닌 요소의 연관성 집합은 $R$ 과^× 동일한 카디널리티를 가진다.

동등성 관계~는 Green의 sem그룹 관계 중 하나로 볼 수 있는데, 이는 조합형 $링$ R의 곱셈형 sem그룹에 특화된 것이다.

참고 항목

메모들

^ 안드레 웨일이 도입한 R $표기법$ 은^× 단위집단이 자주 발생하는 숫자 이론에서 흔히 사용된다.^[3]기호 ×는 그룹 연산이 곱셈임을 상기시켜주는 것이다.또한 위첨자 ×는 다른 맥락에서 자주 사용되지 않는 반면, 위첨자 *는 종종 이중성을 나타낸다.
^ $x$ 와 $-x$ 가 반드시 구별되는 것은 아니다.예를 들어 정수모듈로6의 링에서는 $1㎛ -1임$ 에도 $불구하고$ 3 = $-3$ 이 있다.

인용구

^ Dummit & Foote 2004.
^ 랭 2002.
^ Weil 1974.
^ 왓킨스(2007년, 정리 11.1)
^ 왓킨스(2007, 정리 12.1)
^ Jacobson 2009, § 2.2. 연습 4.
^ 의 § 2.2에서 연습 10Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

원천

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
Weil, André (1974). Basic number theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 144 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5.

[4] 안드레 웨일이 도입한 R $표기법$ 은^× 단위집단이 자주 발생하는 숫자 이론에서 흔히 사용된다.^[3]기호 ×는 그룹 연산이 곱셈임을 상기시켜주는 것이다.또한 위첨자 ×는 다른 맥락에서 자주 사용되지 않는 반면, 위첨자 *는 종종 이중성을 나타낸다.

[9] $x$ 와 $-x$ 가 반드시 구별되는 것은 아니다.예를 들어 정수모듈로6의 링에서는 $1㎛ -1임$ 에도 $불구하고$ 3 = $-3$ 이 있다.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-1] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTELang2002-2] 랭 2002.

[FOOTNOTEWeil1974-3] Weil 1974.

[5] 왓킨스(2007년, 정리 11.1)

[6] 왓킨스(2007, 정리 12.1)

[FOOTNOTEJacobson2009§_2.2._Exercise_4-7] Jacobson 2009, § 2.2. 연습 4.

[8] 의 § 2.2에서 연습 10Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

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