계획의 형태론

대수 기하학에서, 체계의 형태론은 체계가 대수적 품종을 일반화하는 것과 마찬가지로 대수적 품종의 형태론을 일반화한다.그것은 정의상 계획 범주의 형태론이다.

대수적 스택의 형태론은 계획의 형태론을 일반화한다.

정의

정의에 따르면, 계획의 형태론은 단지 국소적으로 링된 공간의 형태론일 뿐이다.

체계는 정의에 따라 개방형 부속 차트를 가지고 있으므로 체계의 형태론은 그러한 차트의 측면에서도 설명될 수 있다(품종 형태론의 정의 비교).^[1]ƒ:X→Y를 계략의 형태론이 되게 하라.If x is a point of X, since ƒ is continuous, there are open affine subsets U = Spec A of X containing x and V = Spec B of Y such that ƒ(U) ⊆ V. Then ƒ: U → V is a morphism of affine schemes and thus is induced by some ring homomorphism B → A (cf. #Affine case.)사실, 이 설명을 사용하여 구성의 형태론을 "define"할 수 있다; x:X→Y는 어핀 차트의 좌표 링 사이의 링 동형성에 의해 국소적으로 유도되는 경우 구성의 형태론이라고 말한다.

• 참고: 계략의 형태론을 고리형 공간의 형태론으로 정의하는 것은 바람직하지 않을 것이다.한 가지 사소한 이유는 고리 동형성에 의해 유도되지 않는 아핀 계획들 사이에 고리형 공간 형태론의 예가 있기 때문이다(예를 들어 고리형 공간의 형태론:^[2]

  ${\displaystyle \operatorname {Spec}k(x)\to \operatorname {Spec}k[y]_{(y)}=\\\\eta = (0),s=(y)\}}}$

이유가 어떻게 되는 것과 함께가[y], y↦ x{\displaystyle k[y]_{(y)}\to k()),\,y\mapsto x→ k())(y)그 온다}.)더 개념적으로,을 사상의 정의은 반지"Zariski-local 자연"또는 국산화를 획득하는 것;[3]이 관점(즉,local-ringed 공간)은 장성을 위해서 필수적이다 필요한 색다르게 보낸다.iza티온(토포)

f : X → Y를 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ f ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathcal{}}_{}}$ ${\$X$\}\}\}\}$를 가진 계략의 모형이 되도록 한다.

${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}_{Y},f(x)}\to {\mathcal {O}_{X,x}}}}$

국부 링 동형성: 즉, $\varphi {\displaystyle }$(${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle {}_{}}$) ) ${\displaystyle \subseteq m_{}}$ x $\\$}_${f(x)}}}}}\mathfrak {m}_{x}}}}}}})$로, 따라서 잔류장의 주입 동형성을 유도한다.

${\displaystyle \phi :k(f(x))$$\hookrightarrow k(x$

(사실, φ는 최대 이상상의 n번째 힘에 대한 n번째 힘을 매핑하여 (Zariski) cotangent 공간 사이에 지도를 유도한다.

각 체계 X에 대해, 자연적인 형태주의가 있다.

${\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma(X, {\mathcal {O}_{X}),}$

X가 붙는 경우에만 이형성이다. θ은 붙임 U → 표적을 붙임으로써 얻는다. 이는 X의 U 하위 집합 U에서 나온다.이 사실은 또한 다음과 같이 진술할 수 있다: 어떤 계략 X와 반지 A에 대해서도 자연적인 편견이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Mor}(X,\operatorname {Spec}(A))\cong \operatorname {Hom}(A,\Mathcal {O}_{X})}$

$($증거: 지도 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \mathrm{spec}}$ ${\displaystyle \mathrm{spec}\{}${ { { { { ${\displaystyle \{}$ { { { { $\phi$ \$mapsto$ \mapsto $\operatorname$ {$Spec}(\$phi )\$circce \teta$}}}은 오른쪽에서 왼쪽까지$$ 필요한 바이어싱이다.요컨대 θ은 부속이다.)

더욱이 이 사실(성인관계)은 친목적인 체계를 특징짓기 위해 사용될 수 있다: 각 구성표 S에 대해 자연적인 지도인 경우에만 X가 친목된다.

${\displaystyle \operatorname {Mor}(S,X)\operatorname {Hom}(\Gamma(X, {\mathcal {O}_{X}),\Gamma(S, {\mathcal {O}_{S})}}}}}$

bijective 있다.[4](증명:이 지도bijective면, 보통 ⁡(−, X)≃ 보통 ⁡(−, Spec ⁡ Γ(X, OX)){\displaystyle \operatorname{보통}(-,X)\simeq\operatorname{보통}(-,\operatorname{Spec}\Gamma(X,{\mathcal{O}}_{X}))}및 XSpec ⁡ Γ(X, OX){\displaystyle \operatorname{Spec}\Gamma(X,에 동형이다.요네다의 보조정리기로 ${\mathcal{O}_{X}}.$ 그 반대는 분명하다.)

상대적 계획으로서의 형태론

기본 구성표라고 하는 구성표 S를 수정한다.그 다음에 $형태론{\displaystyle }$p :${\displaystyle X}$ → S ${\displaystyle p:X\to$ S$}$를 S나 S-scheme에 걸쳐 체계라고 한다. 용어의 개념은 기본 체계 S에 대한 지도와 함께 체계 X라는 것이다.예를 들어, 체계 S 위의 벡터 번들 E → S는 S-scheme이다.

An S-morphism from p:X →S to q:Y →S is a morphism ƒ:X →Y of schemes such that p = q ∘ ƒ. Given an S-scheme ${\displaystyle X\to S}$, viewing S as an S-scheme over itself via the identity map, an S-morphism ${\displaystyle S\to X}$ is called a S-section or just a section.

모든 S-schemes는 범주를 형성한다: 범주의 물체는 S-scheme이고 범주의 형태주의는 S-morphism이다.(간결하게, 이 범주는 기본 객체 S로 구성된 스키마 범주의 슬라이스 범주임)

아핀 케이스

$\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ A ${\displaystyle \varphi$:$B\to A}$은(는) 고리 동형이고 let let

${\displaystyle {\begin}\varphi ^{a}\operatorname {Spec}B,\\\\mathfrak {p}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfak {p}}}}\case{}}}}}}}}$

유도 지도가 되다그러면.

• ${\$은(는) 연속이다.^[5]
• ${\displaystyle \varphi }}$이(^[6]가) 굴절적이라면, $\phi {\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \varphi$^{$a}$는 이미지의 동형상동형이다$$.
• A의 모든 이상 I에 대해${\displaystyle \stackrel{}{{\phi }^{}}}$ a${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$( I${\displaystyle \stackrel{}{}}$) =${\displaystyle \stackrel{}{}V\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\overline {\varphi ^{a(V(I))}}}}}=V(\varphi ^{-1(I)}).$$}$^[7]
• ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \varphi$ $^{a$$}}$의 커널이 영점 원소로 구성된$$ 경우에만 조밀한 이미지를 가지고$$ 있다. (증거: I = 0을 사용한 이전 공식)특히 B가 줄어들면 ${\displaystyle \varphi$ $^{a$$}}$가 주입될$$ 경우에만 조밀한 이미지가 생성된다$$.

Let f: Specification A → Spec B는 풀백 맵 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$: B → A를 가진 아핀 체계들 간의 체계 형태론이다.국소적으로 링된 공간의 형태론이라는 것은 x =${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$가 스펙$$ A의 포인트라면,

${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}{p}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\mathfrak {p}_{f($x)}=\varphi ^{-1$}({\mathfrak {p}_{x$

(Proof: In general, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}$ consists of g in A that has zero image in the residue field k(x); that is, it has the image in the maximal ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$. Thus, working in the local rings, ${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \phi (g)\in \phi ({\mathfrak{m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak{m}}_{}}$${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$. If ${\displaystyle g(f(x))\neq 0}$, then ${\displaystyle g}$ is a unit element and so ${\displayst$$yle \varphi (g)}$은(는) 단위 요소다.

따라서 각 링 동형성 B → A는 체계 Spec A → Spec B의 형태론을 정의하며, 반대로 그들 사이의 모든 형태는 이러한 유행을 일으킨다.

예

기본 원

• Let R be a field or ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ For each R-algebra A, to specify an element of A, say f in A, is to give a R-algebra homomorphism ${\displaystyle R[t]\to A}$ such that ${\displaystyle t\mapsto f}$.Thus, ${\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}$. If X is a scheme over S = Spec R, then taking ${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ and using the fact Spec is a right adjoint to the global section functor, we get
  $${\displaystyle \Gammatcal {O}_{X}=\operatorname {Mor}_{S}(X,\mathb {A} _{S}^{1}})$$

  
  여기서 A ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$( R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \mathb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec}(R[t$ 링의 동일성에 유의하십시오.
• 마찬가지로, 모든 S-scheme X에 대해 다음과 같은 승법 그룹을 식별한다.
  $${\displaystyle \Gamma(X, {\mathcal {O}_{X}^{*}}=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathb {G})}$$

  
  여기서 ${\displaystyle {}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$[ t${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {G} _{m}=\operatorname {Spec}(R[,t^{-1}])$은 승법 그룹 체계다.
• 형태론의 많은 예들은 어떤 기본적인 공간에 의해 매개된 가족으로부터 온다.예를 들어,
  $${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}$$

  
  ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$의 4각형 매개변수를 갖는 투영형 변종들의 투영형 형태론이다$.$

그래프 형태론

체계 S에 대한$$ ${\displaystyle \mathrm{체계}}$ f${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\$$displaystyle$ $f:X\to$ Y$}$의 형태론을 감안할 때${\displaystyle ,}$ $형태론{\displaystyle }$ $X{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ → X${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle$ $\to X\time _$${S$$}Y$$}$는 정체성 1 ${\displaystyle X_{}}$ : ${\displaystyle X}$ → $X$에 의해 유도된다${\displaystyle .}$$X\to X}$와 f는 f의 그래프 형태론이라고 불린다.그 정체성의 그래프 형태론을 대각선 형태론이라고 한다.

형태론의 유형

유한형

유한형의 형태론은 품종 집단을 형성하는 기본 도구 중 하나이다.A morphism ${\displaystyle f:X\to S}$ is of finite type if there exists a cover ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}$ such that the fibers ${\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}$ can be covered by finitely many affine schemes ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(B_{ij})}$ 유도 링 $형태{\displaystyle {}_{}}$ A i → ${\displaystyle B_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ ${\$를 유한형 형태형으로 만든다.유한형 형태론의 대표적인 예가 계략 계열이다.예를 들어,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}$

유한 형태의 형태론이다.A simple non-example of a morphism of finite-type is ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}$ where ${\displaystyle k}$ is a field.또 하나는 무한 분리 연합이다.

$\displaystyle \coprod ^{\\flt }X\to X}$

클로즈드 몰딩

$schemes{\displaystyle }$ i :${\displaystyle Z}$→$$ {\$displaystyle i:Z\to$ X$}$의 형태론은 다음과 같은 조건이 지속된다면 폐쇄된 몰입이다.

1. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$은(는) $이미지{\displaystyle }$ 위에$$ Z ${\displaystyle$ Z$}$의 동형체를 정의한다$$.
2. ${\displaystyle i^{\mathrm{}}}$#${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ i ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathcal{}}_{}}$ ${\$은(는) 굴절적이다.

이 조건은 다음과 같다: appine open ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$= U$⊆$X {\$displaystyle$ \operatorname {$Spec}(R)=$$U\subseteq X}$에는 $이상적$인 $I{\displaystyle \mathrm{exists}}$ R ${\displaystyle I\subseteq R}$이(${\displaystyle 가}$) 존재하며$,$ 이러한$$${\displaystyle {}^{}}$I - ${\displaystyle 1^{}(U}$ ) = Spec${\displaystyle }$(${\displaystyle R/I}$ ) {\$displaysty i^{-1(U$)=\$operatorname {Spec$}($R/I)}).$

예

물론 모든 (분할된) 지수 $R{\displaystyle /I}$ ${\displaystyle R/I}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(R)}($${\displaystyle \mathrm{Proj})}$ ${\displaysty \operatorname {Proj}(R)$의 하위 집합을 정의한다$$.$$Consider the quasi-affine scheme ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}$ and the subset of the ${\displaystyle x}$-axis contained in ${\displaystyle X}$. Then if we take the open subset ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}$ the ideal sheaf is ${\displaystyle (x}$${\displaystyle )}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$(x)}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (k}$[ ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle ])}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec}(k[x,y,x^{-1})}}}$은(는) 하위 집합이 이 차트와 교차하지 않으므로 이상적이지$$ 않다.

분리된

분리된 형태론은 "하우스도르프"인 계략의 가족을 정의한다.For example, given a separated morphism ${\displaystyle X\to S}$ in ${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }$ the associated analytic spaces ${\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}$ are both Hausdorff.$우리$는${\displaystyle }$scheme f : ${\displaystyle X}$ →$$S {\$displaystyle f:X\to S}$의 형태론은 대각선 형태론 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle S_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X_{}}$ $×$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to$X\time $_{S}X}$이 폐쇄몰입이라고 말한다$$.위상에서 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff가 되는$$ 동등한 조건은 대각선이 설정된 경우입니다.

${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\time X}$의 닫힌 부분 집합이다$.$

예

계획 이론에서 마주치는 대부분의 형태론은 분리될 것이다.예를 들어, 진술 계획을 고려해 보십시오.

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\\mathb {C}[x,y]}{(f)}}}}}\right)}$

over ${\displaystyle \mathrm{Spec}(C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {Spec}(\mathb {C} )$ 제품$$ 구성표가

${\displaystyle X\times _{\mathb {C}}{}X=\operatorname {Spec} \{\frac {C}[x,y]}{(f)}}}}}\otimes _{\mathb {C}{x,y]{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

대각선이 생성되는 이상적 정의

$(\displaystyle x\othes 1-1\othes x,y\othes 1-1\othes y}$

대각선 도식이 부착되어 있고 닫혔다는 것을 보여준다.이와 동일한 연산은 투영적인 계획도 분리되어 있음을 보여주는 데 사용될 수 있다.

비예시

단지 시간 관리를 해야 하는 것은 당신이 한 가족의 계획들을 한데 묶고 있을 때 입니다.예를 들어, 우리가 포함의 도표를 본다면

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec}(R[x,x^{-1}))&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec}(R[x])\\\nearrow &\\\operatorname {Spec}(R[x,x^{-1}))&&\end{{now}}}$

클래식 라인의 계략적 아날로그를 2-118로 얻는다

적절한

형태론 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ S ${\displaystyle f:X\to S}$을(를) 적절하게 부른다.

1. 분리되어 있다
2. 유한형의
3. 보편적으로 폐쇄된

마지막 조건은 형태론 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'\to S}$을(를) 주어진 기저 변화 형태론 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \times {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ S$'\times _{S}X}$은 폐쇄적 몰입임을 의미한다.적절한 형태론의 대부분의 알려진 예는 사실 투영적이지만 투영적이지 않은 적절한 품종의 예는 토릭 지오메트리를 사용하여 찾을 수 있다.

투영적

투영형 형태는 고정된 기본 계획 위에 투영형 품종을 정의한다.두 가지 정의가 있다는 점에 유의하십시오.Hartshornes which states that a morphism ${\displaystyle f:X\to S}$ is called projective if there exists a closed immersion ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}$ and the EGA definition which states that a scheme ${\displaystyle X\in {\text{S$$ch$$}}/$$}$은(는$)$ 폐쇄 몰입 $X{\displaystyle }$→ P ${\displaystyle S\mathcal{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $){\$$displaybe$ {P} _${S$}} \$displaystyle$ X$\to \mathb {P} _{{$mathcal$\{$$E}}}}}}}}}.$두 번째 정의는 $정확$한 O ${\displaystyle S_{}}${\$displaystyle${\$mathcal{O}_{S}$ 모듈$$ 순서를 사용하여 투사형 형태를 정의할 수 있으므로 유용하다.

점에서의 투영형 형태론

${\displaystyle \mathrm{투사형}}$ 형태론 $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→${\displaystyle }${ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}}$는 투사형 구조를 정의한다$$.예를 들어,

${\displaystyle {\text{Proj}\왼쪽({\frac {\mathb {C} [x,y,z]}}{{(x^{n}+y^{n}-z^{n}}\right)\\operatorname {Spec}(\mathb {C} )}}$

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 ${\displaystyle 대한\mathrm{}}$ 속$({\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle (n-1)(n-1)/2}$의 투영 곡선을 정의한다$.$

프로젝트형 하이퍼퍼페이스 제품군

$S{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ S$=\mathb {A} _{t}^{1}}}$을(를) 그대로 두면 투사형 형태론(projective morphism)이 나타난다$$.

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj}}}}}{{S}\{\frac {{\mathcal{O}}[x_{1},x_{1},x_{3},x_{4}]}}}{\좌측(x_{0}^}+{5}+x_{cd_{4}){4}}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}\오른쪽)\S}에$

퇴보하는 칼라비야우 다지관의 가문을 규정한다.

렙슈츠 펜슬

Another useful class of examples of projective morphisms are Lefschetz Pencils: they are projective morphisms ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}$ over some field ${\displaystyle k}$. For example, given smooth hypersurfaces ${\displaystyle X_1,X_2\subseteq }$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은${\displaystyle {}_{}}$는) ${\displaystyle {동종\mathrm{}}_{}}$ 다항식 f$$1, f 2 {\$displaystyle f_{1},f_{1}}}}}}}}}}$에 의해 정의된 투영형 형태론이 있다$$.

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}$

연필을 주는 것.

EGA 프로젝티브

투영적인 계획의 좋은 고전적인 예는 합리적인 스크롤을 통해 어떤 요소들을 형성하는 투영적인 형태들을 구축하는 것이다.For example, take ${\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}$ and the vector bundle ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}$. This can be used to construct a ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$-bundle $P{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \mathb {P} _{S}({\mathcal {E})$을 S ${\displaystyle S}$에 걸쳐서$.$ 이 덮개를 사용하여 투사형 형태론을 구성하려면 다음과 같은 정확한 순서를 취할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {O}_{S}(-d)\plus {O}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}\to {\mathcal {O}_{X}\to 0}$

P ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle E}$) . ${\displaystyle$ X$}$의 $투영$ 체계${\displaystyle }$X ${\$displaystyle $\mathb {P} _{S$}({\$mathcal {E})$의 구조 덮개를 정의한다.$}$

플랫

직감

평면 형태론은 대수학적 정의를 가지고 있지만 매우 구체적인 기하학적 해석을 가지고 있다: 평탄한 집단은 "지속적으로" 변화하는 품종과 일치한다.예를 들어,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\\operatorname {Spec}(\mathb {C} [t])})에 연결$

매끄러운 아핀 4중 곡선의 가족으로서 정상적인 교차 디비저로 변한다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\c}\mathb {C}[x,y]}{(xy)}}}}}\right)}$

원점에서

특성.

평평한 형태론이 충족시켜야 하는 한 가지 중요한 특성은 섬유의 치수가 같아야 한다는 것이다.섬유들이 일부 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 점이나 사본이기 때문에 평편한 형태론의 단순한 비예제는 블로업이다$.$

정의

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$을(를) 계획의 형태론이라고$$ 합시다.We say that ${\displaystyle f}$ is flat at a point ${\displaystyle x\in X}$ if the induced morphism ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}$ yields an exact functor ${\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal$${O}_{x}.$$}}$ 그렇다면$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$는 X ${\displaystyle$ X$}$의 모든 점에서 평탄하면 평탄하고$,$ 또한 그것이 허탈적 형태론이라면 충실하게 평탄하다.

비예시

우리의 기하학적 직관을 이용하면

${\displaystyle f:\operatorname {Spec}(\mathb {C} [x,y]/(xy)\\operatorname {Spec}(\mathb {C} [x])})로 이동$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 이상의 섬유가 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$이고 나머지$$$$ 섬유가 점일 뿐이므로 평평하지 않다.그러나 국소 대수학과의 정의를 사용하여 이것을 확인할 수도 있다: $이상적$인 p${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ∈ ${\displaystyle \mathrm{스펙}}$(${\displaystyle C\mathbb{}}$[${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\디스플레이$ 스타일 ${\mathfrak {{p}=(x)\operatorname {Spec} (\mathb {c}[x,y]/(xy$))))을 고려한다$.$$}}$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle p\mathfrak{}}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{규격}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (C\mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$]${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$({\mathfrak{p}}}=(x)\operatorname {Spec}(\mathb {C}[x])})에서$ 로컬 대수 형태론을 얻었으므로$$

${\displaystyle f_{\mathfrak{p}:\left(\mathb {C}[x]\right)_{(x)}\to \left(\mathb {C}[x,y]/(xy)\right)_{(x)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

만약 우리가 긴장한다면

${\displaystyle 0\to \mathb {C}[x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathb {C}[x]_{(x)}}}}}}}$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( x ${\displaystyle y}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$ ) ( x${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ 지도

${\displaystyle (\mathb {C}[x,y]/(xy))]_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}(\mathb {C}[x,y]/(xy)_{(x)}}}}}}}}}}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$의 소멸로 인해 0이 아닌 커널이 있음$.$이것은 형태주의가 평평하지 않다는 것을 보여준다.

프로그래밍되지 않음

$\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X/Y}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Oomega$ _{$X/Y}=0}$인 경우, 부속 체계의$$ ${\displaystyle X\to }$ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$은(는) 프로그래밍되지 않는다$.$We can use this for the general case of a morphism of schemes ${\displaystyle f:X\to Y}$. We say that ${\displaystyle f}$ is unramified at ${\displaystyle x\in X}$ if there is an affine open neighborhood ${\displaystyle x\in U}$ and an affine open ${\displaystyle V\subseteq Y}$ such that${\displaystyle f}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle \subseteq }$ V ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$ 및$$ $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {U/V}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \Oomega _{U/V}=0.}$ 그러면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 모든 지점에서 모피즘을 미화하면 모피즘이 미화된다$.$

기하학적 예제

한 지점을 제외하고 평평하고 일반적으로 프로그래밍되지 않은 형태론의 한 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} \좌측({\frac {\mathb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}\우측)\operatorname {Spec}(\mathb {C}[t])}}에 연결$

우리는 시퀀스를 사용하여 상대적인 차이를 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

쇼잉

${\displaystyle \Oomega_{X/Y}\cong \left({\frac {\\mathb {C}[t,x]{n}-t)}{{dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}$

만약 우리가 섬유 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0$을 취한다면, 그 이후 형태론은 함축된다.

${\displaystyle \Oomega_{X_{0}/\mathb {C} }=\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x]{x^{n}dx\right)/(x^{n-1dx)}}$

그렇지 않으면 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}$

다른 모든 곳에서 비문명화 되어 있다는 것을 보여주는 것.

에탈레

$체계$ f :${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$의 형태론은 평평하고 밝지 않으면 étal이라고 불린다.이것들은 커버 공간의 알헤브로-지오메트리 아날로그 입니다.고려해야 할 두 가지 주요 예는 공간과 유한한 분리 가능한 필드 확장이다.첫 번째 사례의 예는 분기된 커버를 보고 미표시된 로커스로 제한함으로써 구성할 수 있다.

점으로서의 형태론

정의에 따르면 X, S가 (일부 기본 구성표나 링 B에 걸쳐) 체계라면, S에서 X까지의 형태론은 X의 S 지점이며, 하나는 다음과 같이 기록한다.

$[\displaystyle X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{{}B\}}}에 걸쳐서$

X의 모든 S 포인트 세트이 개념은 고전 대수 기하학에서 다항식 방정식의 시스템에 대한 해법의 개념을 일반화한다.Indeed, let X = Spec(A) with ${\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$. For a B-algebra R, to give an R-point of X is to give an algebra homomorphism A →R, which in turn amounts to giving a homomorphism

${\displaystyle B[t_{1},\dots,t_{n}]\to,\,t_{i}\mapsto r_{i}}}$

그렇게_i 되면 F가 죽는다.따라서 다음과 같은 자연적인 식별이 있다.

${\displaystyle X(\operatorname {Spec}R)=\{(r_{1},\dots,r_{n})\in R^{n}f_{1}(r_{1}, dots,r_{n})={cdots={m}.$

예:X가 구조도 π: X → S가 있는 S-scheme이라면 X의 S-point (S 위에 S)는 π의 한 부분과 같은 것이다.

범주 이론에서 요네다의 보조정리자는 범주 C로 볼 때, 상쇄되는 펑터(functor)라고 말한다.

${\displaystyle C\to {\mathcal {P}(C)=\opername {Fct}(C^{\text{op},\mathbf {Sets}),\,X\mapsto \operatorname {Mor}(,X)}$

완전히 충실하다($여기$서 P${\displaystyle }$( ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle {\mathcal{P}(C)}$는 C에 대한 사전 저장 범주를 의미한다$$.보조정리법을 C에 적용하면 B에 대한 계획의 범주가 되는데, 이것은 B에 대한 계획은 그것의 다양한 점에 의해 결정된다고 말한다.

사실, 그들 사이의 체계와 형태는 그들 사이의 결합 체계와 형태들을 접착함으로써 얻어지기 때문에, 정확히 말해서, 부속 체계 S로만 S 포인트를 고려하는 것으로 충분하다는 것이 밝혀졌다.이 때문에 보통 X(R) = X(Spec R)를 쓰고 X를 세트에 역행하는 B-알게브라의 범주에서 functor로 본다.

예: 주어진 S-schemes X, Y(구조 지도 포함) p, q,

${\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}}$.

예:B가 여전히 반지 또는 계획을 나타내는 가운데, 각 B-scheme X에 대해 자연적인 편견이 있다.

${\displaystyle {\mathbf{P}}_{}^{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n(X)=}$ $${X에 있는 선다발 L의 이형성 클래스와 함께 n + 1 글로벌 섹션이 L. }을(를) 생성함;

in fact, the sections s_i of L define a morphism ${\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}$. (See also Proj construction#Global Proj.)

비고: 위의 관점은 (점들의 functor라는 이름 아래 가서 그로텐디크에 기인한다) 대수 기하학의 기초에 상당한 영향을 끼쳤다.예를 들어, 설정된 값 펑터 대신 범주 값(시사-) 펑터와 함께 작업하면 스택의 개념으로 이어져 점 사이의 형태론을 추적할 수 있다.

이성지도

합리적인 계획 지도는 다양성에 대해서도 같은 방식으로 정의된다.따라서 축소된 체계 X에서 분리된 체계 Y까지의 합리적인 지도는 X의 개방된 밀도 하위 집합 U와$$형태론 ${\displaystyle F_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$: U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ ($U,f_$${U$$})$로 구성된 쌍(${\displaystyle U},{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$ f )의 동등성 등급이다$.$$U\to Y$ X의 합리적 함수는 정의상 X에서 A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$} 또는$$ 투영선 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {P}{$1}{$1}.$$}$

합리적인 지도가 일반 지점으로 일반 지점을 보내는 경우에만 지배적이다.^[8]

함수 필드 사이의 고리 동형성은 지배적인 이성적 지도(합리적인 지도일 뿐)를 유도할 필요가 없다.^[9]예를 들어, Spec k[x]와 Spec k(x)는 함수 필드(이름, k(x))가 같지만, 전자에서 후자로 이어지는 합리적인 지도가 없다.단, 대수 품종의 함수 장을 포함하면 지배적인 합리적 지도가 유도되는 것은 사실이다(대수품종의 형태론#속성 참조).

참고 항목

• 정기 임베딩
• 생성 가능한 집합(토폴로지)
• 보편적 동형성

메모들

참조

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Milne, 대수학 그룹의 대수 기하학 검토: 한 분야에 걸친 유한 유형의 집단 계획 이론.
• 바킬, 대수 기하학의 기초