(B, N) 쌍

(B, N) pair

수학에서 (B, N) 쌍은 많은 수의 사례별 증거를 주는 대신 많은 결과에 대해 획일적인 증거를 제시할 수 있는 Lie 타입의 그룹 구조다.대략적으로 말하면, 그러한 모든 집단이 한 필드의 일반 선형집단과 유사하다는 것을 보여준다.그것들은 수학자 자크 티츠에 의해 소개되었고, 때로는 티츠 계통으로도 알려져 있다.

정의

A(B, N) 쌍은 다음 공리가 유지되는 그룹 G의 하위 그룹 B와 N 쌍이다.

  • G는 B와 N에 의해 생성된다.
  • B와 N의 교차점 H는 N의 정규 부분군이다.
  • 그룹 W = N/H는 일부 비 빈 집합 I에 대해 순서 2의i 원소 집합 S에 의해 생성된다.
  • w가i S의 요소이고 w가 W의 요소라면 wBw는i BwB와i BwB의 결합에 포함되어 있다.
  • B를 정규화하는i 발전기가 없다.

이 정의의 개념은 B가 일반 선형 그룹 GLn(K)의 상위 삼각 행렬의 아날로그이고, H는 대각 행렬의 아날로그이며, N은 H의 노멀라이저(Normalizer)의 아날로그라는 것이다.

부분군 B는 보렐 부분군, H는 카르탄 부분군, W는 웨일군이라고 부르기도 한다.쌍(W,S)은 Coxeter 시스템이다.

발전기의 수를 순위라고 한다.

예

  • G가 2개 이상의 원소를 가진 집합 X에서 2배 이상의 전이적 순열 그룹이라고 가정하자.우리는 B를 점 x를 고정하는 G의 부분군으로 하고, N을 부분군 고정 또는 2점 x와 y를 교환하는 부분군으로 한다.그러면 부분군 H는 x와 y를 모두 고정하는 원소의 집합이며, W는 순서 2를 가지며 그 비경쟁 요소는 x와 y를 교환하는 어떤 것으로도 표현된다.
  • 반대로, G가 1등급의 (B, N)쌍을 가지고 있다면, B의 코세트에 대한 G의 작용은 이중 전이적이다.따라서 1위 BN 쌍은 2개 이상의 요소가 있는 세트에서 이중 전이 작용과 거의 동일하다.
  • G가 필드 K 위에 있는 일반 선형 그룹 GLn(K)이라고 가정합시다.우리는 B를 위쪽 삼각형 행렬로, H를 대각 행렬로, 그리고 N을 단일 행렬로, 즉 각 행과 열에 정확히 0이 아닌 원소가 있는 행렬로 삼는다.대각 행렬의 인접한 두 행을 스와핑하여 얻은 행렬로 나타내는 n - 1 발전기i w가 있다.
  • 보다 일반적으로, 모든 Lie 타입의 그룹은 BN-pair의 구조를 가지고 있다.
  • 국지적 분야 위에 있는 환원 대수집단은 BN-pair를 가지고 있으며, B는 이와호리 부분군이다.

BN 쌍을 가진 그룹의 속성

BwB로 가져가는 지도는 W의 원소 집합에서 B의 이중 코세트의 집합까지 이형성이며, 이것이 Bruhat 분해 G = BWB이다.

T가 S의 부분군이라면 W(T)를 T에 의해 생성된 W의 부분군으로 하고 G(T) = BW(T)B를 T에 대한 표준 포물선 부분군으로 정의한다.B의 결합체를 포함하는 G의 부분군은 포물선 부분군이며, B의 결합체를 보렐 부분군(또는 최소 포물선 부분군)이라고 한다.이것들은 정확히 표준 포물선 부분군이다.

적용들

BN-pair는 Lie 타입의 많은 집단이 그들의 중심을 단순하게 변형시킨다는 것을 증명하기 위해 사용될 수 있다.더 정확히 말하면, G가 BN-pair를 가지고 있어서 B가 해결 가능한 그룹이고, B의 모든 접합자의 교차점은 사소한 것이고, W의 발전기 세트는 두 개의 비어 있지 않은 통근 세트로 분해될 수 없다면, G는 완벽한 그룹일 때마다 간단하다.실제로 G가 완벽하다는 것을 제외하고 이 모든 조건들은 확인하기가 쉽다.G가 완벽하다는 것을 확인하는 것은 약간 지저분한 계산이 필요하다(그리고 사실 완벽하지 않은 Lie type의 작은 그룹이 몇 개 있다).하지만 그룹이 완벽하다는 것을 보여주는 것은 보통 단순하다는 것을 보여주는 것보다 훨씬 쉽다.

참조

  • Bourbaki, Nicolas (2002). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 3-540-42650-7. Zbl 0983.17001. BN 쌍에 대한 표준 참조.
  • Serre, Jean-Pierre (2003). Trees. Springer. ISBN 3-540-44237-5. Zbl 1013.20001.