하디-리틀우드 불평등

수학적 분석에서 G. H. Hardy와 John Edensor Littlewood의 이름을 딴 Hardy-Littlewood 불평등은 만약 f와 g가 n-차원 유클리드 공간ⁿ R에 정의된 무한에서 소멸하는 측정 가능한 실제 함수라면 그 다음이라고 기술하고 있다.

${\displaystyle \int_{\mathb {R}^{n}f(x)g(x)\,dx\leq \int_{\mathb {R}^{n}f^{*}g^{*(x)\,dx}$

여기서 f와^* g는^* 각각 f(x)와 g(x)의 대칭 감소 재배열이다.^[1][2]

증명

레이어 케이크 표현에서 다음 사항을 확인하십시오.^[1][2]

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infit }\chi _{f(x)}r}\,dr}$

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infit }\chi _{g(x)s}\,ds}$

여기서 ( )> ${\$은 다음에 의해 주어지는 부분집합 _f E의 지표 함수를 나타낸다.

${\displaystyle E_{f}=\왼쪽\{x\in X:f(x)]r\right\}}$

유사하게 ( ) >s {\$displaystyle \chi _{g($x)}$s}}}$은 에 의해 주어진 부분집합 E의 _g 지표 기능을 나타낸다.

${\displaystyle E_{g}=\left\{x\in X:g(x)]s\right\}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx}$

${\displaystyle =\int_{0}^{0}^{\int_{0}^{\int_{0}}{\mathb {R}\{n}}\chi_{f(x)\r\cap g(x)s}\,dr\,ds}$

$\displaystyle =\int _{0}^{\int _{0}^{\int _{0}}\mu \left(\f(x)\r\right\}\cap \{g(x)s\rig(x)\rig\rig\rig\ds}\,ds}$

${\displaystyle \leq \int _{0}^{\int _{0}^{\inty \\min \left(f(x)_r\right;\mu \left(x)\left(오른쪽)\dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\int _{0}^{\int _{0}}\min \left(f^{**(x)}r\right;\mu \left(g^{*)(x)s\right)\,ds}$

$\displaystyle =\int _{0}^{0}^{\int _{0}^{\infit }\mu \left(\f^{f^{f^})(x)\cap \{g^{g^}{g^{}(x)s\rig\ds}\,ds}$

${\displaystyle =\int _{\mathb {R}^{n}f^{*}(x)g^{*(x)\,dx}$

응용 프로그램.

확률 변수 X{X\displaystyle}보통 평균μ{\displaystyle \mu}과 유한을 합했을 때 분산 σ 2{\displaystyle \sigma ^{2}}와 그 Hardy–Littlewood 불평등을 사용하여 분포되어 있자, 그것은 0<>를 위해;δ<>1δ하려면 코트 샘플 및 팁을{\displaystyle{\displaystyle 0<, \delta<1}증명할 수 있다. \delta ^{\te$xt{{$$th}}}} 절대값$의 상호$$ 모멘트는$$

${\displaystyle {\begin}\operatorname {E} \좌측[{\frac {1}{\vert ^{\delta }}\우측]\leq 2^{\frac {(1-\delta )}{2}}:{\frac{1-\delta }}}}}}}}}}{\sigma ^{\delta }{\\sqrt{2\pi }}}}}}{\text{}}}}}}}\mu \in \mathb {R} .\ended}}}}}의 값에 관계 없음$^[3]

위의 정규 분포의 특성을 얻기 위해 사용되는 기법은 다른 단일 분포에 사용할 수 있다.

참고 항목

• 재배열 부등식
• 체비셰프의 합계 불평등
• 로렌츠 공간

참조