하이퍼 오퍼레이션

수학에서 초연산 시퀀스는 산술 연산의 무한 시퀀스(이 맥락에서 초연산이라고 함)^[1][11][13]로서 단연산(n = 0을 갖는 후계 함수)으로 시작한다. 이 시퀀스는 덧셈(n = 1) 곱셈(n = 2) 지수(n = 3)의 이진 연산을 계속한다.

그 후, 시퀀스는 우측 연관성을 사용하여 지수를 넘어 확장된 추가적인 이진 연산을 진행한다. 지수를 초과하는 연산의 경우, 이 시퀀스의 n번째 멤버는 -ation(정렬(n = 4), pention(n = 5), 16진(n = 6), 등으로 접미사가 붙은 그리스어 접두사의 이름을 따서 르우벤 굿스타인(Ruben Goodstein)에 의해 명명되며, 크누스의 위쪽 화살표 표기법에서 n - 2 화살표를 사용하는 것으로 쓸 수 있다. 각각의 초동작전은 다음의 방법으로 이전의 초동작용을 재귀적으로 이해할 수 있다.

${\displaystyle a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1])(\cdots [n-1](a[n-1])(a[n-1])\cdots )))} _{\displaystysty b{\mbox{}}}}}}}}\ngeq 2}$

또한 Knuth의 Ackermann 함수의 위쪽 화살표 버전에서와 같이 정의의 재귀 규칙 부분에 따라 정의될 수 있다.

$a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right)\ngeq 1}을(를) 표시하십시오.$

이것은 스큐스 수나 구골플렉스(예: ${\displaystyle 50}$ [ ${\displaystyle 50]}$ ${\displaystyle 50}$ [\$displaystyle 50[50]50}$는 스큐스 수나 구골플렉스보다 훨씬 크다)와 같이 과학적 표기법이 할 수 있는 수보다 훨씬 큰 숫자를 쉽게 나타낼 수 있는 데 사용될 수 있지만, 그레이엄 수나 TRI(3)와 같이 그들조차 쉽게 보여줄 수 없는 숫자도 있다.

이 재귀 규칙은 많은 변형된 하이퍼 오퍼레이션에 공통적이다.

정의

정의, 가장 일반적인

The hyperoperation sequence ${\displaystyle H_{n}(a,b)\colon (\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$ is the sequence of binary operations ${\displaystyle H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$, defined rec소변으로 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1{\text{ and }}b=0\\0&{\text{if }}n=2{\text{ and }}b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3{\text{ and }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}\end{case}}}$

(n = 0의 경우 첫 번째 인수를 무시하여 이진 연산 기능이 단항 연산(소프로세서 함수)으로 감소한다는 점에 유의하십시오.)

n = 0, 1, 2, 3의 경우, 이 정의는 다음과 같이 각각 후계자(단일 연산), 덧셈, 곱셈, 지수를 재현한다.

${\displaystyle {\reasoned}H_{0}(a,b)&=b+1,\H_{1}(a,b)&=a+b,\\H_{2}(a,b)&=a\time b,\end{arged}}$

n ≥ 3에 대한 H 연산은 Knuth의 위쪽 화살표 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}H_{3}(a,b)&=a\uparrow {b}=a^{b},\end{arged}}}$

그렇다면 지수화 후 다음 작전은 어떤 것이 될 것인가? We defined multiplication so that ${\displaystyle H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,}$ and defined exponentiation so that ${\displaystyle H_{3}(a,3)=a[3]3=a\uparrow 3=a^{3}=a\times a\times a,}$ so it seems logical to define the next operation, tetration, so that ${\displaystyle H_{4}(a,3)=a[4]3=a\uparrow \uparrow 3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},}$ with a tower of three 'a'. 이와 유사하게 (a, 3)의 억제는 (a, tetration(a, a))이 될 것이며, 그 안에 3개의 "a"가 들어 있을 것이다.

${\displaystyle {\reasoned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \b}\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\\ldots &\\\\\\\\\\\\\\\)H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{{{}n\geq 3,\\ldots &\\ended}}}}$

Knuth의 표기법은 지수화의 지연을 제외하고 전체 초동작업 순서에 동의하는 방식으로 마이너스 지수 ≥ -2까지 확장될 수 있다.

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{{{n\geq.}$

따라서 이러한 과잉작전은 후계자, 덧셈, 곱셈, 지수화 등의 순서에서 "다음은 무엇인가"라는 질문에 대한 답으로 볼 수 있다. 에 주목하여

${\displaystyle {\cdot}a+b&=(a+(b-1)+1\a\cdot b&=a+(a\cdot(b-1))\\a^{b}&=a\cdot \왼쪽(a^{(b-1)}\오른쪽)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aigned}}}$

기초 산술 연산의 관계를 예시하여 상기와 같이 자연적으로 상위 연산을 정의할 수 있다. 그 hyperoperation 체계에 대한 매개 변수 때때로 그들의 유사 멱법 용어에 의해;[14]이 기초가 됩니다, b는 지수(또는hyperexponent)[12]과 n이 계급(또는 채점)[6]고 부른다, Hn({\displaystyle H_{n}(a,b)}"의bth n-ation"로, 예를 들어 H4(7,9){\displa 읽는다.H_ystyle${4}(7,9$)은 "7의 9번째 테트레이션"으로 읽히고$$, H ${\displaystyle {123}_{}456,}$ ${\displaystyle 789}$)${\displaystyle H_{123}($45,$6,789$)은 $"$456의 789 123-tion"으로 읽힌다$$.

공통적으로, 하이퍼 운용은 이전의 하이퍼 운용의 반복에 기초하여 성장률이 증가하는 숫자를 복합하는 방법이다. 후계자, 덧셈, 곱셈, 강조의 개념은 모두 하이퍼 오퍼레이션이다. 후계자 연산(x에서 x + 1 생성)은 가장 원시적이다. 추가 연산자는 최종 값을 산출하기 위해 자신에게 1을 더해야 할 횟수를 지정하고 곱셈은 숫자를 더해야 할 횟수를 지정한다.lf, 그리고 지수는 숫자에 스스로 곱하는 횟수를 말한다.

정의, 반복 사용

두 변수의 함수 f의 반복을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle f^{x}(a,b)={\case}f(a,b)&{\text{{nif }x=1\f(a,f^{x-1})(a,b)&{\text{{}x}1\end{case}}$

초동작업 순서는 다음과 같이 반복의 관점에서 정의할 수 있다. 모든 정수 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$, a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle x,n,a,b\geq$ 0$,}$에 대해 정의하십시오$$.

${\displaystyle {\display{array}{lcl}H_{0}(a,b)&=&b+1\\H_{1}(a,0)&=&a\\H_{2}(a,0)&=&0\\H_{n+3}(a,0)&=&1\\H_{n+1}(a,b+1)&=&&H_{n}^{b+1}(a,H_{n+1}(a,0)\H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}(a,H_{n}^{x+1}(a,b)\end{array}}}}}$

반복은 연관성이 있기 때문에 마지막 행은 다음으로 대체될 수 있다.

${\displaystyle {\display{array}{lcl}H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}^{x+1}(a,H_{n}(a,b)\end{array}}}$

연산

초동작업 순서의 정의는 당연히 용어 재작성 시스템(TRS)으로 전치될 수 있다.

정의 하위 1.1에 기반한 TRS

초동 작업 순서의 기본 정의는 감소 규칙과 일치한다.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r1)}}&H(0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r2)}}&H(S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&H(S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&H(S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r5)}}&H(S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(n,a,H(S(n),a,b))\end{array}}}$

$H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$을(를) 계산하려면 스택을 사용할 수 있으며, 이 스택에는 처음에 $⟨{\displaystyle n}$, a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle n,a,b\angle }$ 요소가 포함되어 있다$.$

그리고 나서, 더 이상 불가능할 때까지 반복해서 세 가지 요소가 튀어 나와 규칙에 따라 대체된다.

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r1)}}&0&,&a&,&b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r2)}}&1&,&a&,&0&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&2&,&a&,&0&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&(n+3)&,&a&,&0&\rightarrow &1\\{\text{(r5)}}&(n+1)&,&a&,&(b+1)&\rightarrow &n&,&a&,&(n+1)&,&a&,&b\end{array}}}$

$⟨{\displaystyle n}$, ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle n,a,b\angle }$부터 개략적으로 시작$:$

WHY stackLength <> 1 { POP 3 요소, 규칙 r1, r2, r3, r4, r5; }에 따라 푸시 1 또는 5 요소 

예

계산 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$2${\displaystyle {}_{}}$) →${\displaystyle {}_{}\mathrm{}}$ 4 ${\displaystyle H_{2}(2,2)\오른쪽$ 화살표 $_$^[15]

감소 순서는

${\displaystyle {\underline {H(S(0), S(0), S(S)}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0), S(0),{\underline {H(S(0)), S(0)}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0), S(0), H(0), S(0),{\underline {H(S(0)), S(0),0}}}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r3}H(0), S(0),{\underline {H(0),S(0),0)}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {H(S(0), S(0), S(0))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(0),{\underline {H(S(0),S(0),S(0)}}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(0),H(0,S(0),{\underline {H(0),S(0),0)}}}$

${\displaystyle \오른쪽 화살표 _{r2}H(0,S(0),{\underline {H(0,S(0),S(0))}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {H(0,S(0),S(0)))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}S(S(S(0)))}$

스택을 사용하여 구현된 경우 입력${\displaystyle }$input ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$ 2,$2,\angle }$

스택 구성	방정식을 나타내다
${\displaystyle {\underline {2,2,2}}$	${\displaystyle H_{2}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow_{r5}1,2,{\underline {2,2,1}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{2}(2,1)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}1,2,1,2,2,{\underline {2,0}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,H_{2}(2,0)))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r3}1,2,{\underline {1,2,0}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,0)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {1,2,2}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,{\underline {1,2,1}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{1}(2,1)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,2,2,{\underline {1,2,0}}$	${\displaystyle =H_{0}(2),H_{0}(2,H_{1}(2,0))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}0,2,{\underline {0,2,2}}:$	${\displaystyle =H_{0}(2),H_{0}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {0,2,3}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,3)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}4}$	${\displaystyle =4}$

정의 하위 1.2에 기반한 TRS

반복을 사용한 정의는 다른 일련의 감소 규칙으로 이어진다.

${\displaystyle{\begin{배열}{lll}{\text{(r6)}}&H(S(0),0,a,b)&\rightarrow&S(b)\\{\text{(r7)}}&H(S(0),S(0),a,0)&\rightarrow&a\\{\text{(r8)}}&H(S(0),S(S(0)),a,0)&\rightarrow&0\\{\text{(r9)}}&H(S(0),S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow&S(0)\\{\text{(r10)}}&H(S(0),S(n),a,S(b))&\rightarrow&H(S(b),n,a,H(S(0),S(n),a,0))\\{\text{(r11)}}&H(S(S())),n,a,b)&\right화살표 &H(S(0),n,a,a,H(x),n,a,b)\end{array}}}$

반복은 연관성이 있기 때문에 규칙 r11 대신에 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r12)}&H(S(S)(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S)(x),n,a,n,a,b)\end{array}}}}}}$

앞의 절과 마찬가지로 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ,${\displaystyle b}$) ${\displaystyle H_{n}(a,b)=$$H_{n}^{1}(a,b)}$은(는) 스택을 사용하여 구현할 수 있다$$.

처음에 스택에는 ${\displaystyle \mathrm{4개}}$의 요소 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle }$a , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$1$,n,a,b\angle }$이(가) 포함되어 있다$.$

그 후 종료할 때까지 규칙에 따라 네 가지 요소가 튀어 교체된다.

${\displaystyle{\begin{배열}{lllllllll}{\text{(r6)}}&1&, ,0&, ,a&, ,b&, \rightarrow&(b+1)\\{\text{(r7)}}&1&, ,1&, ,a&, ,0&, \rightarrow&a\\{\text{(r8)}}&1&, ,2&, ,a&, ,0&, \rightarrow&0\\{\text{(r9)}}&1&, ,(n+3)&, ,a&, ,0&, \rightarrow&1\\{\text{(r10)}}&1&, ,(n+1)&, ,a&.;,(b+1)&, \rightarrow&(b+1)&, ,n&, ,a&, ,1&, ,(n+1)&, ,a&, ,0\\{\text{(r11)}}&(x+2)&, ,n&, ,a&, ,b&, \rightarrow&1&, ,n&, ,a&, ,(x+1)&, ,n&.a&,b\end{array}}$

$⟨{\displaystyle }$1,${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b⟩}$ ${\displaystyle \langle$1$,n,a,b\angle }$부터 개략적으로$$시작:

WHY stackLength <> 1 { POP 4 요소, r6, r7, r8, r9, r10, r11; } 규칙에 따라 푸시 1 또는 7 요소 

예

계산 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 0}$, 3${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle H_{3}(0,3)\오른쪽$ 화살표 $_{*}0$ .

${\displaystyle \mathrm{입력}}$ $⟨{\displaystyle }$ 1,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$1$,3,0,3\angle }$에서 연속$$ 스택 구성은

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{\underline{1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline{1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline{3,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,{\underline{2,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,1,2,0,{\underline{1,2,0,1}}\\&, \rightarrow _{r10}1,2,0,1,2,0,1,1,0,{\underline{1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}1,2,0,1,2,0,{\underline{1,.1,0,0}})오른쪽 화살표 _{r7}1,2,0,{\아래쪽 화살표 {1,2,0,0}\오른쪽 화살표 _{r8}{\아래쪽 화살표 {1,2,0,0}\오른쪽 화살표 _{r8}0}\end{정렬}}}$

그에 상응하는 동일성은 다음과 같다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0)=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}(0,H_{2}^{2}^{2}(0,1))=H_{2}(0,H_{2})(0,H_{2}(0,1))\\&=H_{2}(0,H_{2})(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0))))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,0))=H_{2}(0,H_{2}(0,0)=H_{2}(0,0)=0.\end{정렬}}}$

감소 규칙 r11을 규칙 r12로 대체하면 스택이 다음 항목으로 변환됨

${\displaystyle {\reason{array}{lllllll}{\text{(r12)}&(x+2)&,n&,a&,b&\오른쪽 화살표 &(x+1)&,n&,a&,n&,b\end{array}}}}}$

그런 다음 연속적인 스택 구성은

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{\underline{1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline{1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline{3,2,0,1}}\rightarrow _{r12}2,2,0,{\underline{1,2,0,1}}\rightarrow _{r10}2,2,0,1,1,0,{\underline{1,2,0,0}}\\&, \rightarrow _{r8}2,2,0,{\underline{1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}{\underline{2,2,0,0}}\rightarrow _{r12}.1,2,0,{)밑줄 {1,2,0,0}\오른쪽 화살표 _{r8}{\아래줄 {1,2,0,0}\오른쪽 화살표 _{r8}0\end{arged}}}$

그에 상응하는 동일성은 다음과 같다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0)=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}^{2}^{2}(0,H_{2}(0,1))=H_{2}^{2}^{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0))))\\&=H_{2}^{2}^{2}(0,H_{1}(0,0)=H_{2}^{2}^{2}(0,0)=H_{2}(0,H_{2}(0,0)=H_{2}(0,0)=0\end{정렬}}$

언급

• ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H_{3}(0,3)=0}$은 특수한 경우다$$. 아래를 참조하십시오.^{[nb 3][nb 4]}
• 규칙 {${\displaystyle {r6}_{}}$ - r10, r11}에 따른$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$(,${\displaystyle b}$) ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$의 계산은 상당히 반복적이다. 범인은 반복이 실행되는 순서다. ${\displaystyle H^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$( a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= H${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle$ H$^{n}(a,b)=H(a,H^{n-1}(a,b$ . 첫 번째 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은 전체 시퀀스를 펼친 후에만 사라진다$$. 예를 들어 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle H_{4}(2,4)}$이(가) 2863311767단계에서 65536으로 수렴되며$$, 재귀의^[17] 최대 깊이는 65534이다.
• 그런 점에서 규칙 {r6 - r10, r12}에 따른 계산이 더 효율적이다. $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ - 1${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle (,}$ h ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$ ) ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ H$^{n}(a,b)}$을(를) H n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (, ${\displaystyle H}$ (, b${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{n-1}(a,$ h)(b$)})$로 구현하는 것은 절차 H의 반복적인 실행을 모방한다$$.^[18] 반복 깊이(n+1)는 루프 중첩과 일치한다. 마이어 앤 리치(1967)는 이 서신을 공식화했다. 규칙 {r6-r10, r12}에 따른$$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ $4{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$4${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{4}(2,4$)의 계산도 65536에 수렴하려면 2863311767단계가 필요하지만, 최대 재귀 깊이는 초동 작업 순서에서 5번째 연산자이기 때문에 5에 불과하다.
• 위의 고려사항은 재귀 깊이에만 해당된다. 어떤 식으로든 반복하면 동일한 규칙(규칙 r11과 r12가 "동일한" 것으로 간주되는 경우)을 수반하는 동일한 수의 감소 단계로 이어진다. 예를 들어 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle H_{3}(0,3$)의 감소를 나타내듯이 1 X r7, 3 X r8, 1 X r9, 2 X r10, 2 X r11/r12의 9단계로 수렴한다$$. modus iterandi는 감소 규칙이 적용되는 순서에만 영향을 미친다.

예

아래는 최초 7회(0위~6위)의 하이퍼 오퍼레이션 목록이다(0 (는 1로 정의된다).

n	작전, Hn(a, b)	정의	이름	도메인
0	${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1+b}$ $또는$ [ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a[0]b}$	${\displaystyle 1+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{{{{}}}}}{{{{mbox{{{{{{}}}}}$	하이퍼0, 증분, 후계자, zeration	임의적
1	${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ $또는$ [ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]b}$ ${\displaystyle a[1]b}$	${\displaystyle a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{{{{}}}}}}{{{{mbox{{{{{{}}}}$	하이퍼1, 추가	임의적
2	${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ 또는$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ]b}$ ${\displaystyle a[2]b}$	${\displaystyle \underbrace {a+a+\cdots +a+a} _{\displaystyle b{\mbox{{}a}}}}}}$	하이퍼2, 곱하기	임의적
3	${\displaystyle a^{}}$ b ${\$ a$^{b}$ 또는$$ ${\displaystyle [3}$ ${\displaystyle ]b}$ ${\displaystyle a[3]b}$	${\displaystyle \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots \\cdot a;\cdot a\cdot a} _{\displaysty b{\mbox{{}a}}}}}$	하이퍼3, 지수	b real, 복잡한 숫자에 대한 일부 다중값 확장 포함
4	${\displaystyle {}^b}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ^{b}a}$ $또는$ [ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a[4]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[3](\cdots[3](a[3]a)\cdots ))} _{\displaysty b{\mbox{}}}}}$	하이퍼4, 테트레이션	≥ 0 또는 정수 b 정수 ≥ -1(일부 확장 제안 포함)
5	$a[5]b를 표시하십시오.$	${\displaystyle \underbrace{a](a[4](\cdots [4](a[4]a)\cdots ))} _{\displaysty b{\mbox{{}}}}}}}$	하이퍼5, 억눌림	a, b 정수 ≥ -1
6	$a[6]b를 표시하십시오.$	${\displaystyle \underbrace{a](a[5](\cdots [5](a[5]a)\cdots ))} _{\displaysty b{\mbox{{}}}}}}}$	하이퍼6, 16진수	a, b 정수 ≥ -1

특례

H_n(0, b) =

b + 1, n = 0인 경우

b, n = 1일 때

0, n = 2인 경우

1, n = 3 및 b = 0인 경우

0, n = 3 및 b > 0일 때

1, n > 3과 b가 짝수일 때 (0 포함)

0, n > 3과 b가 홀수일 때

H_n(1, b) =

1, n이 3일 때

H_n(a, 0) =

0, n = 2인 경우

1, n = 0일 때 또는 n ≥ 3일 때

a, n = 1일 때

H_n(a, 1) =

a, n ≥ 2일 때

H_n(a, a) =

H_n+1(a, 2)일 때 n ≥ 1

H_n(a, −1) =^{[nb 5]}

0, n = 0일 때 또는 n ≥ 4일 때

a - 1, n = 1일 때

-a, n = 2일 때

1/a, n = 3일 때

H_n(2, 2) =

3, n = 0인 경우

4, n ≥ 1이면 재귀적으로 쉽게 입증할 수 있다.

역사

초창기 초기의 초창기 중 하나가 1914년 알버트 베넷의 초창기 중 하나로, 그는 교화 초창기 이론의 일부를 발전시켰다(아래 참조). 약 12년 후, 빌헬름 아커만(Wilhelm Ackermann)은 초작동 시퀀스와 다소 닮은$$^[19] $a,$ b$n$ $함수 \phi(a,b,$n$)$를 정의했다.

르우벤 굿스타인은 1947년 논문에서 현재 과대 연산이라고 불리는 구체적인 연산 순서를 소개했으며, 지수를 넘어 확장된 연산(지수의 4, 5 등에 해당하기 때문에)에 대해서도 그리스식 이름 테트레이션, 억제 등을 제시했다.^[5] 예를 들어, 3개 인수 함수로서 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle H_{}}$ n $){\displaystyle G(n,a,b)=$$H_{n}(a,b)}$, 전반적 초동작열은 원래의 Ackermann 함수 $\varphi {\displaystyle }$(,${\displaystyle b}$, $){\displaystyle \phi (a,b,n)}$ —$$ 재귀적이지만 원시적 재귀성은 아닌 것으로 보인다 - Goodstein이 다른 세 가지 기본 연산(aditio)와 함께 원시적 계승함수를 통합하기 위해 수정한 것이다.n, 곱하기, 지수화) 및 이들 범위를 지수화 이상으로 보다 원활하게 확장하는 것.

원래 3개의 주장 Ackermann 함수 ${\displaystyle \pi }$은 굿스타인의 그것 버전(즉, 초동작렬)과 같은 재귀 규칙을 사용하지만$$, 두 가지 면에서 그것과 다르다. 첫째, ${\displaystyle \varphi (,b}$ , ${\displaystyle n}$)$${\$displaystyle \phi (a,b,n)}$은(는) 후속 함수가 아닌 덧셈(n = 0)부터 시작하여 곱셈(n = 1), 지수(n = 2)부터 시작하는 일련의 작업을 정의한다$$. Secondly, the initial conditions for ${\displaystyle \phi }$ result in ${\displaystyle \phi (a,b,3)=G(4,a,b+1)=a[4](b+1)}$, thus differing from the hyperoperations beyond exponentiation.^[7][20][21] The significance of the b + 1 in the previous expression is that ${\displaystyle \phi (a,b,3)}$ = ${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$, where b counts the number of operators (exponentiations), rather than counting the number of operands ("a"s) as does the b in ${\displaystyle a[4}$${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle b}$ $[\displaystyle a[4]b}$등 상위 수준의 작업. (자세한 내용은 Ackermann 함수 문서를 참조하십시오.)

공증

이것은 과작업에 사용된 공지의 목록이다.

이름	$H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}b}$) ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$에 해당하는 표기법	댓글
크누스의 위쪽 화살표 표기법	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}$	크누스(n ≥ 3)가 사용하였으며, 여러 참고 문헌에 수록되어 있다.[23][24]
힐베르트의 표기법	${\displaystyle \phi _{n}(a,b)}$	데이비드 힐버트가 사용했어.[25]
굿스타인의 표기법	${\displaystyle G(n,a,b)}$	루벤 굿스타인이 사용함.[5]
오리지널 애커만 함수	${\displaystyle {\jeq}\phi(a,b,n-1)\\\\\text{{{\n-1)\\\\cext{{}}}}$	빌헬름 아커만(n ≥[19] 1)이 사용함
아커만-페터 함수	${\displaystyle A(n,b-3)+3\{\text{}a=2}$	이는 기준 2(a = 2)에 대한 하이퍼 오퍼레이션에 해당한다.
남비아어 표기법	${\displaystyle a\otimes ^{n-1}b}$	Nambiar에서 사용(n ≥ 1)
위첨자 표기법	${\displaystyle a{}^{(n)b}$	로버트 무나포(Robert Munafo)가 사용함.[20]
첨자 표기법(하위 하이퍼 오퍼레이션의 경우)	${\displaystyle a{}_{(n)b}$	로버트 무나포(Robert Munafo)의 낮은 초동수술에 사용된다.[20]
연산자 표기법("확장 연산"의 경우)	${\displaystyle aO_{n-1}b}$	John Doner와 Alfred Tarski의 낮은 초동작용으로 사용된다(n n 1의 경우).[27]
대괄호 표기법	$a[n]b를 표시하십시오.$	많은 온라인 포럼에서 사용되며, ASCII에 편리하다.
콘웨이 체인 화살표 표기법	$a\to b\to (n-2)}$	존 호튼 콘웨이(n ≥ 3)가 사용함

a에서 시작하는 변종

1928년, 빌헬름 아커만(Wilhelm Ackermann$)$은 3개 주장 함수 $(a$,$b$,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$을 정의했는데$,$ 이$$ 함수는 점차 아커만 함수로 알려진 2개 주장 함수로 진화했다. 원래 Ackermann 함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는${\displaystyle )}$ $conditions{\displaystyle }$ ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle 0}$, n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 모든 n > 2에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle \pi (a,0,n)=a}$로 시작되기 때문에 현대의 과급 수술과 덜 비슷했다$$. 또한 그는 n = 0, 곱셈을 n = 1에 할당하고 지수를 n = 2에 할당하여 초기 조건에서는 테트레이션 및 그 이후의 작업에 대해 매우 다른 연산을 생성한다.

n	작전,	댓글
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}$	상쇄된 형태의 테트레이션. 이 수술의 반복은 테트레이션의 반복과는 다르다.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1)^{b}(a)}$	억눌림과혼동해서는 안 된다.

사용된 또 다른 초기 조건은 초동작위계층을 형성하지 않는 Rozsa Péter 때문에 $A{\displaystyle }$($0,$ b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ b${\displaystyle }$+ 1$$(${\displaystyle \mathrm{여기}}$서는 $base$가 $상수{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$$=$ 2$${\$displaysty a=2}$ )이다.$$$$

0부터 시작하는 변종

1984년, C. W. 클렌쇼와 F. W. J. 올버는 컴퓨터 부동 소수점 오버플로를 막기 위해 하이퍼 오퍼레이션을 사용하는 것에 대한 논의를 시작했다.^[28] 그 이후로, 많은 다른 저자들은 부동 소수점 표현에 대한 하이퍼 오퍼레이션의 적용에 새로운 관심을 갖게 되었다. (b_n = -1에 대해 H(a, b)가 모두 정의되므로) 테트레이션을 논의하는 동안, 클린쇼 외는 초기 조건 ${\displaystyle {Fn}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{a}}$, 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F_{n}(a,0)=0}$을$($를) 가정했는데, 이것은 또 다른 초동작위계층을 만든다. 앞의 변종에서와 마찬가지로 네 번째 조작은 테트레이팅과 매우 유사하지만, 1로 상쇄된다.

n	작전,	댓글
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=b+1}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}$	상쇄된 형태의 테트레이션. 이 수술의 반복은 테트레이팅의 반복과는 크게 다르다.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{{\text{{{}}}}{{}a>0}$	억눌림과혼동해서는 안 된다.

낮은 하이퍼 오퍼레이션

이러한 초동작용을 위한 대안은 왼쪽에서 오른쪽으로 평가하여 얻는다.^[9] 이후

${\displaystyle {\b-1}a+b&=(a+(b-1)+1\\a\cdot b&=(a\cdot(b-1)+a^{b}=\좌측(a^{(b-1)}\cdot a\end{aigned}}}}}}}}}}}}}$

정의(° 또는 첨자 포함)

${\displaystyle a_{(n+1)}b=\left(a_{(n+1)}(b-1)\right)_{(n)a}$

와 함께

${\displaystyle {\regated}a_{(1)b&=a+b\\a_{(2)0&=0\\\a_{n)1&=a&{\text{{}n>2\\end}}}}}$

이것은 도너와 타르스키에 의해 서수 번호로 확장되었다.^[32]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\gamma }\beta &=\sup \limits _{\eta <\beta ,\xi <\gamma }(\alpha O_{\gamma }\eta )O_{\xi }\alpha \end{aligned}}}$

정의 1(i), 코롤라리 2(ii), 정리 9에서 from 2와 b ≥ 1에 대해 다음과 같이 한다^{[original research?]}.

${\displaystyle aO_{n}b=a_{(n+1)b}$

그러나 이는 일종의 붕괴를 겪으며 전통적으로 하이퍼 오퍼레이터가 기대했던 "파워 타워"를 형성하지 못하고 있다.^{[33][nb 6]}

${\displaystyle \property_{(4)}(1+\pair )=\pair ^{\pair(\pair ^{\pair }\오른쪽)}.}$

만약 α α α α 2와 ^{[27][Corollary 33(i)][nb 6]}α α ≥ 2가 되면

${\displaystyle \properties _{(1+2\properties +1)}\req \req \pairs _{+2\pair )}(1+3\pair \pairs \pairs).}$

n	작전,	댓글
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+1}$	증분, 후계자, zeration
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{\왼쪽(a^{(b-1)}\오른쪽)}}$	테트레이팅과혼동해서는 안 된다.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\왼쪽(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\오른쪽)^{b-1}(a)}$	억눌림과혼동해서는 안 된다. 테트레이팅과 유사하다.

상호 작용 하이퍼 오퍼레이션

알버트 베넷은 1914년 초에 상호 작용하는 초동작용을 고려했는데,^[6] 이것은 아마도 초동작전에 관한 가장 초기 발언일 것이다. 순환 하이퍼 오퍼레이션은 재귀 규칙에 의해 정의된다.

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n})(\ln(a),\ln(b)}}$

a와 b에서 대칭인 즉, 모든 과대조작은 서로 상통한다는 뜻이다. 이 시퀀스는 지수를 포함하지 않으며, 따라서 초동 작업 계층을 형성하지 않는다.

n	작전,	댓글
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\오른쪽)}$	평활 최대값
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}}$	이는 로그의 속성 때문이다.
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(a)\ln(a)\ln(b)}}}$	테트레이팅과혼동해서는 안 된다.

초동작업순서에 기초한 숫자계통

R. L. Goodstein은 비 음의 정수에 대한 숫자 시스템을 만들기 위해 하이퍼 오퍼레이터의 순서를 사용했다. k 레벨과 b 레벨에서 정수 n의 소위 완전한 유전적 표현은 첫 번째 k 하이퍼 오퍼레이터만을 사용하고, 기본 b 자체와 함께 숫자 0, 1, ..., b - 1만을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

• 0 ≤ n ≤ b - 1의 경우 n은 단순히 해당 숫자로 표현된다.
• n > b - 1의 경우, n의 표현이 재귀적으로 발견되며, 먼저 형태에서 n을 나타낸다.

b [k] x_k [k − 1] x_{k − 1} [k - 2] ... [2] x₂ [1] x₁

여기서 x_k, ..., x는₁ 만족하는 최대 정수(회전)

b [k] x_k ≤ n

b [k] x_k [k − 1] x_{k − 1} ≤ n

...

b [k] x_k [k − 1] x_{k − 1} [k - 2] ... [2] x₂ [1] x₁ ≤ n

그런 다음 b - 1을 초과하는_i x는 동일한 방식으로 다시 표현되며, 따라서 결과 양식에 기본 b와 함께 숫자 0, 1, ..., b - 1만 포함될 때까지 이 절차를 반복한다.

불필요한 괄호는 평가 순서에서 상위 연산자에게 더 높은 우선순위를 부여함으로써 피할 수 있다.

레벨 1 표현은 b[1] X 형식을 가지며, X 형식도 이 형식이다.

레벨 2 표현에는 b [2] X [1] Y 형식이 있고 X,Y 형식도 있다.

레벨 3 표현에는 b [3] X [2] Y [1] Z 형식이 있고 X, Y, Z 형식도 있다.

레벨 4 표현에는 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W 형식이 있고 X, Y, Z, W 형식도 있다.

등등.

이러한 base-b 유전적 표현 유형에서는 베이스 자체가 표현식에 나타나며, 세트 {0, 1, ..., b - 1}의 "digits"도 나타난다. This compares to ordinary base-2 representation when the latter is written out in terms of the base b; e.g., in ordinary base-2 notation, 6 = (110)₂ = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, whereas the level-3 base-2 hereditary representation is 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0). 유전적 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1 등의 예를 생략하여 약어할 수 있다. 예를 들어, 위의 레벨 3 베이스-2 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 축소된다.

예: 레벨 1, 2, 3, 4, 5에서 숫자 266의 고유한 베이스-2는 다음과 같다.

레벨 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (133 2초 포함)

레벨 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1) [1] 1)

레벨 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2

레벨 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2

레벨 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

참고 항목

Wikimedia Commons는 하이퍼 오퍼레이션과 관련된 미디어를 가지고 있다.

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메모들

참조

참고 문헌 목록