폰트랴긴 이중성

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 폰트랴긴 이중성은 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹들 사이의 이중성으로, 그러한 모든 그룹에 푸리에 변환을 일반화할 수 있으며, 여기에는 원 그룹(계수 1의 복잡한 숫자의 곱셈 그룹), 유한한 아벨리아 그룹(계위상 포함), 정수의 첨가 그룹(계수 포함)이 포함된다.이산 위상), 실제 수치 및 실제 또는 p-adic 필드 위의 모든 유한 치수 벡터 공간.

지역적으로 콤팩트한 아벨리앙 그룹의 폰트랴긴 듀얼은 집단에서 서클 그룹에 이르는 연속적인 집단 동형성에 의해 형성된 집단이다. 폰트랴긴 이중성 정리는 국소적으로 콤팩트한 아벨리아 집단은 그 비데알(이중성의 이중성)과 자연적으로 이형성이라는 것을 명시함으로써 폰트랴긴 이중성을 확립한다. 푸리에 역전정리는 이 정리의 특별한 경우다.

이 주제는 레프 폰트랴긴이 1934년 초기의 수학 작품에서 국지적으로 콤팩트한 아벨리아 집단 이론과 그 이중성의 기초를 닦은 데서 따온 이름이다. 폰트랴긴의 치료는 그 집단이 두 번째로 계산 가능하고 콤팩트하거나 이산적인 것에 의존했다. 이것은 1935년 에그버트 판 캄펜과 1940년 안드레 웨일에 의해 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 집단을 커버할 수 있도록 개선되었다.

소개

폰트랴긴 이중성은 실제 라인 또는 유한 아벨리아 그룹의 기능에 대한 다수의 관찰을 통일된 맥락에서 배치한다.

• 실제 라인의 적절한 정기적인 복합 값 주기 함수는 푸리에 시리즈를 가지며, 이러한 함수는 푸리에 시리즈에서 복구할 수 있다.
• 실제 라인의 적절한 규칙적인 복합 가치 함수는 실제 라인의 기능인 푸리에 변환을 가지고 있으며, 주기적인 함수와 마찬가지로, 이러한 함수는 푸리에 변환으로부터 복구할 수 있다.
• 유한 아벨 그룹의 복합값 함수는 이중 그룹의 함수인 이산 푸리에 변환을 가지고 있는데, 이는 (비 캐논학적으로) 이형성 그룹이다. 게다가 유한 아벨리아 그룹의 어떤 기능도 그것의 이산 푸리에 변환으로부터 회복될 수 있다.

레프 폰트랴긴이 도입하고 존 폰 노이만, 안드레 웨일 등이 도입한 하르 조치와 결합한 이 이론은 국지적으로 콤팩트한 아벨리아 집단의 이중 집단 이론에 따라 달라진다.

벡터 공간의 이중 벡터 공간과 유사하다: 유한차원 벡터 공간 V와 그것의 이중 벡터 공간 V*는 자연적으로 이형성이 아닌, 하나의 내형성 대수학(매트릭스 대수학)은 다른 것의 내형성 대수학: ${\displaystyle \text{End}}$ ${\displaystyle (V}$ )${\displaystyle {\text{end}}^{}}$ End${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ) ${\displaystyle {\text{op}}^{}}${\$displaystyle${\$text$},${End}(V)\cong {{\text{End}(V^{*})}^{\text{op}}}}$전환을$$ 통해. Similarly, a group ${\displaystyle G}$ and its dual group ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ are not in general isomorphic, but their endomorphism rings are opposite to each other: ${\displaystyle {\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}}$. More categorically, 이것은 단지 내형성 알헤브라의 이형성일 뿐만 아니라 범주의 반비례적 등가성일 뿐이다 - 범주적 고려를 참조하라.

정의

토폴로지 집단은 기초적인 토폴로지 공간이 국소적으로 좁고 하우스도르프일 경우 국소적으로 작은 집단을 말하며, 기초 집단이 아벨리안일 경우 토폴로지 집단은 아벨리안이다. 국소 소형 아벨리안 그룹의 예로는 유한 아벨리안 그룹, 정수(일반적인 메트릭에 의해서도 유도되는 이산 위상 둘 다), 실수, 원 그룹 T(일반적인 메트릭 위상 둘 다 포함), 그리고 p-adic 번호(일반적인 p-adic 위상)도 포함된다.

로컬 소형 아벨 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 경우$,$ Pontryagin $이중$은 G$${\$displaystyle$G}에서 원 $그룹{\displaystyle }$ T$${\$displaystyte T}$에 이르는$$ 연속 그룹 동형성의 $G{\displaystyle \hat{}}$ ${\$이다$.$ 즉,

${\displaystyle {\widehat {G}:=\operatorname {Hom}(G,T)}$

Pontryagin $듀얼{\displaystyle \stackrel{}{}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle${\$widehat{G}}}$은(는) 콤팩트 세트의 균일한 수렴($,$ G {\$displaystyle$$$$G$}에서$$T {\$displaystytle$ T}까지의 모든$$ 연속 기능의 공간에 대한 콤팩트 오픈 토폴로지에 의해 유도된 토폴로지를 제공받는다$$.$$

예를 들어,

${\displaystyle {\widehat {Z}}}}}}}=T,\\\widehat {R}}}}}}\widehat {R},\\widehat {T}=\mathb {Z}.}$

폰트랴긴 이원 정리

정리:^[1][2] 국소 콤팩트한 $아벨{\displaystyle }$ 그룹$$G {\$displaystyle$ G}과(와$$) 이중 이중간격인 표준 이형성 G${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}^}}${\$displaystyle G$$\$$cong {\widehat {G}$이(가) 있다.

Canonical means that there is a naturally defined map ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ; more importantly, the map should be functorial in ${\displaystyle G}$. The canonical isomorphism ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}}$ is defined on $$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle x\in$ G$}:$

${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi )=\chi(x)\in \mathb {T}.\\\\text{{}}}}. 즉, }\\operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto)(x)이다.}$

즉, 각 그룹 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 듀얼의 평가 문자로 식별한다$$. 이는 유한차원 벡터 공간과 그 이중 이중인 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {}^{}}$ { { {$${ {\$displaystyle$ V\$cong V^{**}}}}$ 사이의 규범적 이형성과 강하게 유사하며$,$ 어떤 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$이(가) 아벨리아 그룹이라는 것을$$ 언급할 가치가 있다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 유한한 아벨 $그룹$이라면 G${\displaystyle }$g $^$ {\$displaystyle$G\$cong${\$widehat{G}}}$이(가)지만 이러한 이형성은 표준적이지 않다. 이 진술을 정밀하게 하는 것은(일반적으로) 이중화를 functor로서 취급하고 ID functor와 이원화 functor가 자연적으로 동등하지 않다는 것을 증명하기 위해서 그룹뿐만 아니라 그룹 간의 지도에서도 이원화를 생각할 필요가 있다. 또한 이중성 정리는 어떤 그룹(필수적으로 유한하지는 않음)의 경우 이중화 펑터가 정확한 펑터라는 것을 암시한다.

폰트랴긴 이중성과 푸리에 변환

하르 측정치

로컬 소형 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 가장 주목할 만한 사실 중 하나는$$ G ${\displaystyle G}$의 충분히 규칙적인 하위 집합의 "크기"를 일관성 있게 측정할 수 있는 본질적으로 고유한 자연 측정치인 Har 측정치를 가지고 있다는 것이다$.$ 여기서 "충분히 규칙적인 부분 집합"은 보렐 세트를 의미한다. 즉, 콤팩트 세트에 의해 생성된 σ-algebra의 요소. More precisely, a right Haar measure on a locally compact group ${\displaystyle G}$ is a countably additive measure μ defined on the Borel sets of ${\displaystyle G}$ which is right invariant in the sense that μ(Ax) = μ(A) for ${\displaystyle x}$ an element of ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle A}$ a B$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 ole 하위 집합과$$ 일부 규칙성 조건(Haar 측정에 대한 기사에 자세히 설명되어 있음)도 충족한다. 양의 스케일링 인자를 제외하고 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 Haar 측정은 고유하다$$.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 Haar 측정치를 사용하면 그룹에 정의된 (복잡한 값) Borel 함수에 대한 적분 개념을 정의할 수 있다$$. 특히 하르 측정 μ와 관련된 다양한 L^p 공간을 고려할 수 있다. 구체적으로 말하자면

${\displaystyle {\mathcal{L}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathb {C}\\\\\int _{G}f(x) ^{p}\d\mu(x)<\infully \right\}.}$

Note that, since any two Haar measures on ${\displaystyle G}$ are equal up to a scaling factor, this ${\displaystyle L^{p}}$–space is independent of the choice of Haar measure and thus perhaps could be written as ${\displaystyle L^{p}(G)}$. However, the ${\displaystyle L^{p}}$–norm on this s속도는 하르 측정치의 선택에 따라 달라지기 때문에 등각도에 대해 이야기하려면 하르 측정치가 사용되는지 추적하는 것이 중요하다.

L 기능을¹ 위한 푸리에 변환 및 푸리에 반전 공식

지역적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹의 이중 그룹은 푸리에 변환의 추상적인 버전을 위한 기초 공간으로 사용된다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle f\in L^{1}(G$인 경우, Fourier 변환은 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ ${\f}$에 정의된$$ $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$displaystyle ${\widehat {G}$ 함수임

${\displaystyle {\widehat {f}(\chi )=\int_{G}f(x){\overline {\chi(x)}\d\mu(x),}$

여기서 적분은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 Haar 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$에 상대적이다$.$ 이 또한 $){\displaystyle$로 표시된다$.$ 참고로 푸리에 변환은 Haar 측정의 선택에 따라 달라진다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$ ${\$함수의$$ 푸리에 변환이 무한대에서${\displaystyle \stackrel{}{}}$사라지는$$G^ {\$displaystyle$ {\$widehat{G}}$에서 경계된 연속 함수임을$$ 보여주는 것은 그리 어렵지 않다.

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$에 대한 푸리에 반전 포뮬라 ${\$ L$^{$1$}$- 기능$$ For each Haar measure ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle G}$ there is a unique Haar measure ${\displaystyle \nu }$ on ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ such that whenever ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ and ${\displaystyle {\widehat {f}}\$$L^{1}\왼쪽({\widehat {G}\오른쪽)$에$,$

${\displaystyle f(x)=\int_{\widehat{G}{\widehat{f}(\chi )\chi(x)\d\nu(\chi )\qquad \mu{\text{-almost ally }}}}}}}}}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 연속인$$ 경우 이 ID는 $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 대해 유지된다$.$

$G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에서 통합 가능한 함수의 역 푸리에 변환은 다음과 같이 제공된다$$.

${\displaystyle {\g}(x)=\int _{\widehat {G}g(\chi )\chi(x)\d\nu(\chi ),}$

여기서 적분은 이중 그룹 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 Haar 측정값 $\nu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \nu}$에 상대적이다$.$ $G{\displaystyle \hat{}}$ ${\$에 나타나는 측정값 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaysty \mu}$을 이중 측정값이라고 한다.$$ $\mu {\displaystyle \hat{}}$ ${\$으로 표시될 수 있음$.$

다양한 푸리에 변환은 도메인 및 변환 도메인(그룹 및 이중 그룹)의 관점에서 다음과 같이 분류할 수 있다($:$ T {\$displaystyle \mathb{T}}$는 Circle 그룹임).

변형	$원래{\displaystyle }$ 도메인, G ${\displaystyle G}$	도메인 변환, $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$	측정, $\mu {\displaystyle }$, ${\displaystyle \mu }$
푸리에 변환	${\displaystyle \mathb {R} }$	${\displaystyle \mathb {R} }$	${\displaystyle {\text{Constant}\time {\text{Lebesgue 측정}}}$
푸리에 시리즈	$\displaystyle \mathb {T} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$	${\displaystyle {\text{Constant}\time {\text{Lebesgue 측정}}}$
이산 시간 푸리에 변환(DTFT)	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {T} }$	${\displaystyle {\text{Constant}\time {\text{Counting measure}}}$
이산 푸리에 변환(DFT)	${\displaystyle \mathb {Z} _{n}}$	${\displaystyle \mathb {Z} _{n}}$	${\displaystyle {\text{Constant}\time {\text{Counting measure}}}$

As an example, suppose ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$, so we can think about ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ as ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ by the pairing ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$$$ If ${\displaystyle \mu }$ is the Lebesgue measure on Euclidean space, we obtain the ordinary Fourier transform on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and the dual measure needed for the Fourier inversion formula is ${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$. If we want to get a 양쪽에 동일한 측정값을 갖는 푸리에 반전 공식(${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n})$을 자체 이중공간으로$$ 생각할 수 $있으므로{\displaystyle \stackrel{}{}}$ μ${\displaystyle \stackrel{}{^}}${\$displaystyle$$${\$widehat{\$$mu$$}}}}}$을$($를$)$ 요청할 수 있으며$,$ 그 다음$\mu$를 사용할 필요가 있다.

${\displaystyle{\begin}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}회\\\text{Lebesgue measure}\\\\\widehat{\mu }=(2\pi )^{-{\\frac {n}}}}\textegregregreasured}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{liguestegue}}}}}}}$

그러나 페어링을 사용하여 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 식별하는 방법을 변경하면

${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}},}$

그런 다음 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 Lebesgue 측정은 자체 이중 측정과 동일하다$$. 이 협약은 유클리드 공간에서 푸리에 변환 또는 역 푸리에 변환을 계산할 때 여러 곳에 나타나는$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$㎛ ${\displaystyle 2\pi }$의 인자의 수를 최소화한다. (사실상, ${\displaystyle 2}$ {$${\$displaystyle$2\$pi$}은(는) 적분 기호 외부의 사전 인자로서가 아니라 지수로만$$ 제한된다.) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 이중 그룹으로$$ 식별하는 방법의 선택은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{n$}$에 해당하는 "$self-dual$ 함수"라는 용어의 의미에 영향을 미치는데, 이는 자체적인 푸리에 변환: 고전적인 페어링$({\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ,}$w${\displaystyle {}^{}}$)을 사용하는 것과 같다$$$.$$Playstyle$(\$mathbf {v},\mathbf {w})\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot$ \$mathbf$ {w$$$}}}}}}}$ 함수 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\displaystyle {x{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\$ e$^{-{\frac{1}{2}}:}$는 $자가$ 계산이다. But using the pairing, which keeps the pre-factor as unity, ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi {i}{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {w} }}}$ makes ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$ self-dual instead. 푸리에 변환에 대한 이 두 번째 정의는 승법정체를 콘볼루션 아이덴티티에 매핑한다는 장점이 있는데, L ${\$가 콘볼루션 대수학이기 때문에 유용하다. 그룹 대수학의 다음 섹션을 참조하십시오. 또한 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개의$$ 공간에서도 이 형태는 등축성이 반드시 필요하다. Planchel 및 L Fourier² 반전 이론에서 아래를 참조하십시오.

그룹 대수학

로컬 소형 아벨리아 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 통합 가능한 함수 공간은 대수인데 여기서 곱셈은 경구화: $두{\displaystyle }$ 통합형 함수 f ${\displaystyle$ f$}$와 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 경구화는 다음과 같이 정의된다$$.

$_{G}f(x)=\int_{G}f(x-y)g(y)\d\mu(y)}$

정리. 바나흐 공간 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{1}(G)}$은 콘볼루션 하의 연상 및 정류 대수다.

$이{\displaystyle }$ 대수학은 G ${\displaystyle G}$의 그룹 대수학이라고 한다. 후비니-에 의해토넬리 정리, 콘볼루션은 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$} 표준에$$ 관하여 순응적인 것으로서 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( $){\displaystyle L^{1}(G)}$을 바나흐 대수학으로 만든다$$. 바나흐 대수 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle G}$ )${\displaystyle$ L$^{1}(G)}$은(는)$$G {\$displaystyle G}$이(가) 별개의 그룹인 경우에만, 즉 ID에서 1이고 다른 곳에서는 0인 함수인 경우에 한하여 승법적인 ID 요소를 갖는다$$. $그러나{\displaystyle }$ 일반적으로 순(또는 일반화된 시퀀스)${\displaystyle }${ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle \{e_{i}\}\}_${$i\$$in$ I}})에 대해$$ 인덱싱된${\displaystyle {}_{}\mathrm{집합}}$ I ${\displaystyle$ I$}에 대해$ f$i$ e → f${\displaystyle .}$ ${\displaystystystyle$ f*e_${i$}\}\}\}\i}에 대한 대략적인 ID를 갖는다$.$$}$

푸리에 변환은 곱셈으로 경련을 가져온다. 즉, 아벨리안 바나흐 알헤브라스 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$→ C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ^}$ $){\$G}\$right)}$의 동형성이다.$$

${\displaystyle {\mathcal {F}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}(g)(\chi).}$

특히 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 그룹 문자에 대해 다음과 같이 정의된 그룹 대수에서 고유한 승수 선형 함수에 대응한다$$.

${\displaystyle f\mapsto {\widehat{f}}(\chi).}$

그룹 대수의 중요한 특성은 그룹 대수에서 비경쟁적(즉, 동일하게 0이 아닌) 승수 선형 함수 집합을 소진하는 것이다. (Loomis 1953)의 섹션 34를 참조한다. 이것은 푸리에 변환이 겔판드 변환의 특별한 경우라는 것을 의미한다.

플랑쉐렐과 L 푸리에² 반전 이론

우리가 말했듯이, 지역적으로 콤팩트한 아벨리안 집단의 이중 집단은 그 자체로 지역적으로 콤팩트한 아벨리안 집단이므로 하아르 측도, 또는 더 정확히 말하면 규모와 관련된 하아르 측도 전체 집단이 있다.

정리. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 Haar 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$\mu$$}$을(를) 선택하고$$ $위$에서 정의한 $대로$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}${\$displaystyle {\widehat {G}$에 대한$$ 이중 측정이$$되도록 $하십시오$. ${\displaystyle f\mathbb{}}$: G${\displaystyle }$→ C ${\$$G\to \mathb {C}}$은(는) 콤팩트 지원으로 지속되며$$, 그 다음$$ $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle ^}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle G\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\$ 및

${\displaystyle \int_{G}f(x) ^{2}\d\mu(x)=\int_{\widehat{G}\왼쪽 {\widehat{f}(\chi )\오른쪽 ^{2}\d\nu(\chi).}$

In particular, the Fourier transform is an ${\displaystyle L^{2}}$ isometry from the complex-valued continuous functions of compact support on ${\displaystyle G}$ to the ${\displaystyle L^{2}}$-functions on ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ (using the ${\displaystyle L^{2}}$-norm with $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$$$${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ $G}$ 및$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}}$$- G$$^$$ ${\widehat{G}$의 기능에 대한 μ에 대한 존중.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 콤팩트 서포트(compact support)의 복잡한 값 연속함수는 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ L$^{2$}}$$-dense이므로$$$$, 그 공간에서 단일 운영자로 푸리에 변환의 고유한 확장이 있다.

${\displaystyle {\mathcal{F}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\왼쪽({\widehat{G}\오른쪽)}$

그리고 우리는 공식을 가지고 있다.

${\displaystyle \f\f\f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}f(x) ^{2}\d\mu(x)=\int _{\widehat{G}\왼쪽 {\widehat{f}(\chi )\right ^{2}\d\nu(\nu).}$

Note that for non-compact locally compact groups ${\displaystyle G}$ the space ${\displaystyle L^{1}(G)}$ does not contain ${\displaystyle L^{2}(G)}$, so the Fourier transform of general ${\displaystyle L^{2}}$-functions on ${\displaystyle G}$ is "not" given by any kind of integr아티온 공식(또는 실제로 명시적 공식) $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 푸리에$$ 변환을 정의하려면 콤팩트한 지지대를 가진 연속적인 기능처럼 밀집된 서브스페이스에서 시작한 다음 연속성에 의한 등각도를 전체 공간으로 확장하는 등의 기술적 속임수에 의지해야 한다. 푸리에 변환의 이러한 단일 확장이란 사각형 통합 기능의 공간에 대한 푸리에 변환을 의미하는 것이다.

이중 그룹은 또한 그 자체로 역 푸리에 변환을 가지고 있다; $그것$은 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle L^{2$}} 푸리에$$ 변환의 역(또는 조정, 그것이 단일하기 때문에)으로 특징지어질 수 있다. 다음은 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$ 푸리에$$ 반전 공식의 내용이다.

정리. 콤팩트 서포트(compact support)의 연속적인 함수로 제한된 푸리에 변환의 조정점은 역 푸리에 변환이다.

${\displaystyle L_{\nu }^{2}\왼쪽({\widehat{G}\오른쪽)\L_{\mu }^{2}(G)}}$

여기서 $[\displaystyle \nu }$은(는) $[\displaystyle \mu }$의 이중 측정값이다$.$

사례 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle T\mathbb{}}$ ${\$의 경우, 이중$$ $그룹{\displaystyle \stackrel{}{}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은 $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$의 그룹에 자연적으로 이형성이 있으며$$$$ 푸리에 변환은 주기함수 시리즈의 계수 계산에 전문적이다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 유한 그룹이면 이산 푸리에 변환을 복구한다. 이 사례는 직접 입증하기가 매우 쉽다는 점에 유의하십시오.

보어 콤팩트화 및 거의 주기성

폰트랴긴 이중성의 한 가지 중요한 적용은 콤팩트 아벨 위상학 집단의 다음과 같은 특성이다.

정리. 로컬 소형 아벨리아 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 듀얼 그룹 $G{\displaystyle \hat{}}$ ${\$이(가) 이산인$$ 경우에만 소형이다$$. 반대로 $G{\displaystyle }${\$displaystyle$ G}은$($는) $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이(가) 압축된$$ 경우에만 이산형입니다$$.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 압축되어 있다는$$ $것$은 G${\displaystyle \stackrel{}{}}$^ ${\${\$widehat {G}$이(가) 분리되어 있다는$$ 것을 의미하며, $G$ $^$ {\$displaystyle$$}$이(가) 압축되어 있다는 $것$은 G${\displaystyle \stackrel{}{}}$$^$$${\$displaystystyle$에 대한 콤팩트한 토폴로 정의의 초기 결과라는 것을 의미한다.${\widehat{G}}$이며, 폰트랴긴 이중성이 필요하지 않다. 사람들은 대화를 증명하기 위해 폰트랴긴 이중성을 사용한다.

Bohr $압축$은 G ${\displaystyle$ G$}$이(가) 로컬$$ 압축인지 아벨리안인지에 관계없이 모든 위상학적 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$에 대해 정의된다$.$ 콤팩트 아벨 그룹과 이산 아벨 그룹 사이의 폰트랴긴 이중성으로 만들어진 한 가지 용도는 임의의 아벨리아 지역 콤팩트한 위상학 그룹의 보어 압축을 특징짓는 것이다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 Bohr 콤팩트화 $B{\displaystyle (G)}$ ${\displaystyle B(G)}$은(는) $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이며$,$ 여기서 H는 그룹 구조 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$을(는)을(를)하지만 이산 위상이 지정된다. 포함 맵 이후

${\displaystyle\iota:H\to {\widehat{G}}$

연속성과 동형성, 이중 형태론이다.

${\displaystyle G\sim {\widehat{G}}\to {\widehat{H}}}$

필요한 보편적 특성을 만족시키는 것으로 쉽게 보여지는 컴팩트 그룹으로의 형태론이다.

또한 거의 주기적인 함수를 참조하십시오.

범주형 고려사항

폰트랴긴 이중성은 또한 재미있게 여겨질 수 있다. 다음으로 LCA는 국소적으로 콤팩트한 아벨 그룹과 연속적인 그룹 동형성의 범주다. The dual group construction of ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ is a contravariant functor LCA → LCA, represented (in the sense of representable functors) by the circle group ${\displaystyle \mathbb {T} }$ as ${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{$$홈}}(G,\mathb {T} )}$특히$$ 이중 이중 펑터 $G{\displaystyle }$→ $displaystyle G\to {\widehat{\widehat{G}}}}}$는 공변량이다. 폰트랴긴 이중성의 범주형 공식은 LCA의 신원 펑터와 이중 이중 이중 펑터 사이의 자연적 변환은 이소모르퍼시즘이라고 명시한다.^[3] Unwinding the notion of a natural transformation, this means that the maps ${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$ are isomorphisms for any locally compact abelian group ${\displaystyle G}$, and these isomorphisms are functorial in ${\displaystyle G}$. This is오모르퍼시즘은 유한차원 벡터 공간의 이중 이중(실제적이고 복잡한 벡터 공간의 특별한 경우)과 유사하다.

이 공식화의 즉각적인 결과는 폰트랴긴 이중성의 또 다른 일반적인 범주형 공식이다. 이중 그룹 펑터는 LCA에서 LCA까지의^op 범주의 동등성이다.

이중성은 이산 그룹과 콤팩트 그룹의 하위 범주를 교환한다. If ${\displaystyle R}$ is a ring and ${\displaystyle G}$ is a left ${\displaystyle R}$–module, the dual group ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ will become a right ${\displaystyle R}$–module; in this way we can also see that discrete left ${\displaystyle R}$–modules will be Pontryagin dual to 컴팩트 $우측{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$– modules. LCA에 있는 내형성의 ${\displaystyle \text{링엔드}}$${\displaystyle (G}$) ${\displaystyle {\text{End}(G)}$는 이중성에 의해 반대쪽 링으로 바뀐다(복수를 다른 순서로 변경). 예를 들어 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 무한 순환 이산 그룹인 $경우{\displaystyle \stackrel{}{}}$ G$^$ {\$displaystyle${\$widehat {G}}$이(가) 원 그룹: 전자에는 ${\displaystyle \text{End}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$가$$)가 있으므로 이는 후자의 경우도 마찬가지다.

일반화

Pontryagin 이중성의 일반화는 두 가지 주요 방향으로 구성된다: 국소적으로 콤팩트하지 않은 교감 위상학 그룹과 비전속 위상학 그룹이다. 이 두 경우의 이론은 매우 다르다.

교감 위상학 그룹에 대한 이중성

When ${\displaystyle G}$ is a Hausdorff abelian topological group, the group ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ with the compact-open topology is a Hausdorff abelian topological group and the natural mapping from ${\displaystyle G}$ to its double-dual ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ m호감 이 매핑이 이소모르퍼시즘이라면 G ${\displaystyle G}$은(또는 G {\$displaystyle G}$은^[5](는$)$ 폰트랴긴 이중성을 만족한다고$$ 한다.^[4] 이는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 국소적으로 압축된 경우를 넘어 여러 방향으로 확장되었다.^[6]

특히 사무엘 카플란은^[7][8] 1948년과 1950년에 지역적으로 콤팩트(하우스도르프) 아벨리아 집단의 임의적인 상품과 계수 가능한 역한계가 폰트랴긴의 이중성을 만족시킨다는 것을 보여주었다. 로컬로 압축된 비 컴팩트 공간의 무한 제품은 로컬로 압축되지 않는다는 점에 유의하십시오.

이후 1975년 란가차리 벤카타라만은^[9] 무엇보다도 폰트랴긴 이원성을 만족시키는 아벨리아 위상학 집단의 모든 열린 하위집단이 폰트랴긴 이중성을 만족한다는 것을 보여주었다.

보다 최근에는 세르히오 아르단자-트레비자노와 마리아 제수스 차스코가^[10] 위에서 언급한 카플란의 결과를 연장하고 있다. 그들은 폰트랴긴 이중성을 만족하는 아벨리아 그룹 시퀀스의 직역 한계와 역 한계도 그룹이 메트리진 ${\displaystyle {또는}_{}}$ kΩ$${\$displaystyle k_{\$omega$$}} -공간이지만$$ 반드시 국소적으로 콤팩트하지는 않은 경우, 시퀀스에 의해 일부 추가 조건이 충족되는 한 폰트랴긴 이중성을 만족한다는 것을 보여주었다.

그러나 국지적으로 콤팩트한 경우를 넘어 폰트랴긴의 이중성을 고려하고자 한다면 근본적인 측면이 있다. 엘레나 마르틴-피나도르는^[11] 1995년 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 폰트랴긴의 이중성을 만족하는 하우스도르프 아벨의 위상학적 집단이며, 자연 평가 쌍을 이루고 있음을 증명했다.

${\displaystyle {\displaysty}G\time {\widehat{G}\mathb {T}\\\(x,\chi )\mapsto \chi(x)\end{case}}}}$

(공동) 연속형이고,^[a] $그러면{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G}$이(가) 로컬로 압축된다$$. 골격으로서 폰트랴긴 이중성의 모든 비 로컬리 콤팩트한 예는 ${\displaystyle 페어링\mathbb{}}$ G ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$→ T ${\$이(가) 연속적이지 않은$$ 그룹이다.

Pontryagin 이중성을 더 넓은 범주의 공통 위상 그룹에 일반화하는 또 다른 방법은 이중 그룹 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 약간 다른 위상, 즉 완전히 경계된 집합에서 균일한 수렴 위상(following)을 부여하는 것이다. 이 가정^[b] 하에서$$ ${\displaystyle 정체성\stackrel{}{\stackrel{}{}}}$ G ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{^}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$을(를) 만족하는 그룹을 고정관념 그룹이라고 한다.^[5] 이 세분류는 또한 매우 넓지만(그리고 국소적으로 콤팩트한 아벨리아 집단을 포함하고 있다) 반사집단의 계급보다 좁다.^[5]

위상 벡터 공간의 폰트랴긴 이중성

1952년 마리안느 F. 스미스는^[12] (첨가 그룹 연산을 통해) 위상학적 그룹으로 간주되는 바나흐 공간과 반사적 공간이 폰트랴긴 이중성을 만족시킨다는 것을 알아차렸다. 나중에 B. S. 브루도프스키, 윌리엄 C.[13] 워터하우스와^[14] K. 브루너는^[15] 이 결과가 모든 준완전한 바레링 공간(특히 모든 프레셰트 공간)의 등급으로 확장될 수 있다는 것을 보여주었다. 1990년대에 세르게이 아크바로프는^[16] 고전적인 폰트랴긴 반사성, 즉 정체성보다 더 강한 성질을 만족시키는 위상학적 벡터 공간의 등급에 대해 설명했다.

${\displaystyle(X^{\star }}^{\star }}^{\star }\cong X}$

where ${\displaystyle X^{\star }}$ means the space of all linear continuous functionals ${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {C} }}$ endowed with the topology of uniform convergence on totally bounded sets in ${\displaystyle X}$ (and ${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$ means the $동일$한 의미로$$ X$⋆{\$ X$^{\star }}$에 듀얼). 이 세분류의 공간을 고정관념 공간이라고 하며, 해당 이론은 기능분석과 기하학에서 비협정적 위상학 집단을 위한 폰트랴긴 이중성의 일반화를 포함한 일련의 응용을 발견했다.

비확정 위상학 그룹에 대한 이중성

비전속 로컬 컴팩트 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 경우, $특히$ 문자가 항상 G ${\displaystyle$ G$\}$의 점을 분리하지 않고 G {\$displaystyle G}$의 $설명$할 수 없는 표현이 항상$$ 일차원적인 것은 아니기 때문에 고전적인 폰트랴긴 구조는 다양한 이유로 작동을 중지한다$.$ 동시에 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 수정 불가능한 단일 표현 집합에 곱셈을 도입하는 방법이 명확하지 않으며$,$ 이 집합이 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 이중 객체 역할에 적합한 선택인지조차 명확하지 않다$.$ 따라서 이 상황에서 이중성을 구성하는 문제는 완전한 재검색을 요구한다.땡땡이 치는

현재까지 구축된 이론은 크게 두 가지 그룹으로 나뉜다: 이중 물체가 근원 물체와 같은 성질을 갖는 이론(퐁랴긴 이원성 그 자체에서와 같이)과 소스 물체와 그것의 이중성이 극단적으로 서로 다른 이론으로 하나의 계급의 물체로 셀 수 없다.

두 번째 유형의 이론은 역사적으로 첫 번째 이론이었다: 폰트랴긴의 작품인 타다오 탄나카(1938년)와 마크 크레인(1949년)이 현재 타나카-크라인 이중성으로 알려진 임의의 콤팩트 집단을 위한 이중성 이론을 구축한 직후였다.^[17][18] 이 이론에서 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 이중 개체는 그룹이 아니라 그룹 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \Pi (G)}$의 표현 범주다$.$

제1유형의 이론은 나중에 나타났고 그 이론의 주요 예는 유한집단에 대한 이원론이었다.^[19][20] In this theory the category of finite groups is embedded by the operation ${\displaystyle G\mapsto {\mathbb {C} }_{G}}$ of taking group algebra ${\displaystyle {\mathbb {C} }_{G}}$ (over ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$) into the category of finite dimensional Hopf algebras, so that the Pontryagin 이중성 ${\displaystyle functor\stackrel{}{}}$ G ${\displaystyle \stackrel{}{^}}${\$displaystyle$G\$mapsto${\$widehat{G}}$는 이중 벡터 공간(유한 치수 Hopfalgebras 범주의 이중성 functor)을 취하기 위한 작업$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mapsto }$ H ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystysty$ H\$mpothot$ H$^{*}$로 바뀐다$$.^[20]

1973년 레오니드 1세 바이네르만, 조지 I. Kac, 미셸 에녹, 그리고 장 마리 슈워츠가 지역적으로 콤팩트한 모든 집단을 위해 이런 유형의 일반 이론을 구축했다.^[21] 1980년대부터 이 분야에 대한 연구는 양자 집단의 발견 이후 재개되었는데, 그 결과 만들어진 이론들이 활발하게 옮겨지기 시작했다.^[22] 이 이론들은 C*알제브라즈 혹은 Von Neumannannalezbras의 언어로 공식화되었으며, 그 변종들 중 하나는 최근 지역적으로 콤팩트한 양자 그룹의 이론이다.^[23][22]

그러나 이러한 일반적인 이론의 단점 중 하나는 그 안에서 집단의 개념을 일반화하는 물체는 일반적인 대수적 의미에서 홉프 알헤브라가 아니라는 점이다.^[20] 이러한 결핍은 위상학 대수학의 봉투의 개념에 기초하여 구성된 이중성 이론의 틀 안에서 (일부 집단의 계층에 대해서는) 교정될 수 있다.^[24]

참고 항목

• 피터-와일 정리
• 카르티에 이중성
• 고정관념 공간

메모들

참조

• Akbarov, S.S. (2003). "Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra". Journal of Mathematical Sciences. 113 (2): 179–349. doi:10.1023/A:1020929201133. S2CID 115297067.
• Akbarov, Sergei S.; Shavgulidze, Evgeniy T. (2003). "On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin". Matematicheskii Sbornik. 194 (10): 3–26.
• Akbarov, Sergei S. (2009). "Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity". Journal of Mathematical Sciences. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. doi:10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID 115153766.
• Akbarov, Sergei S. (2017a). "Continuous and smooth envelopes of topological algebras. Part 1". Journal of Mathematical Sciences. 227 (5): 531–668. arXiv:1303.2424. doi:10.1007/s10958-017-3599-6. MR 3790317. S2CID 126018582.
• Akbarov, Sergei S. (2017b). "Continuous and smooth envelopes of topological algebras. Part 2". Journal of Mathematical Sciences. 227 (6): 669–789. arXiv:1303.2424. doi:10.1007/s10958-017-3600-4. MR 3796205. S2CID 128246373.
• Brauner, Kalman (1973). "Duals of Fréchet spaces and a generalization of the Banach–Dieudonné theorem". Duke Mathematical Journal. 40 (4): 845–855. doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7.
• Brudovskiĭ, B. S. (1967). "On k- and c-reflexivity of locally convex vector spaces". Lithuanian Mathematical Journal. 7 (1): 17–21.
• Dixmier, Jacques (1969). Les C*-algèbres et leurs Représentations. Gauthier-Villars. ISBN 978-2-87647-013-2.
• Enock, Michel; Schwartz, Jean-Marie (1992). Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups. With a preface by Alain Connes. With a postface by Adrian Ocneanu. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02813-1. ISBN 978-3-540-54745-7. MR 1215933.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963). Abstract Harmonic Analysis. Vol. I: Structure of topological groups. Integration theory, group representations. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 115. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94190-5. MR 0156915.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970). Abstract Harmonic Analysis. Vol. 2. ISBN 978-3-662-24595-8. MR 0262773.
• Kirillov, Alexandre A. (1976) [1972]. Elements of the theory of representations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 220. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07476-4. MR 0412321.
• Loomis, Lynn H. (1953). An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Co. ISBN 978-0486481234.
• Morris, S.A. (1977). Pontryagin duality and the structure of locally compact Abelian groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0521215435.
• Onishchik, A.L. (1984). Pontrjagin duality. Encyclopedia of Mathematics. Vol. 4. pp. 481–482. ISBN 978-1402006098.
• Reiter, Hans (1968). Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups. ISBN 978-0198511892.
• Rudin, Walter (1962). Fourier Analysis on Groups. D. van Nostrand Co. ISBN 978-0471523642.
• Timmermann, T. (2008). An Invitation to Quantum Groups and Duality - From Hopf Algebras to Multiplicative Unitaries and Beyond. EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-043-2.
• Kustermans, J.; Vaes, S. (2000). "Locally Compact Quantum Groups". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 33 (6): 837–934. doi:10.1016/s0012-9593(00)01055-7.
• Ardanza-Trevijano, Sergio; Chasco, María Jesús (2005). "The Pontryagin duality of sequential limits of topological Abelian groups". Journal of Pure and Applied Algebra. 202 (1–3): 11–21. doi:10.1016/j.jpaa.2005.02.006. hdl:10171/1586. MR 2163398.
• Chasco, María Jesús; Dikranjan, Dikran; Martín-Peinador, Elena (2012). "A survey on reflexivity of abelian topological groups". Topology and Its Applications. 159 (9): 2290–2309. doi:10.1016/j.topol.2012.04.012. MR 2921819.
• Kaplan, Samuel (1948). "Extensions of the Pontrjagin duality. Part I: infinite products". Duke Mathematical Journal. 15: 649–658. doi:10.1215/S0012-7094-48-01557-9. MR 0026999.
• Kaplan, Samuel (1950). "Extensions of the Pontrjagin duality. Part II: direct and inverse limits". Duke Mathematical Journal. 17: 419–435. doi:10.1215/S0012-7094-50-01737-6. MR 0049906.
• Venkataraman, Rangachari (1975). "Extensions of Pontryagin Duality". Mathematische Zeitschrift. 143 (2): 105–112. doi:10.1007/BF01187051. S2CID 123627326.
• Martín-Peinador, Elena (1995). "A reflexible admissible topological group must be locally compact". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (11): 3563–3566. doi:10.2307/2161108. hdl:10338.dmlcz/127641. JSTOR 2161108.
• Roeder, David W. (1974). "Category theory applied to Pontryagin duality". Pacific Journal of Mathematics. 52 (2): 519–527. doi:10.2140/pjm.1974.52.519.
• Smith, Marianne F. (1952). "The Pontrjagin duality theorem in linear spaces". Annals of Mathematics. 56 (2): 248–253. doi:10.2307/1969798. JSTOR 1969798. MR 0049479.
• Waterhouse, William C. (1968). "Dual groups of vector spaces". Pacific Journal of Mathematics. 26 (1): 193–196. doi:10.2140/pjm.1968.26.193.