하웰 정규형

선형대수와 환 이론에서, 하웰 정규형(Howell normal form)은 정수 모듈로 N의 고리인 Z $(\$ 위의 행렬의 행 에켈론 형식을 일반화시킨 것이다.두 행렬의 행 범위는 Howell 정규 형식이 일치하는 경우에만 일치합니다.Howell 정규형은 Hermite 정규형을 일반화하며 $,$ 이는 Z(\ $displaystyle \mathbb {Z$ ^[1] 이상의 $\mathbb {Z}$ 에 대해 정의됩니다.

정의.

$(\$ Z})에 대한 $A\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}$ A(\ $displaystyle$ A $\in \mathbb {Z$ $}_$ $times m})$ 는 다음과 같은 특성을 갖는 경우 행 에켈론 형식으로 호출됩니다.

r $\$ $displaystyle$ r을 $r$ $A$ 의 $A$ 0이 아닌 행의 수로 합니다. $그러면$ 행렬의 맨 $위$ r $\displaystyle$ r 행은 $r$ 0이 아닙니다.
1 $1\leq i\leq r$ i $1\leq i\leq r$ r $1\leq i\leq r$ \ $display$ 1 \ $leq$ i \ $leq$ r $1\leq i\leq r$ 、 $j_{i}$ i \ $display style$ j $_$ { $j_{i}$ i } $i$ i i i {\ {\ ${\$ i \ $display$ style i $i$ .mostmostmostmostmost element element element element element element in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in $다음$ 으로 j 1 $j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}$ < $j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}$ < j $j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}$ r $j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}$ < $j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}$ $j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}$ \ $displaystyle j_{1}$ < \ $dots$ < j $_$ { $r$ } 。

기본 변환을 사용하면 행 echelon 형식의 각 행렬을 다음 속성을 유지할 수 있도록 줄일 수 있습니다.

각 $1\leq i\leq r$ i $1\leq i\leq r$ r $1\leq i\leq r$ { $display style$ 1 \ $leq$ i \ $leq$ r $1\leq i\leq r$ }에 대해 선두 요소 A $A_{ij_{i}}$ $i$ { $ij$ _ { $i$ }는 $A_{ij_{i}}$ N{ $display style$ N $}$ 의 약수입니다.
각 $1\leq k<i\leq r$ k < $1\leq k<i\leq r$ $1\leq k<i\leq r$ ${$ $displaystyle$ $1\leq k<i\leq r$ 1 \ $leq$ k $< i$ \ $leq$ r $1\leq k<i\leq r$ }에 $1\leq k<i\leq r$ 대해 $0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}$ A $0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}$ $0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}$ < $0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}$ $0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}$ $0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}$ i \ $leq A$ _ { k j _ { $i$ } < $A_{ij_{i$

A $(\displaystyle$ A $)$ 가 $A$ 위의 두 가지 특성을 모두 준수할 $경우$ 줄바꿈 형식이라고 합니다.

$A가$ 다음과 같은 추가 속성을 준수할 $A$ $경우$ , A는 Howell 정규 $($ S $S(A)$ ( $S(A)$ ){ $displaystyle$ S $(A$ $)}{displaystyle$ A $})$ $A$ 이라고 합니다.

$v\in S(A)$ S ( A $v\in S(A)$ ) $v\in S(A)$ { $displaystyle$ $v\in S(A)$ $v$ \ $in$ $v\in S(A)$ S ( $A$ ) an $v\in S(A)$ A $の$ span of of스팬의 요소로서 각 $1\leq k<j_{i}$ k $1\leq k<j_{i}$ < j $1\leq k<j_{i}$ \ $display$ 1 \ $leq$ k < $j$ _ { $1\leq k<j_{i}$ i $1\leq k<j_{i}$ }에 $v_{k}=0$ v k $= 0$ 이 $v_{k}=0$ $v_{k}=0$ . $v\in S(A_{i\dots m})$ 으로 v $v\in S(A_{i\dots m})$ S ( $v\in S(A_{i\dots m})$ i $v\in S(A_{i\dots m})$ ) $v\in S(A_{i\dots m})$ { $displaystyle$ v \ $in$ S ( A $_$ $A_{i\dots m}$ { $v\in S(A_{i\dots m})$ $i$ \ $dots$ m $A_{i\dots m}$ } $v\in S(A_{i\dots m})$ $A_{i\dots m}$ 서 A $A_{i\dots m}$ 는i $A_{i\dots m}$ { $display style$ i $i$ } ~ $m$ ${$ $A_{i\dots m}$ $display$ $style$ m $A$ 의 $A_{i\dots m}$ $행렬입니다.$

특성.

$\mathbb {Z} _{N}$ 위의 $\mathbb {Z} _{N}$ $행렬$ A $(\$ $displaystyle \mathbb {Z}_{N$ 에는 $A$ S $S(A)=S(H)$ $S(A)=S(H)$ $H)$ \ $displaystyle$ S $(A$ ) $= S(H$ 와 $S(A)=S(H)$ 고유한 행렬 H $(\displaystyle$ H $)$ 가 $H$ 있습니다. $행렬$ H $($ 디스플레이 $H$ $스타일$ H)는 행렬 A $(디스플레이 스타일$ A $)$ 에서 $A$ 일련의 기본 변환을 통해 얻을 수 있습니다.

$\mathbb {Z} _{N}$ 결과, Z $\mathbb {Z} _{N}$ 에 $\mathbb {Z} _{N}$ 2개의 $A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}$ A $A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}$ $A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}$ Z $A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}$ × $A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}$ {\ $displaystyle$ $\mathbb {Z} _{N}$ A, $B\in$ \ $mathbb {Z} _$ ${N$ $\mathbb {Z} _{N}$ $n\times$ m $}$ 에 $A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}$ 대해 행의 스팬은 동일하고 하웰 정규 형식이 동일한 경우에만 ^[2]동일함을 알 수 있습니다.

예를 들어, 행렬은

\displaystyle A=bgin{bmatrix}4&1&0\\0&5\0&0&end{bmatrix},\;\;B=begin{bmatrix}8&5\\0&9\\0&10\end{bmatrix}}

$\mathbb {Z} _{12}$ 12 $\mathbb {Z} _{12}$ 에서 동일한 하웰 법선 형식을 가진다({ $displaystyle \mathbb {Z} _{12$

({displaystyle H=bgin{bmatrix}4&1&0\\0&3&0\\0&1\end{bmatrix})}

$(\displaystyle$ A $)$ 와 $A$ B $(\displaystyle$ B $)$ 는 $B$ 열 형태에서 두 개의 서로 다른 매트릭스이므로, 일부 필드의 매트릭스로 취급할 경우 스팬이 동일함을 의미합니다.게다가 이들은 에르미트 정규 형태입니다.즉,^[2] 정수의 고리인 $\mathbb {Z}$ Z $(\displaystyle$ \ $mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ 에 대해 고려할 경우 행 범위도 동일합니다.

단, Z $(\$ 는 $\mathbb {Z} _{12}$ 필드가 아니며 일반 링에서는 행 전체를 무효화하지 않고 행에 스칼라를 곱하여 행의 피벗을 무효화할 수 있습니다.이 특별한 경우,

\displaystyle 3\cdot {bmatrix} 4&1&0\end {bmatrix}\equiv {bmatrix} 0&3&0\end {bmatrix} {\pmod {12}.}

이는 [ ${\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}\in S(A)$ ${\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}\in S(A)$ ${\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}\in S(A)$ S ( ${\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}\in S(A)$ ) \ $displaystyle$ { $bmatrix$ } \ $begin {$ bmatrix } $0$ & 3 & 0 \ end { $bmatrix$ \ $in$ S ( A ) ${\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}\in S(A)$ 이것은 어떤 필드나 정수에 대해서도 해당되지 않습니다.

레퍼런스

^ Biasse, Fieker, Hofmann (2017), 페이지 589
^ ^a ^b 스토르요한, 멀더스(1998), 139-140페이지

참고 문헌

John A. Howell (April 1986). "Spans in the module (Z_m)^S". Linear and Multilinear Algebra. 19 (1): 67–77. doi:10.1080/03081088608817705. ISSN 0308-1087. Wikidata Q110879587.
Arne Storjohann; Thom Mulders (24 August 1998). "Fast Algorithms for Linear Algebra Modulo N". Lecture Notes in Computer Science: 139–150. doi:10.1007/3-540-68530-8_12. ISSN 0302-9743. Wikidata Q110879586.
Jean-François Biasse; Claus Fieker; Tommy Hofmann (May 2017). "On the computation of the HNF of a module over the ring of integers of a number field". Journal of Symbolic Computation. 80: 581–615. arXiv:1612.09428. doi:10.1016/J.JSC.2016.07.027. ISSN 0747-7171. Wikidata Q110883424.

[1] Biasse, Fieker, Hofmann (2017), 페이지 589

[:0-2] 스토르요한, 멀더스(1998), 139-140페이지

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