e-메시지

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과학에서 e-폴딩은 기하급수적으로 증가하는 양이 e의 인수만큼 증가하는 시간 간격이다. e-폴딩은 시간을 두 배로 증가시키는 base-e 아날로그이다.이 용어는 대기 화학, 의학, 이론 물리학 등 과학의 많은 분야에서 자주 사용되며, 특히 우주 인플레이션을 조사할 때 더욱 그러하다.물리학자와 화학자들은 종종 위에 언급된 e인자만큼 공간 패치나 스페이스타임의 길이가 증가하는 적절한 시간에 의해 결정되는 e-폴딩 시간 척도에 대해 이야기한다.

금융에서 관심의 힘이라고도 하는 로그 반환 또는 연속적으로 복합된 수익은 e-폴딩 시간의 역수다.

e-폴딩 시간이라는 용어는 지수 붕괴의 경우에도 유사하게 사용되기도 하는데, 이는 수량이 이전 값의 1/e로 감소하는 시간 척도를 가리킨다.

평형으로 진화하는 과정은 흔히 e-폴딩 시간 τ이라고 불리는 시간 척도로 특징지어진다.이 시간은 최종 상태(균형)로 기하급수적으로 진화하는 과정에 사용된다.즉 관측 가능한 X, 시스템과 연관된 X(예를 들어 온도나 밀도)를 조사하면, 시간이 흐른 후 τ, 관측 가능한 초기값과 평형값 ΔX_i 사이의 초기 차이(ΔX)가 ΔX_i /e로 감소하여 여기서 e ≈ 2.71828이 된다.

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{d}}{\ln(2)}={\frac {t}{\ln({N(t)}/{N(0)}}}}}}={\frac {t}{\ln(1+r/100)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

• T_e e-폴딩 시간
• 시간 t에서의 N(t) 금액
• N(0)초기금액
• T_d 더블링 타임
• ln(2) ≈ 0.693 자연 로그 2
• 시간 t에서의 R% 증가율

e-폴딩 시간으로서의 수명 예제

e-폴딩 시간의 개념은 키네틱스 분석에 사용될 수 있다.다른 화학종인 B로 분해되는 화학종 A를 생각해보자.우리는 이것을 방정식으로 묘사할 수 있다.

${\displaystyle {\rm {A}\오른쪽 화살표 {\rm {B}}$

이러한 반응이 첫 번째 순서 운동학을 따른다고 가정해 보자. 즉, A를 B로 변환하는 것은 A의 농도와 이것이 일어나는 속도를 지시하는 비율 상수인 k에 달려있다.이 첫 번째 순서 운동 과정을 설명하기 위해 다음과 같은 반응을 쓸 수 있다.

${\dplaystyle {\frac {d[{\rm {A}}}{dt}=-k[{\rm {A}}}}$

이 통상적인 미분방정식은 A, d[A]/dt 농도의 변화(이 경우 소멸)는 비율 상수 k에 A 농도를 곱한 값과 같다고 명시한다.k의 단위가 무엇일지 생각해 보라.왼쪽에는 시간의 단위로 나눈 농도가 있다.k의 단위는 이러한 단위를 우측에 복제할 수 있도록 해야 할 것이다.이러한 이유로, 여기서 k의 단위는 1/3이 될 것이다.

이것은 선형, 균질, 분리 가능한 미분 방정식이기 때문에, 우리는 이 방정식이 다음과 같이 되는 항들을 분리할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d[{\rm {A}}}{{\rm {A}}}}}}}{{\rm}}}}}=-k\,dt}$

그런 다음 이 방정식의 양쪽을 통합하여 상수 e를 포함할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{[{\rm {A}}]_{i}}^{[{\rm {A}}]_{f}}{\frac {d[{\rm {A}}]}{[{\rm {A}}]}}=\int _{t=0}^{t}-k\,dt\\[6pt]&\ln[{\rm {A}}]_{f}-\ln[{\rm {A}}]_{i}=-kt-k(0)\\[6pt]&\ln {\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=-kt\\[6pt]&{\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=e^{-kt}\end{aligned}}}$

여기서 [A]_f와 [A]_i는 A의 최종 및 초기 농도다.왼쪽의 비율과 오른쪽의 방정식을 비교한 결과, 최종 농도와 초기 농도의 비율은 지수 함수를 따르는데, 그 중 e가 베이스라는 결론을 내린다.

위에서 언급한 바와 같이 k의 단위는 역시간이다.만약 우리가 이것의 상호작용을 한다면, 우리는 시간의 단위를 가지게 될 것이다.이 때문에 우리는 흔히 첫 번째 순서를 부패한 종의 수명이 k의 역수와 같다고 진술한다.시간 t를 속도 상수의 역수 k, 즉 t = 1/k로 설정하면 어떻게 되는지 생각해 보십시오.이러면 항복할 것이다.

${\displaystyle {\rm {A}}_{f}{{f}}{{\rm {A}}_{i}}}}=e^{-k\왼쪽({\frac {1}{k}\오른쪽)}}=e^{-1}={\frac {1}{e}\약 0.37}$

이는 1회 수명(1/k) 후 최종 농도 대 초기 농도의 비율이 약 0.37과 같다는 것을 말한다.다른 방법으로 말하면, 한 생이 지난 후,

${\displaystyle {\rm {A}_{f}{{\rm {A}_{i}}}}\cH00}=37\%}$

즉, 우리는 A의 63%를 잃었고(1 - 0.37 = 0.63) 37%만 남았다.이것으로, 우리는 이제 우리가 1개의 생명이 지나면, 1개의 "e-폴딩"을 겪었다는 것을 알게 되었다.e-폴딩 2개는 어떻게 생겼을까?두 번의 수명을 가진 후 t = 1/k + 1/k = 2/k가 될 것이다.

${\displaystyle {\rm {A}}_{f}{{f}}{{\rm {A}}_{i}}}}=e^{-k\왼쪽({\frac {2}{k}\오른쪽)}}=e^{-2}={\frac {1}{e^{2}}\\약 0.14=14\%}$

A의 약 14%만이 남아있다는 것을 말해준다.e-폴딩이 지나간 수명을 쉽게 설명할 수 있는 방법을 우리에게 빌려주는 것은 이런 방식이다.1명의 생이 지나면 1/e이 남는다.두 번의 생애를 마치고 나면 1/e이² 남는다.그러므로 한 생명은 하나의 e-폴딩 시간이며, 이것은 붕괴를 설명하는 가장 설명적인 방법이다.

참고 항목

• 더블링 타임