고다이라 치수

대수 기하학에서 고다이라 치수 κ(X)은 투사형 품종 X의 표준 모델의 크기를 측정한다.

이고르 샤파레비치는 한 세미나에서 표식 κ으로 표면의 중요한 불변수를 소개했다.^[1] 이타카 시게루는 이를 연장하여 고다이라 치수를 (정형 차원이라는 이름으로) 고다이라 치수를 정의하였고,^[2] 후에 고다이라 구니히코의 이름을 따서 명명하였다.^[3]

플루리게네라

한 필드 위에 있는 차원 n의 부드러운 대수적 다양성 X의 표준적 번들은 n-폼의 선다발이다.

\displaystyle \,\!K_{X}=\빅웨지 ^{n}\오메가 _{X}^{1},}

X의 등각 묶음의 n번째 외부 동력이다. 정수 d의 경우 K의_X d번째 텐서 파워는 다시 선다발이 된다. d ≥ 0의 경우, 글로벌 섹션⁰ H(X,K_X^d)의 벡터 공간은 매끄러운 투영 품종 X의 생식 불변제라는 놀라운 특성을 가지고 있다. 즉, 이 벡터 공간은 저차원 하위 집합 외부의 X에 이형화된 매끄러운 투영 다양성에 대한 해당 공간과 함께 표준적으로 식별된다.

d ≥ 0의 경우 X의 d번째 plurigenus는 K의_X^d 전역 섹션 벡터 공간의 치수로 정의된다.

{\dplaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).}

Plurigenera는 대수적 다양성의 중요한 생식 불변성이다. 특히, 다양성이 합리적이지 않다는 것을 증명하는 가장 간단한 방법은 (즉, 투사적 공간에 대한 분리가 아닌) d > 0을 가진 일부 플뤼게누스 P가_d 0이 아니라는 것을 보여주는 것이다. K_X^d 구역의 공간이 0이 아닌 경우 X에서 투사 공간까지의 자연적 이성적 지도가 있다.

\mathbf {P}(H^{0})(X,K_{X}^{d})=\mathbf {P} ^{P_{d}-1

d-제일 지도라 불린다. 버라이어티 X의 정식 링 R(K_X)은 등급이 매겨진 링이다.

R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d})

기하학과 산술의 속 또한 보라.

X의_d 고다이라 치수는 - $∞$ {\ $displaystyle -\infit }$ 로 $-\infty$ 정의되며, P/d가_d^κ 경계되는 최소 κ이다. n차원 다양성의 고다이라 치수는 - $-\infty$ $-\infit$ 또는 $-\infty$ 0 ~ n 범위의 정수 중 하나이다.

고다이라 치수의 해석

다음의 정수는 음수가 아닌 경우 동일하다. 좋은 참조는 라자르펠트(2004년), 정리 2.1.33이다.

표준 링이 미세하게 생성되어 특성 0에서 사실이며 일반적으로 추측되는 경우: Proj construction $\operatorname {Proj} R(K_{X})$ $\operatorname {Proj} R(K_{X})$ $\operatorname {Proj} R(K_{X})$ $\operatorname {Proj} R(K_{X})$ X $\operatorname {Proj} R(K_{X})$ ) ${\displaystyle \operatorname {Proj} R(K_{X})$ R(이 다양성을 X의 표준 모델이라고 하며, X의 균등성 등급에만 의존한다. $\operatorname {Proj} R(K_{X})$
일부 양의 정수 $d_{0}$ $d_{0}$ ${\$ 의 모든 양의 배수 d에 대한 d-캐논적 매핑 이미지 치수 $d_{0}$
R, - 1의 분수 영역의 초월도, $t-1$ t $t-1$ - $t-1$ ${\displaystyle t-1$ 여기서 t는 한 사람이 찾을 수 있는 대수적으로 독립적인 발전기의 수입니다.
Plurigenera의 성장 속도: 즉, $P_{d}/d^{\kappa }$ $P_{d}/d^{\kappa }$ / $P_{d}/d^{\kappa }$ $P_{d}/d^{\kappa }$ ${\$ d}/ $d^{\cappa$ }}}}이(가) 경계되는 가장 $P_{d}/d^{\kappa }$ 작은 수 κ이다. Big O 표기법에서는 $P_{d}=O(d^{\kappa })$ $P_{d}=O(d^{\kappa })$ = O $P_{d}=O(d^{\kappa })$ ( $P_{d}=O(d^{\kappa })$ $P_{d}=O(d^{\kappa })$ ) ${\dplaystyle P_{d}=O(d^{\kappa }}}}}$ 과 같은 최소 κ이다 $P_{d}=O(d^{\kappa })$

이 숫자 중 하나가 정의되지 않거나 음수일 때, 모두 정의된다. In this case, the Kodaira dimension is said to be negative or to be $-\infty$ . Some historical references define it to be −1, but then the formula $\kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)$ does not always hold, and the statement of the Iitaka conjecture becomes more 복잡한 $예$ 를 들어 P $\mathbf {P} ^{1}\times X$ $\mathbf {P} ^{1}\times X$ $\mathbf {P} ^{1}\times X$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times$ X $}$ 의 고다이라 치수는 모든 품종 X에 대해 $-\infty$ - $-\infty$ $-\infit$ 이다 $\mathbf {P} ^{1}\times X$ .

적용

고다이라 치수는 모든 대수 품종을 여러 등급으로 유용한 대략적인 분할을 제공한다.

고다이라 치수가 낮은 품종은 특별하다고 볼 수 있는 반면, 최대 고다이라 치수의 품종은 일반형이라고 한다.

기하학적으로 고다이라 치수와 곡률 사이에는 매우 대략적인 연관성이 있는데, 음의 고다이라 치수는 양의 곡률에 해당하고, 고다이라 치수는 0이 평탄도에 해당하며, 최대 고다이라 치수(일반형)는 음의 곡률에 해당한다.

낮은 코다이라 치수의 다양성의 특수성은 양의 곡률(그리고 일반형은 비양성 곡률의 일반성에 해당함)의 리만 다지관의 특수성과 유사하다. 특히 고다이라 치수의 고정된 단면 곡률과 양의 곡률에 관한 고전적인 이론들을 참조하라.

이 진술들은 아래에서 더 정확하게 만들어진다.

치수 1

부드러운 투영곡선은 속별로 구분되는데, 자연수 g = 0, 1, ....

여기서 "구체적으로 분류됨"은 주어진 속들에 대해 해당 속들의 곡선의 수정 불가능한 모듈리 공간이 있다는 것을 의미한다.

곡선 X의 고다이라 치수는 다음과 같다.

κ = - $-\infty$ $-\infit$ : 0속(투영선 P¹): K는_X 유효하지 않고, P_d = 0은 모든 d > 0에 대해 유효하지 않다.
κ = 0: 속 1 (ellipt curves 곡선): K는_X 사소한 묶음이며, 모든 d ≥ 0에 대해_d P = 1이다.
κ = 1: 속 g ≥ 2: K는_X 넉넉하며, P_d = (2d - 1)(g - 1) 모든 d ≥ 2에 대해.

표면의 균일화 정리(복잡한 곡선에 실제 치수 2가 있으므로 실제 표면): 고다이라 치수 - $-\infty$ $-\infit$ 은 양의 곡률에 해당하고 $-\infty$ , 고다이라 치수 0은 평탄도에 해당하고, 고다이라 치수 1은 음의 곡률에 해당한다. 대부분의 대수곡선은 일반형이라는 점에 유의하십시오. 곡선의 모듈리 공간에서 두 개의 연결된 성분은 일반형이 아닌 곡선에 대응하며, 다른 모든 성분은 일반형식의 곡선에 대응한다. 또한 속 0의 곡선의 공간은 점이고, 속 1의 곡선의 공간은 (복잡한) 차원 1이 있으며, 속 g의 곡선의 공간은 차원 3g - 3이 있다.

대수곡선의 분류표
고다이라 치수 κ(C)
고다이라 치수 κ(C)	C의 속 : g(C)	구조화하다
$1$	$\displaystyle \geq 2}$	일반형 곡선
$0$	$1$	타원 곡선
$-\displaystyle -\fully }$	$0$	투사선 $\mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {P} ^{1}$ ${\$ }

치수 2

엔리케스-코다이라 분류는 대수 표면을 고다이라 치수로 거칠게 분류한 다음 주어진 고다이라 치수 내에서 더 자세히 분류한다. 몇 가지 간단한 예를 들어보자면¹, P × X 제품은 모든 곡선 $-\infty$ X에 대해 고다이라 치수 - $-\infty$ {\ $displaystyle -\infit }$ 을(를) 가지고 있고, 1번 속(아벨리안 표면)의 두 곡선의 곱은 고다이라 치수 0을 가지고 있으며, 2번 속(타원 표면)의 곱은 고다이라 치수 1을 가지고 있다.s는 적어도 2의 속은 코다이라 치수 2를 가지고 있으므로 일반형이다.

대수표면 분류표
고다이라 치수 κ(C)
고다이라 치수 κ(C)	기하학속 p_g	불규칙성 q	구조화하다
$2$			일반형의 표면
$1$			타원면
$0$	$1$	$2$	아벨 표면
	$0$	$1$	과대망상면
	$1$	$0$	K3면
	$0$	$0$	엔리케스 표면
$-\displaystyle -\fully }$	$0$	$\displaystyle \geq 1}$	지배면
$-\displaystyle -\fully }$	$0$	$0$	이성적인 표면

일반 유형의 표면 X의 경우 d-캐논학 지도 이미지는 d ≥ 5인 경우 X와 비합리적이다.

임의 차원

합리적 품종(Varieties birthrial to projective space)은 고다이라 치수 - $-\infty$ $-\infitty$ 을 가지고 있으며 $-\infty$ 아벨리아 품종(probit complex tori)은 고다이라 치수 0을 가지고 있다. 더 일반적으로, 칼라비-Yau 다지관(차원 1, 타원 곡선, 치수 2, 아벨 표면, K3 표면 및 유한 그룹별 해당 품종의 인용)에는 코다이라 치수 0(Ricci 평탄한 측정기준 수용에 대응함)이 있다.

이성적인 곡선(P로부터¹ 일정하지 않은 지도)으로 가려지는 특성 영의 모든 다양성에는 코다이라 치수 -∞이 있다. 반대로, 최소 모델 이론의 주요 추측(확실히 풍요로운 추측)은 고다이라 차원 -∞의 모든 다양성이 왜곡되지 않았다는 것을 암시할 것이다. 이 역학은 기껏해야 3가지 차원이 다양한 것으로 알려져 있다.

Siu(2002)는 모든 매끄러운 복잡한 투영 품종에 대해 변형을 받는 Plurigenera의 불변성을 입증했다. 특히 다지관의 복잡한 구조가 연속적으로 바뀌어도 고다이라 치수는 변하지 않는다.

대수 삼위일체 분류표
고다이라 치수 κ(C)
고다이라 치수 κ(C)	기하학속 p_g	불규칙성 q	예
$(\displaystyle 3}$			일반형 3배
$2$			일반 섬유로 표면에 진동 타원 곡선
$1$			일반 섬유로 곡선 위에 진동 surface = 0의 표면
$0$	$1$	$(\displaystyle 3}$	아벨 품종
	$0$	$2$	섬유들이 타원곡선인 아벨 표면 위에 있는 섬유 묶음
	$0$ $0$ 또는 $0$ $1$ $1$	$1$	섬유 표면이 = = 0인 타원 곡선 위에 있는 섬유 묶음
	$0$ $0$ 또는 $0$ $1$ $1$	$0$	칼라비-야우 3배
$-\displaystyle -\fully }$	$0$	$\displaystyle \geq 1}$	3점 슛을 날리지 않은
$-\displaystyle -\fully }$	$0$	$0$	합리적 3배, 파노 3배 등

정상 투영 품종 X → Y의 교정은 연결된 섬유를 가진 굴절형 형태론을 의미한다.

일반 유형의 3배 X의 경우 d-캐논학 지도 이미지는 d ≥ 61일 경우 X와 비합리적이다.^[4]

일반형

다양한 일반형 X는 최대 고다이라 치수(고다이라 치수와 동일)의 하나이다.

\displaystyle \kappa(X)=\dim \X.}

등가조건은 $K_{X}$ K $K_{X}$ ${\$ 가 $K_{X}$ 크거나 d-캐논학지도는 d가 충분히 클 수 있도록 일반적으로 주입(즉, 이미지에 대한 혼성지도)하는 것이다.

예를 들어, 정식 묶음이 넉넉한 품종은 일반형이다.

어떤 의미에서는 대부분의 대수적 품종은 일반형이다. 예를 들어, n차원 투영 공간에서 d의 부드러운 과급면은 $d>n+1$ > n $d>n+1$ + $d>n+1$ $d>n+1$ 인 경우에만 일반 유형이다 $d>n+1$ 그런 의미에서 투사적 공간에서 가장 매끄러운 하이퍼퍼페이스는 일반적인 유형이다.

일반적인 유형의 다양성은 표면에도 명시적으로 분류하기에는 너무 복잡해 보인다. 그럼에도 불구하고, 일반 유형의 다양성에 대한 강한 긍정적인 결과들이 있다. For example, Enrico Bombieri showed in 1973 that the d-canonical map of any complex surface of general type is birational for every $d\geq 5$ . More generally, Christopher Hacon and James McKernan, Shigeharu Takayama, and Hajime Tsuji showed in 2006 that for every positive integer n, there is a constant ${\d$ $d\geq c(n)$ $d\geq c(n)$ c $d\geq c(n)$ ( $){\displaystyle d\geq c(n$ 일 때 일반 유형의 복잡한 n차원 다양성에 대한 d-원형 맵이 $c(n)$ 혼성인 $isplaystyle$ c $(n)}.$

다양한 일반형의 분생자동화 집단은 유한하다.

적용대분류

특성 0의 분야에 걸쳐서 X는 다양한 비부정 코다이라 치수가 되게 하고, B는 X의 표준 모델 B = Proj R(X_X, K)이 되게 한다. B의 치수는 B의 치수는 X의 고다이라 치수와 같다. 자연적 이성적 지도 X – → B가 있는데, X와 B를 폭파하여 얻은 어떤 형태론도 이타카 진동이라고 한다. 최소한의 모형과 풍요로운 추측으로 보아 이타카 진동의 일반 섬유는 칼라비–로 배열될 수 있다는 것을 암시할 수 있다.특히 고다이라 치수가 0인 야우 품종. 더욱이 B(유일하지 않음)에는 유효 Q-divor Δ가 있어 쌍(B, Δ)이_B klt, K + Δ가 충분하며, X의 표준 링은 일부 d > 0의 배수로 (B, Δ)의 표준 링과 동일하다.^[5] 그런 의미에서 X는 일반형의 베이스(B, Δ) 위에 코다이라 치수 0의 다양한 계열로 분해된다. (B 품종 자체는 일반 유형일 필요가 없다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, 고다이라 치수 1의 표면이 있는데, 이 치수는 P에¹ 걸쳐 타원형 진동이 된다.

언급된 추측을 고려할 때 대수 품종의 분류는 대체로 고다이라 치수 - $-\infty$ ${\displaystyle -\inflit$ 0 및 일반 유형으로 감소할 것이다. 고다이라 치수 - $-\infty$ ${\displaystyle$ - $\infit }$ 및 0의 $-\infty$ 경우 분류에 대한 몇 가지 접근법이 있다. 최소한의 모델과 풍부한 추측으로 보아 고다이라 차원 - $-\infty$ {\ $displaystyle$ - $\infit }$ 의 모든 다양성이 파괴되지 $-\infty$ 않았다는 것을 의미할 수 있으며, 특성 0의 모든 변형되지 않은 다양성은 파노 섬유 공간과 결합되어 있는 것으로 알려져 있다. 최소한의 모델과 풍요로운 추측을 통해 고다이라 치수 0의 모든 종류가 단자 특이점을 가진 칼라비-야우 변종과 교배한다는 것을 암시할 수 있다.

이타카 추측에 의하면 진동의 고다이라 치수는 적어도 기지의 고다이라 치수와 일반 섬유의 고다이라 치수의 합이라고 한다. 조사는 모리(1987)를 참조한다. 이타카 추측은 1970년대와 1980년대에 미니멀 모델 이론의 발전을 고무하는 데 도움이 되었다. 그것은 현재 많은 경우에 알려져 있으며, 일반적으로 최소한의 모델과 풍요로운 추측에서 따라올 것이다.

모이스헤존 다양체와의 관계

나카무라와 우에노는 복잡한 다지관에 대한 다음과 같은 부가성 공식(우에노(1975)을 증명했다. 염기공간이 대수학일 필요는 없지만, 모든 섬유들이 이형질이라는 가정은 매우 특별하다. 이런 가정에도 섬유질이 모이스헤존이 아닐 때는 공식이 실패할 수 있다.

Let π: V → W는 콤팩트 복합 다지관의 분석 섬유다발이며, 이는 π이 국소적으로 하나의 제품이라는 것을 의미한다(따라서 모든 섬유는 복합 다지관과 같이 이형성이 있다). F섬유가 Moishezon 다지관이라고 가정하자. 그러면

\displaystyle \kappa(V)=\kappa(F)+\kappa(W)}

메모들

^ 샤파레비치 외 1965년
^ 이이타카 1970년
^ 이이타카 1971년
^ J. A. Chen과 M. 첸, 일반형 III의 3배와 4배의 명시적 혼성 기하학, 정리 1.4.
^ O. 푸지노와 S. 모리, 제이 디프 검도 56호(2000년), 167-188호. 이론 5.2와 5.4.

참조

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Dolgachev, Igor (2001) [1994], "Kodaira dimension", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Fujino, Osamu; Mori, Shigefumi (2000), "A canonical bundle formula", Journal of Differential Geometry, 56 (1): 167–188, doi:10.4310/jdg/1090347529, MR 1863025
Iitaka, Shigeru (1970), "On D-dimensions of algebraic varieties", Proc. Japan Acad., 46 (6): 487–489, doi:10.3792/pja/1195520260, MR 0285532
Iitaka, Shigeru (1971), "On D-dimensions of algebraic varieties.", J. Math. Soc. Jpn., 23 (2): 356–373, doi:10.2969/jmsj/02320356, MR 0285531
Lazarsfeld, Robert (2004), Positivity in algebraic geometry, 1, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, MR 2095471
Mori, Shigefumi (1987), "Classification of higher-dimensional varieties", Algebraic geometry (Bowdoin, 1985), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 46, Part 1, American Mathematical Society, pp. 269–331, MR 0927961
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Ueno, Kenji (1975), Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces, Lecture Notes in Mathematics, 439, Springer-Verlag, MR 0506253

[FOOTNOTEShafarevich_et_al.1965-1] 샤파레비치 외 1965년

[FOOTNOTEIitaka1970-2] 이이타카 1970년

[FOOTNOTEIitaka1971-3] 이이타카 1971년

[4] J. A. Chen과 M. 첸, 일반형 III의 3배와 4배의 명시적 혼성 기하학, 정리 1.4.

[5] O. 푸지노와 S. 모리, 제이 디프 검도 56호(2000년), 167-188호. 이론 5.2와 5.4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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