티치마르슈 콘볼루션 정리

티치마르슈 콘볼루션 정리는 영국의 수학자인 에드워드 찰스 티치마르슈의 이름을 따서 명명되었다.정리는 두 가지 기능의 콘볼루션 지지의 성질을 기술한다.

티치마르슈 콘볼루션 정리

E. C. Titchmarsh는 1926년에 Titchmarsh 콘볼루션 정리라고 알려진 다음과 같은 정리를 증명했다.

$\phi$( $t$) ${\$ 및$$ $\psi$($t$ $)$ ${\textstyle \psi (t)}$이(가) 다음과 같은 통합 가능한 함수인$$ 경우

${\dt=0}^{0}^}\varphi (t)\varpi (x-t)\,dt=0}$

거의 도처에 그 사이에 0<>)<>κ{0<, x<, \kappa)\displaystyle,}다음과 같이 φ(t))0{\displaystyle \varphi(t)=0\,}거의 everyw{\displaystyle \lambda +\mu \geq \kappa}λ+μ ≥ κ을 만족시키{\displaystyle \mu \geq 0}λ ≥ 0{\displaystyle \lambda 0\geq}과 μ 0≥ 존재한다.여기에< <> ${\displaystyle 0<t$$>$ 및 $\psi {\displaystyle }$($t$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 0}$ < ${\$)=0$\,}$ 거의$$ 모든0 < < .{\$displaystystyle 0<t>.$

코럴리지는 다음과 같다.

위의 통합이 모든 > ${\textstyle$ x$>0,}$에 대해 0이면,$$$\phi$ ${\$ 또는$$ $\psi$ ${\textstyle \psi$}이($\mathrm{가}$) 간격 [$$0$\mathrm{,}$ + $)$ )에서 거의 모든 0에 해당된다$.$ ${\textstyle [0,+\ftextstypypypypypyp.$$}$

따라서$$[$0$,$$+ $\mathrm{\infty }$) ${\textstyle [0,+\inflt )}$에 대한 두 기능의 콘볼루션은 두 기능 중 적어도 하나가 동일한 0이 아닌 한 동일한 0이 될 수 없다$$.

정리는 다음과 같은 형태로 재작성할 수 있다.

$\phi {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \psi {1\mathrm{}}^{}}$L ${\displaystyle 1\mathbb{}}$ ( R${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \varphi$,\$psi \in L^{$1}(\$mathb {R} )}$을(를) 놓으십시오$.$그런 다음 우측이 유한할 경우$$ ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$ $+$+ + ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$ { { ${$\$displaysty$ \$operatorname$ {$suppy} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {suppism}$

마찬가지로$$ ${\displaystyle supp}$ ${\displaystyle \mathrm{suppusp}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast \psi }$ = ${\displaystyle supp}$ ${\displaystyle \mathrm{suppupp}}$ + supp $supple \superatorname {supple} \varphi \ast psi =\superoperatorname {suppled} \varphi +\superoperatorname {psi \$psi$}.$

이 정리는 기본적으로 잘 알려진 포함이

${\displaystyle \propertiesname {supply} \varphi \ast \varphi \propertiesname {supply} \varphi +\propertname {supply} \pro$

경계선이 날카롭다.

지지대의 볼록한 선체에 대한 고차원적인 일반화는 1951년 J.L. 라이온즈에 의해 증명되었다.

If ${\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, then ${\displaystyle \operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {c.h.} \opera$$토르네임 {supply} \cHB .}$

위에서 $c{\displaystyle \mathrm{}.}$ ${\displaystyle \mathrm{h}.}$ ${\$는) 세트의 볼록한 선체를 가리킨다$$.${\displaystyle {\mathcal{E}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {E}'(\mathb {R} ^{n})$은 콤팩트한 지지로 분포의 공간을 나타낸다$$.

그 정리는 기본적인 증거가 부족하다.^[1]티치마르슈의 원본 증거는 프라그메네-린델뢰프 원리와 젠센의 불평등, 칼레만 정리, 발레론 정리 등에 바탕을 두고 있다.더 많은 증거가 다음 항목에 포함되어 있다.

• "테오렘 4.3.3"Hörmander, L. (1990). The Analysis of Linear Partial Differential Operators, I. Springer Study Edition (2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag.

(구체 분석 스타일)

• "6장"

(실제 분석 스타일)

• '16번지'는

(이중 분석 스타일).

참고 문헌 목록

• Titchmarsh, E.C. (1926). "The zeros of certain integral functions". Proceedings of the London Mathematical Society. 25: 283–302. doi:10.1112/plms/s2-25.1.283.

• Lions, J.-L. (1951). "Supports de produits de composition". Les Comptes rendus de l'Académie des sciences (I and II). 232: 1530–1532, 1622–1624. {{cite journal}}: format=필요로 하다 url=(도움말)

• Mikusiński, J. and Świerczkowski, S. (1960). "Titchmarsh's theorem on convolution and the theory of Dufresnoy". Prace Matematyczne. 4: 59–76.{{cite journal}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)

참조