아이코날 방정식

eikonal 방정식(그리스어 εἰκν, image^[1][2])은 WKB 이론을 사용하여 파동 방정식을 근사하게 추정할 때 파동 전파의 문제에서 마주치는 비선형 부분 미분 방정식이다. 맥스웰의 전자석 방정식에서 도출할 수 있으며, 물리적(파형) 광학 및 기하학적(선) 광학과의 연계를 제공한다.

eikonal 방정식은 형식이다.

${\displaystyle \nabla u(x) ={\frac {1}{f(x)}},\quad x\in \Oomega}$

subject to ${\displaystyle u _{\partial \Omega }=0}$, where ${\displaystyle \Omega }$ is an open set in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with well-behaved boundary, ${\displaystyle f(x)}$ is a function with positive values, ${\displaystyle \nabla }$ denotes the gradient and $$${\displaystyle \cdot }$ $displaystyle \cdot }$은(는) 유클리드 표준이다. ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서는 일반적으로 우측 $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 알려진 입력으로 제공된다$$. 물리적으로 솔루션 $u{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle u(x)}$은(는) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ 내의$$ 경계 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle$ $\$$partial \$$Oomega$$}$에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$까지 이동하는 데 필요한 가장 짧은 시간이며${\displaystyle ,}$ $f$ ( ${\displaystyle x}$) ${\$$displaystylease$ $f(x)$는 $}$이다$.$

$f{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f=1}$인 특별한 경우$,$ 솔루션은 signed ${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \partial \Oomega$}로부터 서명된 거리를 제공한다$.$^{[citation needed]}

eikonal 방정식에 대한 해답의 근사치를 위한 하나의 빠른 계산 알고리즘은 빠른 행진법이다.

물리적 해석

지속적인 최단 경로 문제

아이코날 방정식의 해법

${\displaystyle \left \nabla u(x)\right ={\frac {1}{f(x)}}}{\text{{{}}}: \Oomega \subset \mathb {R} ^{n}}}$

${\displaystyle u(x)=q(x){\text{ for }x\in \partial \Oomega}$

can be interpreted as the minimal amount of time required to travel from ${\displaystyle x}$ to ${\displaystyle \partial \Omega }$, where ${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to (0,+\infty )}$ is the speed of travel, and ${\displaystyle q:\partial \Omega \to [0,+\infty )}$$$ 출구 시간 벌칙이다. (대체로 이것은 오른쪽 $C{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$/ f${\displaystyle }$( $){\displaystyle C(x)/f(x)}$ 및$$ $\displaystyle q}$를 출구 비용 벌금으로 만들어 최소 비용으로 간주할 수 있다.)

$\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u(x}$) ${\displaystyle \nabla u(x)}$이(가) 모든 지점에 존재한다고$$ 가정하면, $u{\displaystyle (x)}$ ${\displaysty u(x)}$이(가) 벨먼의 최적성 원리와 테일러 확장을 이용하여 시간 최적 제어 문제에 해당한다는$$ 것을 쉽게 증명할 수 있다.^[3] 안타깝게도 u${\displaystyle \mathrm{}u(x}$) ${\displaystyle \nabla u(x)}$이(가) 모든 지점에 존재한다고$$ 보장할 수는 없으며, 이를 증명하기 위해서는 보다 발전된 기술이 필요하다. 이로 인해 1980년대 피에르루이 라이온즈와 마이클 G 크랜달에 의해 점성 해결책이 개발되었고,^[4] 라이온스는 그의 공헌으로 필즈상을 수상하였다.

전자기 전위

eikonal 방정식의 물리적 의미는 공식과 관련이 있다.

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}$

여기서 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 전기장 강도, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$V}은$$(는) 전위력이다. 유체 흐름의 속도 전위와 열 전달의 온도에 대한 유사한 방정식이 있다. 전자기 예에서 이 방정식의 물리적 의미는 지역의 어떤 전하가 일정한 전위의 선에^{[clarification needed]} 직각으로 이동하도록 밀리고, E 벡터의 장과 전하의 기호에 의해 결정되는 힘의 선을 따라 움직인다는 것이다.

광학 광학 및 전자석학은 상수 위상의 전위선이 상수 위상의 선으로 대체된 전위방정식과 동일한 형태의 두 번째 전자기식을 제공하며, 힘 선은 상수 위상선 a에서 나오는 정상 벡터로 대체되었다는 사실과 관련이 있다.직각 t 이러한 정상 벡터의 크기는 상대 허용률의 제곱근에 의해 주어진다. 상수 위상의 선은 전진하는 광파 중 하나의 가장자리라고 볼 수 있다. 일반적인 벡터는 빛이 광학 광학에서 아래로 이동하는 광선이다.

연산 알고리즘

eikonal 방정식을 풀기 위한 몇 가지 빠르고 효율적인 알고리즘이 1990년대부터 개발되었다. 이러한 알고리즘 중 많은 알고리즘은 음의 에지 길이가 아닌 그래프에서 최단 경로 문제에 대해 훨씬 이전에 개발된 알고리즘을 활용한다.^[5] 이러한 알고리즘은 물리적 해석에 의해 제공되는 인과관계를 이용하고, 일반적으로 메쉬나^[6][7][8][9] 일반 그리드를^[10][11] 사용하여 도메인을 디스코트하고 각 디스코트된 지점에서 솔루션을 계산한다. 삼각형 다지관 위에 있는 천공용납기는 다음과 같다.^[6][7]

세티안의 빠른 행군법(FMM)^[10][11]은 아이코날 방정식을 풀기 위해 만들어진 최초의 "빠르고 효율적인" 알고리즘이었다. 원래 설명은 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ Ω ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$을(를) 일반 그리드로$$ 디즈크스트라의 알고리즘 논리를 정밀하게 반영하여 "알려진" 값에서 발견되지 않은 영역으로 솔루션을 "마찰"한다. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 디스코트되고 M ${\displaystyle M$${\displaystyle \}}$ 메쉬포인트가$$ 있는 경우 계산 $복잡성$은 O${\displaystyle (M}$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$) M )$${\$displaystyle O(M\log$ M$)}$이며 여기서$$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle \log}$ 용어는$$ 힙(일반적으로 이진)의 사용에서 유래한다. FMM은 라벨 설정 방법으로 분류되기 때문에 많은 수정을 규정할 수 있다. 또한, FMM은 도메인을 디스코트하는 일반 메쉬에서 작동하도록 일반화되었다.^[6][7][8][9]

또한 Bellman-Ford 알고리즘과 같은 라벨 보정 방법을 사용하여 많은 수정이 허용되는 탈변성 Eikonal 방정식을 해결할 수 있다(예: "Small Labels First" 또는 "Large Labels Last"). 지역 정보에 기초하여 그리드 포인트를 할당해야 하는 대기열을 결정하는 데 사용되는 임계값과 함께 두 개의 대기열을 사용하는 것을 제외하고, 기본적으로 Bellman-Ford 알고리즘의 버전인 두 개의 대기열 방식도 개발되었다^[14].

빠른 스윕 방법(FSM)^[15]과 같은 스윕 알고리즘은 해당 특성 곡선이 방향을 자주 바꾸지 않을 때 에이콘 방정식을 푸는 데 매우 효율적이다.^[5] 이러한 알고리즘은 라벨을 수정하지만 큐나 힙을 사용하지 않으며, 대신 업데이트할 그리드 포인트에 대해 서로 다른 순서를 규정하고 정합화 때까지 이러한 순서를 반복한다. 업데이트를 받지 않으면 스위프 도중 격자점을^[14] "잠금"하는 등의 개선사항이 도입되었지만, 고도로 정제된 격자 및 고차원 공간에서는 격자점을 모두 통과해야 하기 때문에 여전히 큰 오버헤드가 존재한다. 도메인을 분해하고 각 분해된 부분 집합에 대해 스위프를 수행하는 병렬 방법이 도입되었다. 자오의 병렬 구현은 도메인을 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$차원$$ 하위 집합으로 분해한 다음 각 하위 집합에서 개별 FSM을 실행한다.^[16] 덱스트릭시의 병렬 구현도 도메인을 분해하지만, 프로세서가 전체 도메인이 완전히 쓸릴 때까지${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (n-1)$- 차원$$ 하이퍼플레인의 그리드 포인트 업데이트를 담당하도록 각 개별 스위프를 병렬화한다.^[17]

FMM의 효율성과 FSM의 단순성을 활용한 하이브리드 방식도 도입됐다. 예를 들어 힙 셀 방법(HCM)은 도메인을 셀로 분해하여 셀 도메인에서 FMM을 수행하며, "셀"이 업데이트될 때마다 해당 셀 내에 있는 로컬 그리드 포인트 도메인에서 FSM이 수행된다.^[5] HCM의 병렬 버전도 개발되었다.^[18]

수치 근사치

단순성을 위해 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 간격 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 있는 균일한 그리드로 변경되었다고$$ 가정하십시오$.$

데카르트 그리드의 2D 근사치

격자점 $x{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 값 ${\displaystyle {\mathrm{Ui}}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle U(}$ x ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle u(}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j )$${\$displaystyle U_{ij}=U(x_{ij})\closure u(x_{ij}}})$가 있다고$$ 가정해 보십시오$.$ 부분파생물의 근사치를 위한 1차 계획.

${\displaystyle \max \left(D_{ij}^{-x}U,-D_{ij}^{+x}U,0\right)^{2}+\max \left(D_{ij}^{-y}U,-D_{ij}^{+y}U,0\right)^{2}\ =\ {\frac {1}{f_{ij}^{2}}}}$

어디에

${\displaystyle u_{x}(x_{ij})\approx D_{ij}^{\pm x}U={\frac {U_{i\pm 1,j}-U_{ij}}{\pm h}}\quad {\text{ and }}\quad u_{y}(x_{ij})\approx D_{ij}^{\pm y}U={\frac {U_{i,j\pm 1}-U_{ij}}{\pm h}}.}$

이 디스커트화의^[5] 일관성, 단조, 인과적 특성 때문에 U ${\displaystyle H_{}}$= ${\displaystyle min}$(${\displaystyle {Ui}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle j_{}}$, ${\displaystyle {Ui}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$, j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle U_{$$H}=\min(U_{i-1,j},U_{i+1,j})}$ and ${\displaystyle U_{V}=\min(U_{i,j-1},U_{i,j+1})}$ and ${\displaystyle U_{H}-U_{V} \leq h/f_{ij}}$ then

${\displaystyle \left({\frac {U_{ij}-U_{}-{}}}{H}{{h}}\오른쪽)^{2}+\왼쪽({\frac {U_{ij}-U_{{V}}}}}{{h}\오른쪽)^{2}={\frac {1}{f_{ij}^{2}}:}$

그 뜻은

${\displaystyle U_{ij}={\frac {U_}{H}+U_{V}}:{2}}:{\frac {1}{1}:{2}}: {\sqrt {(U_{H}+U_{V})^{2}-2\왼쪽(U_{{V})H}^{2}+U_{V}^{2}-{\frac {h^{2}}:{f_{ij}^{2}}:}\오른쪽)}}}}.}$

This solution will always exist as long as ${\displaystyle U_{H}-U_{V} \leq {\sqrt {2}}h/f_{ij}}$ is satisfied and is larger than both, ${\displaystyle U_{H}}$ and ${\displaystyle U_{V}}$, as long as ${\displaystyle$$$${\displaystyle U\_{}_{}}$${H}-U_{V} \leq$ h$/f_{ij}}$ $$${\displaystyle {}_{}{leq}_{}}$ $h$${\displaystyle /f{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ij}}_{}}$}$${\$displaystyle U_{H}-U_{V}}} \geq h$/$f_${ij$\}\}\}\}\}\}\}$을(를$)$ 부분 파생상품 중 하나가 $0$이라고 가정하여 저차원 업데이트를 수행해야 한다$.$

${\displaystyle U_{ij}=\min(U_{H},U_{V}+{\frac {h}{f_{ij}}}}.}$

데카르트 그리드의 n-D 근사치

$격자점{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle x}$에${\displaystyle }$U =${\displaystyle U}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle u}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$U=$U(x)\closure u(x)}$이$($가) 있다고 가정해 $보십시오{\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$= 2 {\$displaysty n=2}$ 사례와$$ 동일한 단계를 반복하면 부분파생물의 근사치를 위해 1차 체계를 사용할 수 있다. $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를$)$± e i {\$displaystyle$\pm \$mathbf {e} _{i}$ 방향에서$$ 주변 값의 최소값으로$$ 두십시오. 여기서 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 표준 단위 벡터입니다. 그러면 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum \sum _{j=1}^{n}\좌측({\frac {U-U_}}{h}\}\\\\\\\\\frac {1}{f_{i}^{2}}}}}}}}.}$

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 대한 이차 방정식을 해결하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle U={\frac {1}{n}\sum _{j=1}^{n}U_{j}+{\frac {1}{n}{n}}{\sqrt {\좌(\sum _{j=1}^{n}}U_{j}\오른쪽)^{2}-n\왼쪽(\sum _{j=1}^{n}U_{j}^{2}-{\frac {h^{2}}{f_{i}^{2}}:{2}}:}\오른쪽)}}}}.}$

제곱근의 판별이 음수인 경우, 저차원 업데이트를 수행해야 한다(즉, 부분파생상품 중 $하나$가 0 ${\displaystyle 0}).$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2}$인 경우 1차원 업데이트를 수행하십시오.

${\displaystyle U={\frac {h}{f_{i}}+\min _{j=1,\ldots,n}U_{j}}}$

If ${\displaystyle n\geq 3}$ then perform an ${\displaystyle n-1}$ dimensional update using the values ${\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{n}\}\setminus \{U_{i}\}}$ for every ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ and choose the smallest.

수학적 설명

eikonal 방정식은 형태 중 하나이다.

$(\displaystyle H(x,\nabla u(x)))=0}$

${\displaystyle u(0,x')=u_{0}(x')={\text{{}{}}{}}}$

$x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{},}$ x ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle x=$ ($0,x')}$을(를)$$x 1 {\$displaystyle$x_${\displaystyle \{}$$1$}를$$t. {\$displaystyt$ t$.}$로 생각함으로써 초기$$ 조건으로 생각할$$ 수 있다. 또한 이 평면의 부분집합이나 곡면에서는 분명한 수정으로 방정식을 풀 수도 있다.

The eikonal equation shows up in geometrical optics, which is a way of studying solutions of the wave equation ${\displaystyle c^{2} \nabla _{x}u ^{2}= \partial _{t}u ^{2}}$, where ${\displaystyle c(x)}$ and ${\displaystyle u(x,t)}$. In geometric optics, eikonal 방정식은 파동의 위상 전선을 설명한다. "초기" 데이터에 대한 타당한 가설 하에서, 아이코날 방정식은 국부적인 해결책을 인정하지만, 글로벌 스무스 솔루션(예: 기하학적 광학 사례에서 항상 해결책)은 가능하지 않다. 그 이유는 가성비가 생길 수 있기 때문이다. 기하학적 광학 사례에서 이것은 파동파가 교차한다는 것을 의미한다.

우리는 특징의 방법을 사용하여 계통 방정식을 풀 수 있다. One must impose the "non-characteristic" hypothesis ${\displaystyle \partial _{p_{1}}H(x,p)\neq 0}$ along the initial hypersurface ${\displaystyle x=(0,x')}$, where H = H(x,p) and p = (p₁,...,p_n) is the variable that gets replaced by ∇u. 여기서 x = (x₁,...,x_n) = (t,xcal)

First, solve the problem ${\displaystyle H(x,\xi (x))=0}$, ${\displaystyle \xi (x)=\nabla u(x),x\in H}$. This is done by defining curves (and values of ${\displaystyle \xi }$ on those curves) as

${\dot스타일 {\x}}=\nabla _{\xi }H(x)\xi(s)\;\;\;\;{\dot {\xi }}}=-\nabla _{x}H(x)\xi(s)\xi(s)}$

${\displaystyle x (0)=x_{0},\;\;\;xi ($$}$ ${\displaystyle u}$ 솔루션 $u{\displaystyle }$}을$($를) 갖기도 전에 H ${\displaystyle H}$에 대한 방정식 때문에$$ $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{},}$ x ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle x=$ ($0,x')}$에 대한 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$($)$를 알고 있다는 점에 유의하십시오$.$

이러한 방정식들이 어떤 구간 < ${\$}에 대한 해답을 가지고 있다는 것은 (비특성적 가설 사용) 표준 ODE 이론에서 나온 것이다. 이 곡선은 평면 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle x=(0,x')}$ 주위에 열린 세트를 채운다$.$ 따라서 곡선은 초기 평면에 대한 오픈 세트에서 $\xi$ ${\displaystyle \xi$}의 값을 정의한다. 이렇게 정의되면 체인 규칙을 사용하여${\displaystyle {\mathrm{}}_{}\mathrm{see}}$ s ${\displaystyle H}$( ${\displaystyle x}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \xi }$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \partial _{s}H(x)(s),\xi (s)=0$ $따라서{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H=0}$을(으)를 쉽게$$ 확인할 수 있다.

우리는 우리의 솔루션 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle$ $u$$}$이$($가) $모든{\displaystyle }$ s$${\$displaystyle$$$s$\},$${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\nabla }u}$ )${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ( ) =${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$(\$nabla u$)($x)}$ 또는 더 구체적으로$$u$}$을(가) 충족하기를$$ 원한다.$=\xi(x)).$$}$ ${\displaystyle u(x)}$ 솔루션 u(x)}에 대해 1분 동안 이 작업이$$ 가능하다고 가정하면$$

${\displaystyle {\frac {d}{d}{ds}}u(x)=\nabla u(x)\cdot {\x}=\xi \cdot {\partial H}{\partial \xi},},}$

따라서

${\displaystyle u(t)=u(x(0)+\int_{0}^{t}\xi(x)\cdot {\x}s\,ds.}$

즉, 솔루션 ${\displaystyle u}$는 명시적 방정식에 의해 초기 평면 부근에 주어진다$$. 그러나, 다른 초기 지점에서 시작하는 다른 $경로{\displaystyle }$x (${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle x(t$이 교차할 수 있기 때문에, 해결책은 다중값이 될 수 있으며, 그 시점에서 우리는 가성비를 개발했다. 또한 ($u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 해결책임을$$ 보여주기도 전에)

${\displaystyle \xi(t)=\xi(0)-\int_{0}^{t}\nabla_{x}H(x)\xi(x)\ds.}$

우리가 초기 평면 근처에서 정의한$$$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$이(가) 어떤 기능 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 구배라는 것을 보여 주는 것은 남아 있다$.$ 벡터 필드 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$이(가) 컬이 자유롭다는 것을 보여 준다면 이렇게 될 것이다. $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$의 정의에서 첫 번째 용어를 고려하십시오$.$ 이 용어${\displaystyle }function{\displaystyle }$ ( x (${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle \xi (x$(0$)=\nabla u (x)}}$은 함수의 구배인 만큼 굴곡이 없다. 다른 용어에 대해서는, 우리는 주목한다.

${\displaystyle {\frac {\properties ^{2}}:{\\pair x_{k}\,\pair x_{j}}}H={\frac {\partial ^{2}}:{\partial x_{j}\,\partial x_{k}}H.}$

결과는 다음과 같다.

적용들

• 콘크리트 적용은 대기 중 방사선 방출 감쇠의 연산이다.
• 컴퓨터 시야에서 음영으로 형상을 찾는 것.
• 기하광학
• 지속적인 최단 경로 문제
• 영상 분할
• 고체 추진제 로켓 곡물의 형태에 관한 연구

참고 항목

• 해밀턴-자코비-벨만 방정식
• 해밀턴-자코비 방정식
• 페르마의 원리

참조

추가 읽기

• Paris, D. T.; Hurd, F. K. (1969). Basic Electromagnetic Theory. McGraw-Hill. pp. 383–385. ISBN 0-07-048470-8.
• Arnold, V. I. (2004). Lectures on Partial Differential Equations (2nd ed.). Springer. pp. 2–3. ISBN 3-540-40448-1.

외부 링크

• 선형화된 eikonal 방정식
• 하인리히 브룬스의 "다스 아이코날" 영어 번역