비선형 음향학

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비선형 음향학(NLA)은 충분히 큰 진폭의 음파를 다루는 물리학과 음향학의 한 분야다.대형 진폭은 유체 역학(액체와 기체의 음파)과 탄성(고형물의 음파)의 완전한 지배 방정식을 사용해야 한다.이러한 방정식은 일반적으로 비선형적이며, 전통적인 선형화는 더 이상 불가능하다.이러한 방정식의 해법은 비선형성의 영향으로 음파가 이동하면서 왜곡되고 있음을 보여준다.

소개

음파는 국부적인 압력 변화로서 물질을 통해 전파된다.가스나 유체의 압력을 증가시키면 국소 온도가 상승한다.압축성 물질에서 음의 국소 속도는 온도에 따라 증가하며, 그 결과 파동은 저압 위상보다 진동 고압 위상에서 더 빨리 이동한다.이것은 파동의 주파수 구조에 영향을 미친다. 예를 들어, 초기에는 단일 주파수의 평범한 사인파에서 파동의 피크는 수조보다 더 빨리 이동하며, 맥박은 톱니파처럼 누적적으로 더 커진다.파도가 스스로를 왜곡하는 셈이다.그렇게 함으로써 다른 주파수 성분이 도입되는데, 푸리에 시리즈로 설명할 수 있다.이 현상은 선형 음향 시스템이 구동 주파수에만 반응하기 때문에 비선형 시스템의 특징이다.이는 항상 발생하지만 기하학적 확산과 흡수 효과는 대개 자기 변태를 극복하기 때문에 선형 행동이 우세하고 비선형 음향 전파는 매우 큰 진폭에 대해서만 발생하며 발생원 근처에서만 발생한다.

또한 진폭이 서로 다른 파동은 다른 압력 구배를 생성하여 비선형 효과에 기여한다.

물리분석

압력 변화는 매질 내에서 파동에너지가 더 높은 고조파로 전달되게 한다.감쇠는 일반적으로 주파수에 따라 증가하기 때문에 거리에 따른 비선형 효과의 특성을 변화시키는 효과가 있다.비선형성 수준을 설명하기 위해 $재료$에 ${\displaystyle 비선형성}$ $매개변수{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$/ A ${\displaystyle B/A}$을(를) 부여할 수 있다$.$ A ${\displaystyle A}$ $및$ B$${\$displaystyle B}$ 값은 재료의 밀도에 대한 압력과 관련된 방정식의 Taylor 시리즈 확장의 첫 번째 및 두 번째 순서 항의 계수다$$.Ity. Taylor 시리즈는 항이 더 많고, 따라서 계수(C, D, ...)가 더 많지만 거의 사용되지 않는다.생물학적 매체의 비선형성 매개변수에 대한 일반적인 값은 다음 표에 제시되어 있다.^[1]

재료	$B/A}$
피	6.1
브레인	6.6
뚱뚱하다	10
간	6.8
근육	7.4
물	5.2
단원자 가스	0.67

액체에서 일반적으로 수정된 계수는 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ B ${\displaystyle \frac{2}{}}$ A$${\$displaystyle \beta$= 1$+{\frac {B}{2$}로 알려져 있다.$A$

수학적 모형

웨스터벨트 방정식을 도출하는 지배 방정식

연속성:

${\displaystyle {\frac {\reship \rho}{\reshold t}+\cdla \cdot(\rho {\textbf {u})=0}$

운동량 보존:

${\displaystyle \rho\frac {\databf{u}}{\databf{u}}}{\textbf {u}}\cdot \cdla {\\textbf {u}}\cdla p=(\cdata +2\textbf {u}}}}})$

밀도에 대한 테일러 섭동 확장의 경우:

${\displaystyle \rho =\sum _{0}^{\infit }\barepsilon ^{i}\rho _{i}}}$

여기서 ε은 작은 매개변수, 즉 섭동 매개변수로서 상태 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\좌측(1+\varepsilon {\frac {B}{2!A}{\frac {\rho _{1}:{0}+O(\varepsilon ^{2}\오른쪽)}$

테일러 팽창 압력에서 두 번째 항이 떨어지면 점성파 방정식을 도출할 수 있다.이를 유지하면 웨스터블록 방정식에 압력의 비선형 항이 나타난다.

웨스터블록 방정식

2차까지 비선형성을 설명하는 일반파 방정식은 웨스터블루드 방정식에^[2] 의해 주어진다.

${\displaystyle \,\fla ^{2}p-{1}{1}{c_{0}^{2}}:{\frac {\c_{2}p}{\frac t^{2}}+{\frac {}{c_{0}}^{4}}}}}}{\frac {\fract ^{3}{3}p}{\frac t^{3}}}=-{\frac {\fract }{\rho _{0}^{4}}}}{\frac{\p^{2}p^{2}}:{\p^t^{2}}:$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은 음압, c ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 작은 신호음속, $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \}은 음 확산성, $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\rho _{0}$은 비선형성 계수, $ambient{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$은$$주변 $밀도$이다.

음의 분산성은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)}$

여기서 $\displaystyle \mu$}은(는$)$ 전단 점도, ${\displaystyle {\mu B}_{}}$ ${\$ 대량$$ $점도{\displaystyle }$, k ${\displaystyle$k} 열전도$$, ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle v_{}}${\$displaystyle c_{v$$},$ p ${\$ 각각 일정한 부피에서 특정$$ 열을 나타낸다$$.

버거 방정식

웨스터벨트 방정식은 엄격히 전방 전파 파동을 가정하고 지연된 시간 프레임으로 좌표 변환을 사용하는 1차원 형태를 취하도록 단순화할 수 있다.^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}}$

여기서 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$- ${\displaystyle z}$/ ${\displaystyle c{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 지연 시간이다.이는 점성 버거 방정식에 해당한다.

${\displaystyle {\frac {\fract y}{\fract t'}}+y{\fract y}{\fract y}{\fract y}}}=d{\fract ^{2}y}{\fract x^{2}}:$

압력장(y=p)에서 수학적 "시간 변수":

${\displaystyle t'={\frac {z}{c_{0}}}}$

"공간 변수"를 사용할 경우:

${\displaystyle x=-{\frac {\rho_{0}c_{0}^{2}}:{\message }}}$

음의 확산 계수:

${\displaystyle d}$= -${\displaystyle \rho \frac{{}_{}}{}}$ 0 ${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{}}$ 0 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle d=-{\frac {\rho_{0}c_{0}}}{2}\i1}\i1$

버거의 방정식은 비선형성과 손실이 진보파의 전파에 미치는 복합적인 영향을 설명하는 가장 간단한 방정식이다.

KZK 방정식

방향 음향 빔의 비선형성, 회절성, 흡수성의 결합 효과를 설명하는 버거 방정식의 증가는 렘 호클로프, 에브게니아 자볼로츠카야, V. P. 쿠즈네초프의 이름을 딴 Khokhlov-Zabolotskaya-KZK(Kuznetsov) 방정식으로 설명된다.^[4]이 방정식의 해법은 일반적으로 비선형 음향 모델링에 사용된다.

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$축이$$ 사운드 빔 경로의 방향에 있고${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$ 평면이$$ 그것과 수직이면 KZK 방정식을^[5] 쓸 수 있다.

${\displaystyle \,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}}$

이 방정식은 유한 차이 체계를 사용하여 특정 시스템에 대해 해결할 수 있다.그러한 해결책은 음향 빔이 비선형 매체를 통과할 때 어떻게 왜곡되는지 보여준다.

공통발생

소닉붐

대기의 비선형적인 행동은 소닉붐에서 파형의 변화를 이끈다.일반적으로 이것은 고암도 피크가 파도로 이동함에 따라 붐을 더욱 '샤프'하거나 갑자기 만든다.

음향 공중부양

비선형 음향 현상 없이는 음향 부양이 불가능할 것이다.^[6]비선형 효과는 특히 고출력 음향파가 관여하기 때문에 뚜렷하게 나타난다.

초음파

상대적으로 진폭 대 파장 비율이 높기 때문에 초음파는 일반적으로 비선형 전파 동작을 나타낸다.예를 들어 비선형 음향은 더 나은 영상 화질을 생성하기 위해 활용할 수 있기 때문에 의료용 초음파에서 관심 있는 분야다.

음악 음향학

음악적 음향의 물리적 동작은 주로 비선형적이다.물리적 모델링 합성을 통해 음 발생을 모델링하여 비선형성 측정에서 음을 모방하려고 시도한다.^[7]

파라메트릭 배열

파라메트릭 배열은 고주파 음파의 혼합과 상호작용을 통해 저주파 사운드의 좁고 근접한 측엽 없는 빔을 생성하는 비선형 전달 메커니즘이다.적용은 예를 들어 수중 음향과 오디오에 있다.

참고 항목

• 공동화

참조