클라인 다면체

숫자의 기하학에서는 펠릭스 클라인의 이름을 딴 클라인 다면체를 사용하여 더 높은 차원으로 이어지는 분수의 개념을 일반화한다.

정의

$\textstyle C$ ${\$ 을(를) 유클리드 공간 $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 있는 닫힌 단순 콘으로 두십시오 $\textstyle C$ $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\textstyle C$ ${\$ 의 클라인 다면체는 $\textstyle C\cap \mathbb {Z} ^{n}$ $\textstyle C\cap \mathbb {Z} ^{n}$ Z $\textstyle C\cap \mathbb {Z} ^{n}$ ${\$ C\ $cap \mathb{Z}$ ^{ $n$ 의 0이 아닌 지점의 볼록한 선체다 $\textstyle C$ .

지속분수와의 관계

$\textstyle \alpha >0$ > $\textstyle \alpha >0$ ${\$ 이 $\textstyle \alpha >0$ (가) 비합리적인 숫자라고 가정하자.In $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ , the cones generated by $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ and by $\textstyle \{(1,\alpha ),(0,1)\}$ give rise to two Klein polyhedra, each of which is bounded by a sequence of adjoi닝 라인 세그먼트.선 세그먼트의 정수 길이를 $\textstyle \mathbb {Z} ^{n}.$ $\textstyle \mathbb {Z} ^{n}.$ . ${\$ 와 교차하는 크기보다 1보다 작도록 정의하십시오. $}}$ 그런 $\textstyle \mathbb {Z} ^{n}.$ 다음 이 두 클라인 폴리헤드라의 가장자리 정수 길이는 짝수 항과 일치하는 $\textstyle \alpha$ {\ $displaystyle \textstyle \alpha$ 의 지속적인 굴절 확장을 암호화한다.

클라인 다면체 관련 그래프

Suppose $\textstyle C$ is generated by a basis $\textstyle (a_{i})$ of $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ (so that ${\displaystyle \textstyle C=\{\sum _{i}\lambda _{i}a_{i}:(\forall i)\;\lambda _{i$ $}\geq 0\}}$ ), and let $\textstyle (w_{i})$ be the dual basis (so that $\textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}$ ).벡터 $\textstyle x$ ${\$ 에서 생성된 라인에 대해 $\textstyle D(x)$ $\textstyle D(x)$ ) ${\$ $\$ $textstyle D(x)}$ 을(를) 쓰고 $,$ x {\ $displaystystyle$ \ $textstyle x}$ 에 직교하는 하이퍼 평면에 $\textstyle H(x)$ H $(x)$ 를 입력하십시오 $\textstyle x$

Call the vector $\textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}$ irrational if $\textstyle H(x)\cap \mathbb {Q} ^{n}=\{0\}$ ; and call the cone $\textstyle C$ irrational if all the vectors $\textstyle a_{i}$ and $\textstyle w_{i}$ $\textstyle w_{i}$ $\textstyle w_{i}$ ${\$ 는 $\textstyle w_{i}$ 비합리적이다.

클라인 다면체의 $\textstyle V$ V ${\$ 을(를) 돛이라고 한다.비합리적인 원뿔의 $\textstyle V$ 돛 $\textstyle V$ ${\$ 과(와) 연관된 두 개의 그래프는 다음과 같다.

$\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ ) ${\$ 정점이 V $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ ${\$ $displaystyle$ $\textstyle$ $V$ $\textstyle V$ 의 (1차원) 에지의 끝점인 $경우$ 두 정점이 $결합됨$
the graph $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ whose vertices are $\textstyle (n-1)$ -dimensional faces (chambers) of $\textstyle V$ , two chambers being joined if they share an $\textstyle (n-2)$ -dimensional face.

Both of these graphs are structurally related to the directed graph $\textstyle \Upsilon _{n}$ whose set of vertices is $\textstyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )$ , where vertex $\textstyle A$ is joined to vertex ${\displaystyle \textstyl$ $e B}$ $\textstyle A^{-1}B$ - 1 $\textstyle A^{-1}B$ ${\$ $\$ $textstyle A^{-1}B}$ 이 $\textstyle A^{{-1}}B$ $\textstyle UW$ ( $\textstyle UW$ ) $\textstyle UW$ U W {\ $displaystyle$ \ $textstyle UW}$ 형식인 경우에만 $\textstyle B$ 해당됨

U=\left({\begin{array}{cccc}1&\cdots &0&c_{1}\\vdots &\\ndots \1&c_{n-1}\0&cdots &0&c_{n}\end}오른쪽)

( $\textstyle c_{i}\in \mathbb {Q}$ $\textstyle c_{i}\in \mathbb {Q}$ $\textstyle c_{i}\in \mathbb {Q}$ ${\$ $\textstyle c_{n}\neq 0$ $\textstyle c_{n}\neq 0$ $\textstyle c_{n}\neq 0$ ${\$ 0 $\textstyle c_{n}\neq 0$ $\textstyle W$ W ${\$ Assuming that $\textstyle V$ has been triangulated, the vertices of each of the graphs $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ and $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ can be described in terms of the graph ${\displaystyle \tex$ $tstyle \Upsilon _{n}$ :

Given any path $\textstyle (x_{0},x_{1},\ldots )$ in $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ , one can find a path $\textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )$ in $\textstyle \Upsilon _{n}$ 이러한 $\textstyle x_{k}=A_{k}(e)$ $\textstyle x_{k}=A_{k}(e)$ = $\textstyle x_{k}=A_{k}(e)$ k $\textstyle x_{k}=A_{k}(e)$ ( $\textstyle x_{k}=A_{k}(e)$ ) ${\$ $A_{k}(e$ 여기서 $\textstyle e$ ${\$ 은 $\textstyle e$ (는) 벡터 $\textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}$ 1 $\textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}$ , $\textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}$ … $\textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}$ , $\textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}$ ) $\textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}$ n ${\$
Given any path $\textstyle (\sigma _{0},\sigma _{1},\ldots )$ in $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ , one can find a path $\textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )$ in ${\displaystyle \textstyle \Upsi$ $lon$ $\textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )$ ${n}}$ such $\textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )$ = $\textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )$ ( $){\$ \sigma $_{k}=$ 과 $\textstyle \Upsilon _{n}$ 같은 경우. $A_{k}(\Delta$ $\textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )$ 여기서 $\textstyle \Delta$ ${\$ 은 $\textstyle \Delta$ $($ 는 $)$ R $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ $\textstyle (n-1)$ ( $n-1$ ) $\textstyle (n-1)$ -차원 $\textstyle (n-1)$ 표준 심플렉스 $n}).$

라그랑주 정리 일반화

라그랑쥬는 비합리적인 실수 $\textstyle \alpha$ {\ $displaystyle \textstyle$ \ $alpha}$ 에 대해 $\textstyle \alpha$ ${\$ $displaystyle \alpha}$ 의 지속적인 굴절 확장이 2차 비합리적인 경우에만 $\textstyle \alpha$ 주기적이라는 $\textstyle \alpha$ 것을 증명했다.클라인 다면체는 우리가 이 결과를 일반화할 수 있게 해준다.

$\textstyle K\subseteq \mathbb {R}$ $\textstyle K\subseteq \mathbb {R}$ $\textstyle K\subseteq \mathbb {R}$ ${\$ 를) 학위 $\textstyle n$ ${\$ 의 $\textstyle n$ 완전히 실제 대수적 숫자 필드로 하고 $\textstyle K\subseteq \mathbb {R}$ $\textstyle \alpha _{i}:K\to \mathbb {R}$ : $\textstyle \alpha _{i}:K\to \mathbb {R}$ → $\textstyle \alpha _{i}:K\to \mathbb {R}$ ${\$ $K\to \mathbb {R} }$ be the $\textstyle n$ real embeddings of $\textstyle K$ . The simplicial cone $\textstyle C$ is said to be split over $\textstyle K$ if $\textstyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(\forall i)\;\alpha _{i}(\omega _{1})x_{1}+\ldots +\alpha _{i}(\omega _{n})x_{n}\geq 0\}$ $\textstyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(\forall i)\;\alpha _{i}(\omega _{1})x_{1}+\ldots +\alpha _{i}(\omega _{n})x_{n}\geq 0\}$ where $\textstyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ is a basis for $\textstyle K$ over ${\displaystyle \tex$ $tstyle \mathb {Q}$ $\textstyle \mathbb {Q}$

Given a path $\textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )$ in $\textstyle \Upsilon _{n}$ , let $\textstyle R_{k}=A_{k+1}A_{k}^{-1}$ . $\textstyle R_{k+qm}=R_{k}$ + $\textstyle R_{k+qm}=R_{k}$ $\textstyle R_{k+qm}=R_{k}$ = $\textstyle R_{k+qm}=R_{k}$ $\textstyle R_{k+qm}=R_{k}$ ${\$ 이면 이 경로를 $\textstyle m$ 경로라고 한다 $.$ 모든 $\textstyle k,q\geq 0$ 에 대한 $\textstyle R_{k+qm}=R_{k}$ $R_{k}}$ $\textstyle k,q\geq 0$ ≥ $\textstyle k,q\geq 0$ ${\$ 0 $}$ .이러한 경로의 기간 행렬은 $\textstyle A_{m}A_{0}^{-1}$ $\textstyle A_{m}A_{0}^{-1}$ $\textstyle A_{m}A_{0}^{-1}$ $\textstyle A_{m}A_{0}^{-1}$ - $\textstyle A_{m}A_{0}^{-1}$ ${\$ 로 정의된다. $A_{0}^{-1}}$ . A path in $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ or $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ associated with such a path is also said to be periodic, with the same period matrix.

The generalized Lagrange theorem states that for an irrational simplicial cone $\textstyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , with generators $\textstyle (a_{i})$ and $\textstyle (w_{i})$ as above and with sail ${\displaystyle \textstyl$ $e V$ 다음 세 가지 조건이 동일함:

$\textstyle C$ ${\$ 은(는) 완전히 실제 대수적 숫자 $\textstyle n$ 인 $\$ 에 대해 분할되어 있다 $\textstyle C$ $\textstyle n$
For each of the $\textstyle a_{i}$ there is periodic path of vertices $\textstyle x_{0},x_{1},\ldots$ in $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ such that the $\textstyle x_{k}$ asymptotically approach 라인 $\textstyle D(a_{i})$ ( $\textstyle D(a_{i})$ ) ${\$ 와 이러한 경로의 기간 행렬이 모두 통근한다.
For each of the $\textstyle w_{i}$ there is periodic path of chambers $\textstyle \sigma _{0},\sigma _{1},\ldots$ in $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ such that the $\textstyle \sigma _{k}$ asy하이퍼플레인 H( $\textstyle H(w_{i})$ $\textstyle H(w_{i})$ ) ${\$ 및 이러한 경로의 기간 행렬이 모두 통근한다.

예

take $\textstyle n=2$ = $\textstyle n=2$ ${\$ } 및 $\textstyle n=2$ $\textstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ = $\textstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ( $\textstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ) ${\$ .Then the simplicial cone $\textstyle \{(x,y):x\geq 0,\vert y\vert \leq x/{\sqrt {2}}\}$ is split over $\textstyle K$ . The vertices of the sail are the points $\textstyle (p_{k},\pm q_{k})$ corresponding to t그는 $\textstyle {\sqrt {2}}$ p $\textstyle p_{k}/q_{k}$ / q k {\ $displaystyle \textstyle p_{$ k}/q_ ${k}}}$ 의 연속 $\textstyle p_{k}/q_{k}$ 분수를 2 ${\$ }에 수렴한다 $\textstyle {\sqrt {2}}$ The path of vertices $\textstyle (x_{k})$ in the positive quadrant starting at $\textstyle (1,0)$ and proceeding in a positive direction is $\textstyle ((1,0),(3,2),(17,12),(99,70),\ldots )$ . Let $\textstyle \sigma _{k}$ ${\$ 는 x $\textstyle x_{k+1}$ ${\$ $displaystyle x_{k}$ 에 결합된 $\textstyle x_{k}$ 선 세그먼트 $\textstyle \sigma _{k}$ 입니다 $\textstyle x_{k+1}$ Write $\textstyle {\bar {x}}_{k}$ and $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}$ for the reflections of $\textstyle x_{k}$ and $\textstyle \sigma _{k}$ in the $\textstyle x$ -axis. $\textstyle x_{k+1}=Tx_{k}$ $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ = $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ ( $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ ) ${\$ T $=\왼쪽({\begin{array$ }{cc $}3&4\\2&3\end{array}\$ right}}을 $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ 를) 두어 x $\textstyle x_{k+1}=Tx_{k}$ = $\textstyle x_{k+1}=Tx_{k}$ x $\textstyle x_{k+1}=Tx_{k}$ ${\$ 이 되도록 한다. $Tx_{k}}$ , and let $\textstyle R=\left({\begin{array}{cc}6&1\\-1&0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&6\\0&-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)$ .

Me)(1212대 14− 14){\displaystyle\textstyle M_{\mathrm{e}}=\left({\begin{배열}{}시시 짜리{\frac{1}{2}}&,{\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{4}}&-{\frac{1}{4}}\end{배열}}\right)}, M¯ e)(1212− 1414){\displaystyle \textstyle자. {\bar{M}}_{\mathrm{e}}=\left({\begin{배열}{}시시 짜리{\frac{1}{2}}&,{\frac{1}{2}}\\-{\frac{1}{4}}&,{\frac{1}{4}}\end{배열}}\right)}, Mf)(3120){\displaystyle\textstyle M_{\mathrm{f}}=\left({\begin{배열}{cc}3&, 1\\2&, 0\end{배열}}\right)}, M¯ f=(31− 20. ){\displays $tyle \textstyle {\bar{M}_{\mathrm {f} }=\왼쪽({\begin{array}{cc}1&\\-2&0\end{array}\오른쪽$ .

The paths $\textstyle (M_{\mathrm {e} }R^{k})$ and $\textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k})$ are periodic (with period one) in $\textstyle \Upsilon _{2}$ , with period matrices $\textstyle M_{\mathrm {e} }RM_{\mathrm {e} }^{-1}=T$ $\textstyle M_{\mathrm {e} }RM_{\mathrm {e} }^{-1}=T$ and $\textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }R{\bar {M}}_{\mathrm {e} }^{-1}=T^{-1}$ . We have $\textstyle x_{k}=M_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ and $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ 의 $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ = $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ 의 $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ R $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ ( $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ ) $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ {\ $displaystyle \textstyle$ {\ $bar {{x}_{k}={\bar {M}_{\mathrm {e}{}{R^{k}(e$
The paths $\textstyle (M_{\mathrm {f} }R^{k})$ and $\textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k})$ are periodic (with period one) in $\textstyle \Upsilon _{2}$ , with period matrices $\textstyle M_{\mathrm {f} }RM_{\mathrm {f} }^{-1}=T$ $\textstyle M_{\mathrm {f} }RM_{\mathrm {f} }^{-1}=T$ and $\textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }R{\bar {M}}_{\mathrm {f} }^{-1}=T^{-1}$ . We have ${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}=M_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta$ $)}$ 과 $\textstyle \sigma _{k}=M_{{{\mathrm f}}}R^{k}(\Delta )$ σ $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$ $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$ k $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$ k k = $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$ { $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$ { { { $\$ bar { $matrm}{R^{k}(\Delta$ $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$

근사성의 일반화

실제 숫자 $\textstyle \alpha >0$ > $\textstyle \alpha >0$ ${\$ 은 $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ 는) { $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ - $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ ) $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ : p $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ , $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ Z , $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ > $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ ${\$ ): $p,q\in \mathb$ { $Z},q},>0\}}}}}$ 은 0에서 경계로 $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ 잘못 가깝게 호출된다 $\textstyle \alpha >0$ .비합리적인 숫자는 그 지속된 분수의 부분적인 인용구가 경계를 이루는 경우에만 심각하게 근사할 수 있다.^[1]이 사실은 클라인 다면체의 관점에서 일반화를 인정한다.

Given a simplicial cone $\textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}$ in $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ , where $\textstyle \langle w_{i},w_{i}\rangle =1$ , define the norm minimum of $\textstyle C$ $\textstyle C$ as $\textstyle N(C)=\inf\{\prod _{i}\langle w_{i},x\rangle :x\in \mathbb {Z} ^{n}\cap C\setminus \{0\}\}$ .

감안할 때 벡터 v1,…, vm∈ Zn{\displaystyle\textstyle \mathbf{v}_{1},\ldots},[v1,…, v m]자){v}_{m}\in\mathbb{Z}^{n},\mathbf ∑ 나는 1개체, ⋯<>i의 스녀det(나의 vi1⋯ v){\displaystyle\textstyle[\mathbf{v}_{1}}_{m},\mathbf{v,\ldots]=\sum._{i_{ $1}<\cdots <i_{n}}\vert \det(\mathbf {v} _{i_{1}}\cdots \mathbf {v} _{i_{n}})\vert }$ . This is the Euclidean volume of $\textstyle \{\sum _{i}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}:(\forall i)\;0\leq \lambda _{i}\leq 1\}$ .

$\textstyle V$ ${\$ 을(를) 비합리적인 단순 콘 $\textstyle C$ ${\$ 의 돛이 되게 하라 $\textstyle V$ $\textstyle C$

For a vertex $\textstyle x$ of $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ , define $\textstyle [x]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]$ where ${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},$ $\ldots,\mathbf {v} _{m}$ 은(는) $\textstyle \mathbb {Z} ^{n}$ n ${\$ 의 원시 벡터로서 $\textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ , $\textstyle x$ {\ $displaystyle \textstyle$ x}에서 나오는 에지를 생성한다 $\textstyle {\mathbb {Z}}^{n}$ $\textstyle x$
For a vertex $\textstyle \sigma$ of $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ , define $\textstyle [\sigma ]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]$ where ${\displaystyle \textstyle \math$ $bf {v} _{1},\ldots,\mathbf {v} _{m}}$ 은(는) $\textstyle \sigma$ ${\$ 의 극한 지점이다 $\textstyle {\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{m}$ $\textstyle \sigma$

Then $\textstyle N(C)>0$ if and only if $\textstyle \{[x]:x\in \Gamma _{\mathrm {e} }(V)\}$ and $\textstyle \{[\sigma ]:\sigma \in \Gamma _{\mathrm {f} }(V)\}$ are both bounded.

$\textstyle [x]$ $\textstyle [x]$ $\textstyle [x]$ ${\$ 및 $\textstyle [x]$ [ $\textstyle [\sigma ]$ ] ${\$ 의 양을 결정요인이라고 한다 $\textstyle [\sigma ]$ .2차원에서는 $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ { $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ ( $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ , $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ ) $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ , $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ ( $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ , $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ 0 $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ ) $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ ${\$ \{( $1,\alpha }), ($ 1 $,0)\}}$ 에 의해 생성된 원뿔은 $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ $\textstyle \alpha$ ${\$ }의 지속적인 부분 인가에 지나지 않는다 $\textstyle \alpha$

참고 항목

건물(수학)

참조

^ Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 193. Cambridge: Cambridge University Press. p. 245. ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001.

O. N. German, 2007, "Klein polyedra and latters with positive norm minima".Journal de thori des nombres de Bordeau 19: 175–190.
E. I. Korkina, 1995 "2차원 연속 분수.가장 간단한 예".Proc. Steklov 수학과 209: 124–144.
1998년 G. Lachaud, 현대 수학 210의 "Sails and Klein polyedra".미국 수학 협회: 373–385.

[Bug245-1] Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 193. Cambridge: Cambridge University Press. p. 245. ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001.

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