원뿔

원뿔은 평탄한 밑면(흔히 원형일 필요는 없지만)에서 정점 또는 정점이라고 불리는 점까지 부드럽게 가늘어지는 3차원 기하학적 형상입니다.

원뿔은 공통 점인 정점을 정점이 포함되지 않은 기준면의 모든 점에 연결하는 일련의 선분, 반직선 또는 선으로 형성됩니다.저자에 따라 베이스는 원, 평면 내의 임의의 1차원 2차 형식, 닫힌 1차원 도형 또는 상기 중 하나와 닫힌 모든 점으로 제한될 수 있다.둘러싸인 점이 베이스에 포함되어 있으면 원뿔은 솔리드 오브젝트이며, 그렇지 않으면 3차원 공간의 2차원 오브젝트입니다.고체 물체의 경우, 이러한 선이나 부분 선에 의해 형성된 경계를 횡면이라고 합니다. 횡면이 경계가 없는 경우에는 원추면이라고 합니다.

선분의 경우 원뿔은 밑면을 넘어 연장되지 않지만, 반선의 경우 무한히 연장됩니다.선의 경우, 원뿔은 정점에서 양방향으로 무한히 멀리 뻗어 있으며, 이 경우 이중 원뿔이라고 부르기도 합니다.꼭대기 한쪽에 있는 이중 원뿔의 절반 중 하나를 기저귀라고 합니다.

원뿔의 축은 정점을 통과하는 직선(있는 경우)이며, 밑면(및 전체 원뿔)은 원형 대칭을 가집니다.

초등 기하학에서 일반적으로 원뿔은 오른쪽 원형으로 간주되며, 여기서 원뿔은 베이스가 원이고 오른쪽은 축이 베이스의 중심을 ^[1]평면에 대해 직각으로 통과하는 것을 의미한다.원뿔이 오른쪽 원형일 경우 평면과 측면의 교차점은 원뿔 단면이다.그러나 일반적으로 베이스는 모든^[2] 모양일 수 있으며, 정점은 어디에나 있을 수 있다(일반적으로 베이스가 경계되어 유한한 면적을 가지며, 정점은 베이스의 평면 밖에 있다고 가정한다).오른쪽 원뿔과 대조되는 것은 축이 베이스의 중심을 수직이 아닌 ^[3]방향으로 통과하는 경사 원뿔이다.

다각형 밑면을 가진 원뿔은 피라미드라고 불린다.

콘텍스트에 따라 "콘"은 볼록 원뿔 또는 투영 원뿔을 의미할 수도 있습니다.

원뿔은 더 높은 차원으로 일반화할 수도 있습니다.

추가 용어

원뿔의 밑부분 둘레는 '다이렉트릭스'라고 불리며, 직선과 정점 사이의 각 선분은 측면 표면의 '제너트릭스' 또는 '생성선'이다. ('다이렉트릭스'라는 용어의 감각과 원뿔 단면의 다이렉트릭스 사이의 연관성은 단델린 구를 참조한다.)

원형 원뿔의 "베이스 반지름"은 베이스의 반지름입니다; 종종 이것은 단순히 원뿔 반지름이라고 불립니다.우측 원형 원뿔의 개구부는 2개의 생성기 라인 사이의 최대 각도이며, 생성기가 축에 대한 각도 θ를 만들 경우 개구부는 2º입니다.

평면에 의해 절단된 정점을 포함한 영역을 가진 원뿔을 "절단 원뿔"이라고 한다.절단 평면이 원뿔의 밑면과 평행하면, 절단 ^[1]원뿔이라고 한다."엘립티컬 콘"은 ^[1]밑면이 타원형인 원뿔이다."일반화된 원뿔"은 정점과 경계상의 모든 점을 통과하는 일련의 선에 의해 생성되는 표면입니다(시각적 선체 참조).

측정 및 방정식

용량

원뿔형 고체의 $부피{\displaystyle }$V(\$displaystyle$ V$)$는 $베이스{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ B$(\$$})$ 면적과 $높이{\displaystyle }$h(\$displaystyle$ h$)$의 곱의 1/3입니다.

$({displaystyle V=black {1}{3}}}A_{B}h)$

현대 수학에서, 이 공식은 미적분을 사용하여 쉽게 계산될 수 있습니다 - 스케일링까지, 적분입니다.

미적분을 사용하지 않고, 이 공식은 원뿔을 피라미드와 비교하고 카발리에리의 원리를 적용함으로써 입증될 수 있다. 특히, 원뿔을 입방체의 1/3을 구성하는 (수직 스케일링된) 오른쪽 정사각형 피라미드와 비교한다.이 공식은 원의 면적과 비슷하지만 다면체 면적에 대한 2차원 공식과 달리 그러한 극소수의 주장을 사용하지 않고서는 입증될 수 없으며, 따라서 고대 그리스인들이 탈진법을 사용하면서 미적분이 등장하기 전에 덜 엄격한 증거를 인정했습니다.이것은 본질적으로 힐베르트의 세 번째 문제의 내용입니다. 더 정확히 말하면, 모든 다면체 피라미드는 가위 합치하지 않습니다(유한 조각으로 분할하여 다른 조각으로 재배치할 수 있습니다). 따라서 부피는 분해 인수를 사용하여 순수하게 계산될 수 없습니다.^[5]

질량 중심

균일한 밀도의 원뿔형 고체의 질량 중심은 기저부의 중심에서 정점까지의 거리의 1/4에 있으며, 두 가지를 연결하는 직선 위에 있습니다.

우측 원뿔

용량

반지름이 r이고 높이가 h인 원형 원뿔의 경우 베이스는 면적 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2$(\$ r$^{2})$의 원이므로 부피의^[6] 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle V=black {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

경사 높이

오른쪽 원형 원뿔의 경사 높이는 원뿔 표면을 따라 선분을 통해 베이스의 원의 모든 점에서 정점까지의 거리입니다.${\displaystyle \sqrt{{r2\mathrm{}}^{}}}$+ $(\display$ {$r^{2$} + $h^{2$})로 표시됩니다.$\}\}\}\}.$ $여기$서$r$ {\$displaystyle$r$$}은 $베이스$의 반지름$,$ h {\$displaystyle$h$$}는 높이입니다.이것은 피타고라스의 정리에 의해 증명될 수 있다.

표면적

우측 원형 원뿔의 측면적은 ${\displaystyle L}$ S ${\displaystyle A}$ $=$ ${\displaystyle r}$r {\$displaystyle$ LSA=\$pi$rl}입니다. $여기$서$$r {\$displaystyle$ r$}$은 원뿔 하단에 있는 원의 $반지름$이고$$l {\$displaystyle$ l$}$은 ^[4]원뿔의 경사 높이입니다.원추체 하단 원의 표면적은 θ ${\displaystyle {}^{}}$ $(\displaystyle$ \$pi r^{2$와 같으므로 우측 원추체 전체 표면적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 반지름과 높이

$\displaystyle \pi r^{2}+\pi rcrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

(베이스 면적과 측면 면적, $용어{\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{r2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{h2\mathrm{}}^{}}}$ ${$} + $h^{2$$})$$}}}}$은 경사 높이입니다.)

${\displaystyle \pi r\left(r+{r^{2}+h^{2}}\right)}$

$여기$서 r$\displaystyle$r은$$ 반지름, $\displaystyle$h는$$ 높이입니다.

• 반지름 및 경사 높이

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$

$\displaystyle \pi r(r+l)}$

$여기$서 r$\displaystyle$r은$$ $반지름$이고 l$\displaystyle$l은$$ 경사 높이입니다.

• 둘레 및 경사 높이

${\displaystyle {c^{2}}{4\pi}}+{\frac {cl}{2}}$

$(\displaystyle \leftflac {c}{2}}\right)\leftflac {c}{2\pi }}+l\right)$

$여기$서 c$\displaystyle$c는$$ $원주{\displaystyle }$, l$\displaystyle$l은$$ 경사 높이입니다.

• 정점 각도 및 높이

$(\displaystyle \pi h^{2}\tan \frac {theta } {2}}\left(\tan \frac {theta } {2}}+\sec)$

여기서$(\displaystyle$ \$theta)$는 정점 $각도$이고$$h(\$displaystyle$ h$)$는 높이입니다.

원형 섹터

원뿔의 기저귀 표면을 펼쳐 얻은 원형 섹터는 다음과 같다.

• 반지름 R

${\displaystyle R=sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

• 호 길이 L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• 중심각θ(라디안)

${\displaystyle \phi = flac {L} {R}} = flac {2\pi r} {\flcrt {r^2} + h^{2}}}}}}$

방정식 형식

원뿔의 표면은 다음과 같이 매개변수화할 수 있습니다.

$(\displaystyle f(\theta,h)=(h\cos \theta,h\sin \theta,h),}$

여기서 $\theta {\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 2}$ $]({$ $displaystyle \theta \in [ 0$ ,$2$ \ $pi$})는$$ 원뿔 주위의 $각도$이고 h ${\displaystyle r\mathbb{}}$R$${ \ $displaystyle$h \$in$ \$mathbb${ R$}$는 원뿔을 따른 높이입니다.

$높이{\displaystyle }$h(\$displaystyle$ h$)$ 및$$ 개구부 2$(\displaystyle$ 2$\theta$를 가진 우측 솔리드 원형 원뿔은 z$(\displaystyle$ z$)$ $좌표$ 축이며 정점이 원점인 경우 다음과 같이 파라미터로 설명됩니다.

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

$여기$서 s${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t,}$u {$displaystyle$s$,t,u}$의 범위는 각각${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$,$\},$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ $)],$ {$,$2 )}, [0, h$]$ {$displaystyle [0,$$2\pi$$]$$$및${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,h}$] $\{{\displaystyle }$displaystyle [0,$h]$입니다.

암묵적 형태에서, 같은 고체들은 부등식에 의해 정의된다.

$\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\}$

어디에

${{displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta)^{2}-z^{2}(\sin \theta)^{2},$

보다 일반적으로, 원점에 정점이 있고 $d에$평행한 축과 $개구부{\displaystyle \mathrm{}}$ 2$$({$displaystyle 2$\theta$\})$가 있는 오른쪽 원형 원뿔은 암묵적 벡터 $방정식{\displaystyle }$ F${\displaystyle (u)}$ $=$({$displaystyle$ F$(u$)=$0)$에 의해 주어진다.

(왜냐면 ⁡ θ)2{\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta)^{2}(u⋅ u)F(u))(u⋅ d)2−(d⋅ d)}나 F중 한개(u))u⋅ d− du-뭔⁡ θ{F(u)=u\cdot d- d마 \cos \theta\displaystyle}.

어디에 ux(x, y, z){\displaystyle u=(x,y,z)},{\displaystyle u\cdot d}점이 제품을 의미한다 너 ⋅ d.

타원 원뿔

은 데카르트 좌표계에서 form[7]의 방정식의, 타원 콘은 현장.

${\displaystyle{\frac{{2x^}}{a^{2}}}+{\frac{{2y^}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

방정식과right-circular 단위 콘의 상관 이미지 x2+y2)z2.{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\.}은, 같은 형태의 하나(타원, 포물선,...)은 원뿔 곡선의 아핀 이미지는 원추 곡선:을 가져옵니다.

• 타원 콘의 모든 비행기 부분은 원뿔 곡선.

명백하게 올바른 원뿔 서클을 포함하고 있다.이 또한 덜 명백한, 일반적인 경우(원형 섹션을 참조)에서 사실이다.

타원 원뿔과 동심원구의 교점은 구형 원뿔이다.

투영 형상

투영 기하학에서 실린더는 단순히 꼭대기가 ^[8]무한대에 있는 원뿔이다.직관적으로 기저를 고정하고 정점이 무한대로 갈수록 한계를 취하면 직각을 이루는 한계에서 아크탄으로 증가하는 변의 각도가 실린더를 얻는다.이는 원통형 원뿔을 고려해야 하는 퇴화 원뿔의 정의에 유용하다.

G. B. Halsted에 따르면 원뿔은 Steiner 원뿔에 사용되는 투영 범위가 아닌 투영성과 축연필(투시하지 않음)만으로 Steiner 원뿔과 유사하게 생성됩니다.

"두 개의 시간적 비원가 축연필이 투시성이지만 투시가 아닌 경우, 상관 평면의 만남은 '2차 원뿔 표면' 또는 '원뿔 표면'^[9]을 형성합니다."

고차원

원뿔의 정의는 더 높은 차원으로 확장될 수 있다(볼록 원뿔 참조).이 경우, 실벡터 공간ⁿ R의 볼록 집합 C는 원점에 정점을 갖는 원추체라고 할 수 있다. 만약 C 내의 모든 벡터 x와 음이 아닌 모든 실수 a에 대해 벡터 Ax가 ^[2]C에 있다면, 벡터 Ax는 C에 있다.이런 맥락에서 원형 원뿔의 유사체는 보통 특별하지 않다; 사실 다면체 원뿔에 관심이 많다.

「 」를 참조해 주세요.

• 바이콘
• 원뿔(선형 대수)
• 원뿔(토폴로지)
• 실린더(기하학)
• 데모크리투스
• 일반 원뿔형
• 쌍곡선
• 도형 목록
• 피로메트릭 콘
• 쿼드릭
• 축의 회전
• 괘면
• 축의 변환

메모들

레퍼런스

• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Cone". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Double Cone". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Generalized Cone". MathWorld.
• 수학의 인터랙티브 스피닝 콘은 재미있다.
• 종이 모형 원뿔
• 비스듬한 원뿔의 측면 면적
• 원뿔 절단 평면과 원뿔의 교차점에 대한 대화형 시연