디콘볼루션

수학에서 디콘볼루션이란 컨볼루션과 반대되는 연산이다.신호 처리와 영상 처리에는 두 가지 조작이 모두 사용됩니다.예를 들어 어느 정도의 ^[1]정밀도로 디콘볼루션 방법을 사용하여 필터(콘볼루션) 후에 원래의 신호를 회복할 수 있다.기록된 신호 또는 화상의 측정 오류로 인해 SNR이 나빠질수록 필터의 반전도 나빠지기 때문에 오류가 증폭될수록 필터를 반전시키는 것이 항상 좋은 해결책은 아닙니다.디콘볼루션은 이 문제에 대한 해결책을 제공합니다.

디콘볼루션(deconvolution)과 시계열 분석의 토대는 주로 매사추세츠 공과대학의 노버트 위너(Norbert Wiener)가 그의 저서 "Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series"(1949)^[2]에서 마련했다.이 책은 위너가 제2차 세계대전 동안 했지만 그 당시에 기밀로 취급되었던 작업에 바탕을 두고 있다.이러한 이론을 적용하기 위한 초기 시도 중 일부는 일기 예보와 경제 분야였다.

묘사

일반적으로 디콘볼루션의 목적은 다음과 같은 형태의 컨볼루션 방정식의 해 f를 구하는 것이다.

${\displaystyle f*g=h,}$

보통 h는 녹음된 신호이고 f는 회복하고 싶은 신호이지만 기록하기 전에 필터 또는 왜곡 함수 g로 변환되어 있습니다.보통 h는 f의 왜곡된 버전이고 f의 모양은 눈으로 쉽게 식별할 수 없거나 간단한 시간 영역 연산이 불가능합니다.함수 g는 물리적 시스템에 적용된 계기 또는 구동력의 임펄스 응답을 나타냅니다.g를 알고 있거나 적어도 g의 형태를 알고 있다면 결정론적 디콘볼루션(deconvolution)을 수행할 수 있다.단, g를 사전에 알 수 없다면 견적이 필요합니다.이는 통계적 추정 방법을 사용하거나 전기 회로 방정식 또는 확산 방정식과 같은 기초 시스템의 물리적 원리를 구축하여 수행할 수 있습니다.

측정 오류와 디콘볼루션 매개변수의 선택에 따라 몇 가지 디콘볼루션 기법이 있다.물리적 측정에서 상황은 일반적으로 다음과 같습니다.

${\displaystyle (f*g)+\varepsilon =h,}$

이 경우 is는 녹음된 신호에 입력된 노이즈입니다.노이즈가 있는 신호 또는 영상에 노이즈가 없는 것으로 가정할 경우 g의 통계 추정치가 부정확해집니다.또, of의 견적도 틀립니다.신호 대 잡음비가 낮을수록 디콘볼루션 신호의 추정치는 나빠집니다.이것이 신호의 역필터링이 보통 좋은 해결책이 아닌 이유입니다.단, 데이터의 소음 유형(예: 백색 소음)에 대한 지식이 적어도 어느 정도 존재하는 경우, δ의 추정치는 Wiener 디콘볼루션과 같은 기법을 통해 개선될 수 있다.

디콘볼루션(raw)은 측정 오차가 매우 낮으면(이상적인 경우) 반전 필터로 축소됩니다.원시 디콘볼루션(Raw deconvolution)은 Laplace 도메인에서 실행할 수 있습니다.기록된 신호 h와 시스템 응답 함수 g의 푸리에 변환을 계산하면 G를 전송 함수로 하여 H와 G를 얻을 수 있습니다.F를 위한 해결:

${\displaystyle F=H/G,}$

마지막으로 함수 F의 역 푸리에 변환을 취해 추정 디콘볼루션 신호 f를 구한다.G는 분모에 있으며, 존재하는 경우 오류 모델의 요소를 증폭시킬 수 있습니다.

적용들

지진학

디콘볼루션의 개념은 반사 지진학에서 초기에 적용되었다.1950년에 엔더스 로빈슨은 MIT 대학원생이었다.그는 반사 지진도의 "콘볼루션 모델"을 개발하기 위해 노버트 위너, 노먼 레빈슨, 그리고 경제학자 폴 새뮤얼슨과 같은 MIT의 다른 사람들과 함께 일했습니다.이 모델은 기록된 지진도 s(t)가 점원으로부터의 지구 반사율 함수 e(t)와 지진파 w(t)의 합성이라고 가정한다. 여기서 t는 기록 시간을 나타낸다.따라서, 우리의 컨볼루션 방정식은

$\displaystyle s(t)=(e*w)(t)\,}$

지진학자는 지구 구조에 대한 정보를 담고 있는 e에 관심이 있다.컨볼루션 정리에 의해, 이 방정식은 다음과 같이 푸리에 변환될 수 있다.

$\displaystyle S(\obega)=E(\obega)W(\obega),}$

주파수 영역에서 $"\displaystyle\obega"$는 주파수 변수입니다.반사율이 흰색이라고 가정하면 반사율의 파워 스펙트럼은 일정하고 지진도의 파워 스펙트럼은 그 상수를 곱한 웨이브릿의 스펙트럼이라고 가정할 수 있다.따라서,

$\displaystyle S(\obega) \약 k W(\obega) .,}$

웨이브릿이 최소 위상이라고 가정하면 방금 발견한 전력 스펙트럼과 동등한 최소 위상을 계산하여 복구할 수 있습니다.반사율은 추정된 웨이브렛을 Dirac 델타 함수(즉 스파이크)에 형성하는 Wiener 필터를 설계하고 적용함으로써 회복될 수 있다.결과는 일련의 스케일링된 시프트 델타 함수로 볼 수 있습니다(이 함수는 수학적으로 엄격하지 않습니다).

$\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta(t-\display_{i}),}$

여기서 N은 반사 이벤트의 수, $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는 반사 계수${\displaystyle ,}$ $t{\displaystyle }$ - ${\displaystyle i_{}}$i {\$displaystyle t-\tau$ _${i}$는 각 이벤트의 반사 시간, ${\$ {\$displaystyle \delta}$는 Dirac 델타 함수입니다.

실제로는 노이즈가 많고 한정된 대역폭, 한정된 길이, 이산적으로 샘플링된 데이터셋을 다루고 있기 때문에 위의 절차는 데이터 디콘볼루션에 필요한 필터의 근사치만 산출합니다.그러나 문제를 토플리츠 행렬의 해법으로 공식화하고 레빈슨 재귀를 사용함으로써 가능한 최소 평균 제곱 오차로 비교적 신속하게 필터를 추정할 수 있다.또한 주파수 영역에서 직접 디콘볼루션(deconvolution)을 수행하여 유사한 결과를 얻을 수 있습니다.이 기술은 선형 예측과 밀접하게 관련되어 있습니다.

광학 및 기타 이미징

광학 및 이미징에서 "디콘볼루션"이라는 용어는 광학 현미경, 전자 현미경, 망원경 또는 다른 이미징 장치에서 일어나는 광학 왜곡을 반전시켜 선명한 이미지를 만드는 과정을 가리키는 데 특별히 사용됩니다.일반적으로 디지털 도메인에서 현미경 이미지 처리 기술의 일부로서 소프트웨어 알고리즘에 의해 수행됩니다.디콘볼루션(deconvolution)은 캡처 중에 빠른 움직임이나 흔들림에 시달리는 이미지를 선명하게 하는 데도 유용합니다.초기 허블 우주 망원경 이미지는 결함이 있는 거울에 의해 왜곡되었고 디콘볼루션에 의해 선명해졌다.

일반적인 방법은 기기를 통과하는 광학 경로가 광학적으로 완벽하며, 점 확산 함수(PSF), 즉 이론적인 빛의 점 소스(또는 다른 파동)가 ^[3]기기를 통과하는 경로의 관점에서 왜곡을 설명하는 수학적 함수와 결합되어 있다고 가정하는 것입니다.일반적으로 이러한 점 소스는 최종 이미지에 작은 흐릿한 영역을 기여합니다.이 함수를 결정할 수 있다면, 그 역함수 또는 상보함수를 계산하고, 취득한 화상을 그것으로 정리하는 것이 중요합니다.결과는 왜곡되지 않은 원본 이미지입니다.

실제로 진정한 PSF를 찾는 것은 불가능하며, 일반적으로 그 근사치를 사용하거나 이론적으로 계산하거나^[4] 알려진 프로브를 사용하여 실험적인 추정에 기초한다.또한 실제 광학은 다른 초점 및 공간 위치에서 다른 PSF를 가질 수 있으며, PSF는 비선형일 수 있습니다.PSF 근사치의 정확성에 따라 최종 결과가 결정됩니다.다른 알고리즘을 사용하여 더 나은 결과를 얻을 수 있습니다. 단, 계산 집약도가 더 높기 때문입니다.원래 컨볼루션은 데이터를 폐기하므로 일부 알고리즘은 손실된 정보의 일부를 구성하기 위해 인근 초점에서 획득한 추가 데이터를 사용합니다.(기대 최대화 알고리즘과 같이) 반복 알고리즘의 정규화를 적용하여 비현실적인 솔루션을 회피할 수 있습니다.

PSF가 불분명한 경우, 가능한 다른 PSF를 체계적으로 시험하여 이미지가 개선되었는지 여부를 평가함으로써 PSF를 추론할 수 있습니다.이 절차를 블라인드 ^[3]디콘볼루션이라고 합니다.블라인드 디콘볼루션(blind deconvolution)은 천문학에서 잘 확립된 이미지 복원 기법이며, 여기서 촬영된 물체의 점 성질이 PSF를 노출시켜 더 실현 가능하게 한다.또한 이미지 복원을 위한 형광 현미경 검사 및 알려지지 않은 다중 형광구의 스펙트럼 분리를 위한 형광 스펙트럼 이미징에도 사용됩니다.이 목적을 위한 가장 일반적인 반복 알고리즘은 리처드슨입니다.Lucy 디콘볼루션 알고리즘; Wiener 디콘볼루션(및 근사치)은 가장 일반적인 비반복 알고리즘입니다.

레이저 펄스 테라헤르츠 시스템과 같은 일부 특정 이미징 시스템에서는 PSF를 ^[6]수학적으로 모델링할 수 있습니다.그 결과 그림과 같이 모델화된 PSF와 테라헤르츠 화상의 디콘볼루션에 의해 테라헤르츠 화상의 고해상도 표현을 얻을 수 있다.

전파 천문학

전파 천문학의 특정 종류인 전파 간섭계에서 영상 합성을 수행할 때, 한 단계는 생성된 영상을 점 확산 함수의 다른 이름인 "더티 빔"으로 디콘볼루션하는 것으로 구성됩니다.일반적으로 사용되는 방법은 CLEAN 알고리즘입니다.

생물학, 생리학 및 의료기기

디콘볼루션의 일반적인 용도는 트레이서 동역학이다.예를 들어 혈중 호르몬 농도를 측정할 때 디콘볼루션으로 그 분비율을 추정할 수 있다.또 다른 예는 측정된 간질성 포도당으로부터 혈당 농도를 추정하는 것으로, 실제 혈당의 시간과 진폭에서 왜곡된 버전이다.^[7]

흡수 스펙트럼

디콘볼루션(deconvolution)은 흡수 ^[8]스펙트럼에 광범위하게 적용되었다.Van Cittert 알고리즘(독일어 기사)을 ^[9]사용할 수 있습니다.

푸리에 변환 양상

디콘볼루션은 푸리에 공동 도메인의 나눗셈에 매핑됩니다.이를 통해 푸리에 변환의 대상이 되는 실험 데이터에 디콘볼루션(deconvolution)을 쉽게 적용할 수 있습니다.예를 들어 NMR 분광법은 데이터를 시간 영역에 기록하지만 주파수 영역에서 분석합니다.시간영역 데이터를 지수함수에 의해 분할하면 주파수영역 내의 로렌츠선 폭이 감소하는 효과가 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 컨볼루션
• 비트 플레인
• 디지털 필터
• 필터(신호 처리)
• 필터 설계
• 최소 단계
• 독립 성분 분석
• 위너 디콘볼루션
• 리처드슨루시 디콘볼루션
• 디지털 룸 보정
• 자유 디콘볼루션
• 포인트 스프레드 함수
• 디블러링
• 언샤프 마스킹

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