튀는 공

튀는 공의 물리학은 튀는 공의 물리적 거동, 특히 다른 물체의 표면에 충돌하기 전, 충돌 중 및 충돌 후의 움직임에 관한 것입니다.튀는 공의 동작의 몇 가지 측면은 고등학교 또는 학부 수준의 물리학 코스에서 역학을 소개하는 역할을 합니다.그러나 행동의 정확한 모델링은 복잡하고 스포츠 엔지니어링에 관심이 있다.

공의 움직임은 일반적으로 발사체 운동(중력, 항력, 마그누스 효과 및 부력에 의해 영향을 받을 수 있음)에 의해 설명되는 반면, 그 충격은 보통 복원 계수(공의 특성, 충돌 표면의 특성, 충격 속도, 회전 및 국소 c에 의해 영향을 받을 수 있음)에 의해 특징지어집니다.온도 및 압력과 같은 조건).페어 플레이를 보장하기 위해, 많은 스포츠 관리 기구는 공의 탄력을 제한하고 공기의 공기역학적 특성을 훼손하는 것을 금지한다.공들의 탄력성은 메소아메리카 ^[1]구기 대회만큼이나 오래된 스포츠의 특징이었다.

비행 중 힘과 운동에 미치는 영향

튕기는 공의 움직임은 발사체의 ^[2][3]움직임에 따른다.중력(F_G), 공기저항(F_D), 공회전(F_M), 부력(F_B) 등 많은 힘이 실제 공에 작용합니다.일반적으로 공의 움직임을 분석하려면 모든 힘을 고려하여 뉴턴의 제2법칙을 사용해야 합니다.

$\displaystyle \sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\mathbf {F} _{\text{\text}G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} } {dt} =mfrfrac {d^{2}\mathbf {r} } {dt^{2}},\end{aligned}}$

여기서 m은 공의 질량입니다.여기서 a, v, r은 시간 t에 따른 공의 가속도, 속도 및 위치를 나타낸다.

중력

중력은 아래쪽으로 향하며 다음과 같다^[4].

$\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

여기서 m은 공의 질량이고 g는 중력가속도이며 지구상에서 9.764m/s에서² 9.834m/^[5]s² 사이에서 변화한다.다른 힘들은 보통 작기 때문에, 그 움직임은 종종 중력의 영향을 받는 것으로 이상화된다.만약 중력의 힘만 볼에 작용한다면, 기계적 에너지는 비행 중에 보존될 것입니다.이 이상화된 경우, 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {displaystyle}\mathbf {a} &=-g\mathbf {hat {j} ,\mathbf {v} &=\mathbf {a} t,\\mathbf {r} +\mathbf {r} _0v}$

여기서 a, v, r는 볼의 가속도, 속도, 위치를 나타내고₀ v와₀ r은 각각 볼의 초기 속도와 위치를 나타낸다.

구체적으로는 공이 지면과의 각도θ에서 튕겨진 경우 x축과 y축(각각 수평 및 수직 운동을 나타냄)에서의 운동은 다음과 같이 기술된다^[6].

x축	Y축
${\displaystyle {\text{x}}&=0,\v_{\text{x}}&=v_{0}\cos \left(\theta \right),\x&=x_{0}+v_{0}}\cos \left(\theta \right)t,\end {aligned}}$	${{displaystyle {\text{y}}&=-g,\v_{\text{y}}&=v_{0}\sin \left(\theta \right)-gt,\y&=y_{0}+v_{0}\sin \left(\theta \right)t-{2}}.\end { aligned}}$

방정식은 평평한 표면에서 튕기는 공의 최대 높이(H)와 범위(R) 및 비행 시간(T)이 다음과^[2][6] 같이 주어진다는 것을 의미한다.

$디스플레이 스타일H&=sin frac {v_{0}^{2g}\sin ^{2}\left(\theta \오른쪽),\R&=sin {v_{0}^{2}}{g}\sin \left(2\theta \오른쪽),~{\text {and}\}\\\\T&=frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end { aligned}}$

공기 저항(및 드래그 및 바람과 같은 관련 효과), 매그너스 효과 및 부력을 고려하여 공의 움직임을 더욱 정교하게 만들 수 있습니다.가벼운 공은 더 쉽게 가속하기 때문에, 그들의 움직임은 그러한 힘에 의해 더 많은 영향을 받는 경향이 있다.

드래그

볼 주위의 공기 흐름은 레이놀즈 수(Re)에 따라 층상 또는 난류가 될 수 있으며, 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\text{Re}}=black {rho Dv}{\mu }}$

여기서 θ는 공기의 밀도, μ공기의 동적 점도, D는 공기의 직경, v는 공기의 통과 속도이다.20 °C의 온도에서 ο = 1.2 kg/m³, μ = 1.8×10⁻⁵ Pa·^[7]s이다.

레이놀즈 수치가 매우 낮은 경우(Re < 1) 볼에 대한 드래그력은 스토크스의 ^[8]법칙에 의해 설명된다.

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

여기서 r은 공의 반지름입니다.이 힘은 공 방향과 반대로 작용합니다(- $^$ \ $displaystyle$ \ $textstyle -$ { \ $hat$\ $mathbf${ $v }$} $$$）{\displaystyle }$ 。그러나 대부분의 스포츠볼의 경우 레이놀즈 번호는 10에서 10⁵ 사이이며⁴ 스톡스의 법칙은 ^[9]적용되지 않는다.이러한 레이놀즈 수의 높은 값에서 볼에 대한 드래그 힘은 대신 드래그 ^[10]방정식으로 설명됩니다.

$\displaystyle F_{\text{D}}=sqfrac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2}}$

여기서_d C는 드래그 계수이고 A는 볼의 단면적입니다.

드래그(drag)로 인해 공이 비행하는 동안 기계적 에너지가 손실되고, 비행 범위와 높이가 감소하며, 옆바람에 의해 공이 원래 경로에서 빗나가게 됩니다.골프와 같은 스포츠 선수들은 두 가지 효과를 모두 고려해야 한다.

마그누스 효과

공의 회전은 매그너스 효과를 통해 그 궤적에 영향을 미칠 것이다.Kutta-Joukowski 정리에 따르면, 공기의 흐름이 불투명한 회전구에 대하여, 마그누스 힘은 다음과 같다^[11].

$\displaystyle F_{\text{M}} = flac {8} {3}} \pi r^{3} \rho \opega v,}$

여기서 r은 공기의 반지름, θ 공기의 각속도(또는 회전속도), θ 공기의 밀도, v 공기의 상대 속도입니다.이 힘은 운동에 수직이고 회전축에 수직입니다($in{\displaystyle \stackrel{}{}^}$ × $^$ { $displaystyle \ textstyle$\ $times$ \$hat$ { \ $mathbf$ { $v }$） $。$힘은 백스핀의 경우 위쪽으로, 탑스핀의 경우 아래쪽으로 향합니다.실제로 흐름은 결코 무감각하지 않으며, Magnus 리프트는^[12] 다음과 같이 더 잘 설명됩니다.

$\displaystyle F_{\text{M}} = flac {1} {2}} \ rho C_{\text{L}}Av^{2}}$

여기서 θ는 공기의 밀도, C는_L 리프트 계수, A는 공기의 단면적, v는 공기에 상대적인 공기의 속도이다.리프트 계수는 r//v, 레이놀즈 수 및 표면 ^[12]거칠기에 따라 달라지는 복잡한 계수이다.특정 조건에서는 리프트 계수가 음수일 수도 있어 마그누스 힘의 방향을 바꿀 수 있습니다(역 매그너스 ^[4][13][14]효과).

테니스나 배구와 같은 스포츠에서 플레이어는 마그누스 효과를 사용하여 비행 중 (탑스핀이나 백스핀을 통해) 공의 궤적을 제어할 수 있습니다.골프에서 이 효과는 보통 골퍼에게 해가 되는 슬라이스와 후킹에 원인이 있지만 드라이브나 다른 ^[15][16]샷의 범위를 늘리는 데에도 도움이 된다.야구에서 투수는 이 효과를 이용하여 커브볼과 다른 특별한 ^[17]공을 만든다.

공 조작은 종종 불법이며 2006년 ^[18]8월 영국과 파키스탄의 크리켓 논란과 같은 문제의 중심에 자주 있다.야구에서 '스피트볼'이라는 용어는 공의 ^[19]공기역학을 바꾸기 위해 스핏이나 다른 물질로 공을 불법 코팅하는 것을 말한다.

부력

물이나 공기와 같은 유체에 담근 물체는 위쪽으로 ^[20]부력을 받게 됩니다.아르키메데스의 원리에 따르면, 이 부력은 물체에 의해 변위된 유체의 무게와 같다.구의 경우, 이 힘은 다음과 같습니다.

$\displaystyle F_{\text{B}} = flac {4} {3}} \ pi r^{3} \ rho g . }$

부력은 보통 드래그 및 마그누스 힘에 비해 작으며 종종 무시될 수 있습니다.그러나 농구의 경우 부력은 공 ^[20]무게의 약 1.5%에 이를 수 있다.부력은 위로 향하기 때문에 볼의 범위와 높이를 높이는 역할을 합니다.

영향

외부 비디오
Florian Korn (2013). "Ball bouncing in slow motion: Rubber ball". YouTube.

공이 표면에 충돌하면, 표면은 소리와 열을 생성하면서 반동하고 진동하며, 공은 운동 에너지를 잃는다.게다가, 충격은 볼에 약간의 회전을 주고, 그것의 변환 운동 에너지의 일부를 회전 운동 에너지로 바꿀 수 있습니다.이 에너지 손실은 일반적으로 복원 계수(COR, e로 표시)^{[23][note 1]}를 통해 (간접적으로) 특징지어집니다.

$\displaystyle e=-{\text{f}-u_{\text{f}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}},$

여기서_f v와_i v는 볼의 최종 및 초기 속도이고_f u와_i u는 각각 표면에 영향을 미치는 최종 및 초기 속도이다.공이 움직이지 않는 표면에 충돌하는 특정한 경우 COR는 다음과 같이 단순화됩니다.

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.}$

따라서 바닥에 떨어진 공에 대해 COR는 0(바운스 없음, 총 에너지 손실)과 1(완벽하게 튀어오름, 에너지 손실 없음) 사이에서 변화합니다.COR 값이 이론적으로 0보다 작거나 1보다 크면 볼이 표면을 통과했거나(e < 0), 또는 스프링이 장착된 플랫폼에 볼이 착지했을 때(e > 1) 표면이 "완화"되지 않았음을 나타냅니다.

움직임의 수직 및 수평 구성 요소를 분석하기 위해 COR은 다음과 같이 정의된^[24] 일반 COR(e)과_y 접선 COR_x(e)로 분할되기도 합니다.

$\displaystyle e_{\text{yf}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yi}}}{v_{\text{yi}}},$

$\displaystyle e_{\text{x}=-{\frac{(v_{\text{xf}}-R\Omega_{\text{f}})-{{\text{f}}}-{(v_{\text{xi}}-{\text{xiti}})-{\f}-{\f}-u_{\F}-{\text{\Omega}}}-}-}-}-{\F}-}-}-}-}-}-}-{{\Omega$

여기서 r과 θ는 공의 반지름과 각속도를 나타내며, R과 δ는 충돌 표면(야구 배트 등)의 반지름과 각속도를 나타낸다.특히 rθ는 공 표면의 접선 속도이며, Rδ는 충돌 표면의 접선 속도입니다.볼이 비스듬한 각도로 표면에 부딪히거나 회전이 수반될 때 특히 중요합니다.

회전하지 않고 중력의 힘만 볼에 작용하여 지면에 직선 낙하하는 경우 COR은 다음과 ^[22][25]같이 다른 여러 양에 관련될 수 있다.

${\displaystyle e=\left {v_{\text{f}}{v_{\text{i}}}\right ={K_{\text{i}}}={frac {U_{\text{f}}}}{\right }U_{\text{i}}}=sqrt {frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}=black{T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}=sqrt {frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8}H_{\text{i}}}}}}.}$

여기서 K와 U는 공의 운동 에너지와 위치 에너지를 나타내고, H는 공의 최대 높이, T는 공의 비행 시간을 나타낸다.'i'와 'f' 첨자는 볼의 최초(충격 전)와 최종(충격 후) 상태를 나타낸다.마찬가지로 충격 시 에너지 손실은 다음과 같이 COR과 관련될 수 있습니다.

${\displaystyle {\text{i}}=paramfrac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}:\times 100$

공의 COR은 주로 여러 가지에 의해 영향을 받을 수 있다.

• 충격 표면의 특성(예: 잔디, 콘크리트, 철망)^[25][26]
• 공 소재(가죽, 고무, 플라스틱 ^[22]등)
• 공 내부의 압력(공백한 ^[22]경우)
• 충격 시^[27] 볼에서 유도되는 회전량
• 충돌^{[21][22][26][28]} 속도

온도와 같은 외부 조건에 따라 충격 표면 또는 볼의 특성이 변경되어 보다 유연하거나 강해질 수 있습니다.이것은 ^[22]COR에 영향을 줍니다.일반적으로 볼은 더 높은 충격 속도에서 더 많이 변형되고 그에 따라 더 많은 에너지가 손실되어 ^[22][28]COR이 감소합니다.

스핀과 충격 각도

외부 비디오
BiomechanicsMMU (2008). "Golf impacts - Slow motion video". YouTube.

지면에 충돌하면, 일부 변환 운동 에너지는 공의 충격 각도와 각 속도에 따라 회전 운동 에너지로 전환될 수 있습니다.충격 시 볼이 수평으로 움직이면 마찰이 볼의 움직임과 반대 방향으로 '변환' 구성 요소를 갖게 됩니다.그림에서 볼은 오른쪽으로 이동하고 있으며, 따라서 볼을 왼쪽으로 밀어내는 마찰의 변환 성분이 있을 것입니다.또한 볼이 충격 시 회전하는 경우 마찰에는 볼의 회전 방향과 반대 방향으로 '회전'하는 구성 요소가 있습니다.그림에서 볼은 시계방향으로 회전하고 있으며, 지면에 영향을 미치는 지점은 볼의 질량 중심을 기준으로 왼쪽으로 이동하고 있다.따라서 마찰의 회전 구성요소는 볼을 오른쪽으로 밀어냅니다.일반적인 힘이나 중력과 달리, 이러한 마찰력은 볼에 토크를 가하여 각속도(θ)^{[29][30][31][32]}를 변화시킵니다.

다음의 3가지 상황이 발생할 ^[32][33][34]수 있습니다.

1. 공이 백스핀으로 전진할 경우, 회전 마찰은 같은 방향으로 작용합니다.공은 충돌 후 각 속도가 감소하며 수평 속도도 감소하며, 공은 원래 높이를 초과할 수 있습니다.또한 공이 반대 방향으로 회전하기 시작하고 심지어 뒤로 튕겨나갈 수도 있습니다.
2. 만약 공이 톱스핀으로 앞으로 추진된다면, 회전 마찰 작용은 반대 방향으로 작용하게 될 것이다.정확히 무슨 일이 일어나느냐는 두 가지 구성 요소 중 어느 것이 지배적인가에 따라 달라집니다.
   1. 공이 움직이던 것보다 훨씬 더 빠르게 회전하면 회전 마찰이 지배하게 됩니다.공은 충격 후 각속도가 떨어지지만 수평속도는 높아진다.공은 앞으로 추진되지만 원래 높이를 초과하지 않고 계속 같은 방향으로 회전합니다.
   2. 공이 회전하는 속도보다 훨씬 더 빠르게 움직이면 역방향 마찰이 지배하게 됩니다.공은 충격 후 각속도는 증가하지만 수평속도는 감소한다.공은 원래 높이를 초과하지 않고 같은 방향으로 계속 회전합니다.

표면이 어느 정도 기울어지면 도형 전체가 θ만큼 회전하지만 중력은 계속 아래를 향하게 된다(표면과의 각도 θ 형성).중력은 표면과 평행한 구성 요소를 가지며, 마찰에 기여하여 회전에 ^[32]기여합니다.

탁구나 라켓볼과 같은 라켓 스포츠에서, 숙련된 선수들은 공이 지면이나 상대의 라켓과 같이 표면에 충돌할 때 갑자기 회전(사이드핀 포함)을 사용하여 공의 방향을 변경합니다.이와 유사하게 크리켓에서는 공이 피치를 크게 벗어나게 할 수 있는 스핀볼링의 다양한 방법이 있다.

비구면 볼

타원형 공(예: 그리드 아이언 풋볼이나 럭비 풋볼에서 사용되는 공)의 바운스는 일반적으로 구형 공의 바운스보다 훨씬 예측하기 어렵습니다.충돌 시 공의 정렬에 따라, 정상적인 힘은 공의 질량 중심 앞 또는 뒤에 작용할 수 있으며, 지면으로부터의 마찰력은 공의 정렬과 회전, 회전 및 충격 속도에 따라 달라집니다.볼이 지면에서 구를 때 볼의 질량 중심에 대한 힘이 작용하며, 모든 힘이 볼에 정상 힘과 중력을 포함하여 토크를 가할 수 있습니다.이것은 공을 앞으로 튕기거나 뒤로 튕기거나 옆으로 튕기게 할 수 있습니다.일부 회전 운동 에너지를 변환 운동 에너지로 전환하는 것이 가능하기 ^[35]때문에 COR이 1보다 크거나 충돌 시 공의 전진 속도가 증가할 수도 있습니다.

여러 개의 쌓아올린 공

외부 비디오
Physics Girl (2015). "Stacked Ball Drop". YouTube.

일반적인 시연에서는 여러 개의 쌓아 올린 공이 튀는 것을 볼 수 있습니다.테니스공을 농구공 위에 쌓아놓고 두 개를 동시에 떨어뜨리면 테니스공이 스스로 떨어뜨렸을 때보다 훨씬 높게 튀어오르고 심지어 원래 방출 ^[36][37]높이도 초과하게 된다.에너지 ^[38]절약에 위배되는 것으로 보이는 놀라운 결과다.그러나 자세히 살펴보니, 농구공이 테니스공 위에 올려져 있지 않았을 때만큼 높이 튀지 않고 테니스공으로 에너지를 전달하여 더 높은 ^[36]높이로 밀어올렸다.

일반적인 설명은 두 가지 다른 영향을 고려하는 것입니다: 바닥에 부딪히는 농구와 테니스 ^[36][37]공에 부딪히는 농구입니다.완벽한 탄성 충돌을 가정할 때, 1m/s에서 바닥에 충돌하는 농구는 1m/s에서 반동한다.그러면 1m/s로 가는 테니스 공은 상대적인 충격 속도가 2m/s가 된다. 즉, 농구공을 기준으로 2m/s 또는 바닥을 기준으로 3m/s로 반등하고, 스스로 바닥에 부딪히는 것에 비해 반등 속도가 세 배로 빨라진다.이것은 공이 원래 높이의 ^{[note 2]}9배까지 튕겨진다는 것을 의미합니다.실제로는 비탄성 충돌로 인해 테니스 공은 속도와 반등 높이를 더 작게 만들지만 ^[37]스스로보다 더 빨리, 더 높게 튀게 된다.

반면 별도의 충돌의 가정은 사실 유효한(볼들을 서로 긴밀한 관계에 있어 가장 영향 중에 남아 있), 이 모델 그럼에도 불구하고 좋은 agreement,[37]과 종종 supernovae,[36]또는 중력의 신랄한 공격의 핵심 붕괴 같은 보다 복잡한 현상을 이해하는 데 사용됩니다 실험 결과 번식할 것이다.뜨거운 manoeuvres.^[39]

스포츠 규정

몇몇 스포츠 관리 기구는 직접적이고 간접적인 다양한 방법으로 공의 탄력을 조절한다.

• AFL: 축구의 게이지 압력을 62kPa에서 76kPa ^[40]사이로 조절합니다.
• FIBA: 1800mm(볼 ^[41]하단) 높이에서 떨어졌을 때 1200mm에서 1400mm(볼 상단) 사이로 농구공이 튀도록 게이지 압력을 조절합니다.이는 대략 COR 0.727 ~0.^{[note 3]}806에 해당합니다.
• FIFA: 축구공의 게이지 압력을 해수면에서 0.6~1.1atm(61~111kPa)^[42]로 조절합니다.
• FIVB: 실내 배구의 경우 배구의 게이지 압력을 0.30kg_F/cm²~0.325kg_F/cm²(29.4~31.9kPa), 비치발리볼의 ^[43][44]경우 0.175kg_F/cm²~0.225kg_F/cm²(17.2~22.1kPa)로 조절합니다.
• ITF: "높은 질량의 부드럽고 단단한 수평 블록" 위에 떨어뜨렸을 때 테니스 공 바운스의 높이를 조절합니다.다양한 유형의 공은 다양한 유형의 표면에 대해 허용됩니다.100인치(254cm) 높이에서 떨어뜨렸을 때, 바운스는 1종 공은 54–60인치(137–152cm), 2종 공과 3종 공은 53–58인치(135–147cm), 고고도 ^[45]공은 48–53인치(122–135cm)여야 한다.이는 시험 ^{[note 3]}표면에 떨어뜨렸을 때 COR이 0.735–0.775(타입 1 볼), 0.728–0.762(타입 2 & 3 볼), 0.693–0.728(고고도 볼)에 대략 일치한다.
• ITTF: 30cm ^[46]높이에서 탁구공을 떨어뜨렸을 때 약 23cm가 튀도록 운동면을 조절합니다.이는 플레이 ^{[note 3]}서페이스에 대한 COR이 약 0.876인 것과 거의 일치합니다.
• NBA: 농구 게이지 압력을 7.5 ~ 8.5psi(51.7 ~58.6kPa)^[47]로 조절합니다.
• NFL: 미식축구의 게이지 압력을 12.5~13.5psi(86~93kPa)^[48]로 조절합니다.
• R&A/USGA:^[49] 골프채에 대해 0.83을 넘지 않도록 골프공의 COR을 직접 제한합니다.

미식축구에 대한 압박이 디플레이트 ^[50][51]논쟁의 중심에 있었다.일부 스포츠는 공의 바운스 특성을 직접 조절하지 않고 시공 방법을 지정한다.야구에서 코르크 소재의 공의 도입은 데드볼 시대를 끝내고 라이브볼 시대를 여는 ^[52][53]데 도움이 되었다.

「 」를 참조해 주세요.

• 바운시 볼
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메모들

레퍼런스

추가 정보

• Briggs, L. J. (1945). "Methods for measuring the coefficient of restitution and the spin of a ball". Journal of Research of the National Bureau of Standards. 34 (1): 1–23. doi:10.6028/jres.034.001.
• Cross, R. (2011). Physics of Baseball & Softball. Springer. ISBN 978-1-4419-8112-7.
• Cross, R. (June 2014). "Physics of bounce". Sydney University.
• Cross, R. (2015). "Behaviour of a bouncing ball". Physics Education. 50 (3): 335–341. Bibcode:2015PhyEd..50..335C. doi:10.1088/0031-9120/50/3/335.
• Stronge, W. J. (2004). Impact mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-60289-1.
• Erlichson, Herman (1983). "Maximum projectile range with drag and lift, with particular application to golf". American Journal of Physics. 51 (4): 357–362. Bibcode:1983AmJPh..51..357E. doi:10.1119/1.13248. Retrieved 29 April 2013.