파데 근사

수학에서 파데 근사(Padé approximant)는 주어진 순서의 유리 함수에 의한 특정 점 근처의 함수의 "최상의" 근사입니다. 이 기법에서 근사치의 멱급수는 근사치 함수의 멱급수와 일치합니다. 이 기법은 1890년경 Henri Padé에 의해 개발되었지만, 아이디어를 소개하고 멱급수의 합리적 근사의 특징을 조사한 Georg Frobenius로 거슬러 올라갑니다.

파데 근사는 종종 테일러 급수를 절단하는 것보다 함수의 근사치를 더 잘 제공하며, 테일러 급수가 수렴하지 않는 곳에서도 여전히 작동할 수 있습니다. 이러한 이유로 파데 근사는 컴퓨터 계산에 광범위하게 사용됩니다. 또한 디오판토스 근사와 초월수 이론에서 보조 함수로 사용되었지만, 어떤 의미에서는 파데 이론에서 영감을 받은 임시 방법이 일반적으로 이를 대체합니다. 파데 근사치는 유리 함수이므로 근사치로서 인공 특이점이 발생할 수 있지만, 이는 보렐-파데 분석을 통해 피할 수 있습니다.

파데 근사치가 잘리는 테일러 급수보다 더 나은 근사치인 경향이 있는 이유는 다점 합산법의 관점에서 분명합니다. 무한대에서 점근적 팽창이 0이 되거나 상수가 되는 경우가 많기 때문에 일반적인 파데 근사가 테일러 급수를 절단하는 방법을 개선하는 "불완전한 2점 파데 근사"로 해석할 수 있습니다.

정의.

함수 f와 두 정수 m ≥ 0과 n ≥ 1이 주어졌을 때 [m/n]의 파데 근사치는 유리 함수입니다.

${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$

가능한 한 높은 차수까지 f(x)와 일치하며, 이는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{align}}}$

마찬가지로, $R{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle$ R$(x)}$이(0의 테일러 급수) Maclaurin 급수에서 확장된 경우, 첫 $번째{\displaystyle }$ m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ $항$은 f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle$ f$(x)}$의 첫 번째 $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ 항과$$ 같으며$,$ 따라서

${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\dots }$

존재할 때, 파데 근사치는 주어진 m과 n에 대한 공식적인 멱급수로서 유일합니다.^[1]

위에서 정의한 파데 근사치도 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$

연산

주어진 x에 대하여, 파데 근사치는 윈의 엡실론 알고리즘과^[2] 부분합으로부터의 다른 시퀀스 변환에^[3] 의해 계산될 수 있습니다.

${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$

테일러 시리즈의, 즉, 우리가 가지고 있는

${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$

f 는 또한 공식적인 멱급수가 될 수 있으므로, 파데 근사치는 발산급수의 합에도 적용될 수 있습니다.

파데 근사치를 계산하는 한 가지 방법은 다항식 최대 공약수에 대한 확장 유클리드 알고리즘을 통한 것입니다.^[4] 인관관계

${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\text{ mod }}x^{m+n+1}}$

는 다음과 같은$$ $어떤{\displaystyle }$인자 K${\displaystyle }$($)$ {\$displaystyle K($x)}의 존재와 같습니다.

${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$

이는 다항식 ${\displaystyle {\mathrm{Tm}}_{}}$+ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle T_{m+n}(x)}$ 및 ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$+ n${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 확장된 최대 공약수 계산에서 한 단계의 베조우트 항등식으로 해석할 수 있습니다$.$

두 다항식 p와 q의 최대 공약수를 계산하기 위해, 한 사람은 긴 나눗셈을 통해 나머지 수열을 계산합니다.

${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$

k = $1,$ 2, 3, ... deg ⁡ r k + 1 < deg ⁡ r k {\displaystyle \deg r_{k+1}<\display r_{k}\,}, r k + 1 = 0 {\display r_{k+1}= 0}까지. 확장된 최대 공약수의 Bézout 항등식에 대해 두 다항식 수열을 동시에 계산합니다.

${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$

각 단계에서 Bézout 항등식을 얻기 위해

${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$

[m/n] 근사치의 경우, 다음에 대한 확장 유클리드 알고리즘을 수행합니다.

${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$

${\displaystyle {vk}_{}}$ ${\$의 도수가 n 이하인 마지막 순간에 중지합니다.

그런 다음 $다항식$ P = ${\displaystyle k_{},}$ ${\displaystyle Q_{}}$ = ${\displaystyle v_{}}$ k {\$displaystyle$ P = $r_{k$},\;Q = $v_{k}}$는 [m/n] 파데 근사치를 제공합니다. 만약 확장된 최대 공약수 계산의 모든 단계를 계산한다면, 파데 테이블의 반각형을 얻을 수 있을 것입니다.

리만-파데제타 함수

발산 급수의 재개를 연구하려면, 예를 들어

${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty}f(z),}$

Padé 또는 단순히 유리 제타 함수를 다음과 같이 도입하는 것이 유용할 수 있습니다.

${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$

어디에

${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)\,}$

는 함수 f(x)의 차수(m, n)의 파데 근사치입니다. s = 0에서 제타 정규화 값은 발산 급수의 합으로 간주됩니다.

이 파데제타 함수의 함수식은

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}$

여기서_j a와 b는_j 파데 근사식의 계수입니다. 첨자 '0'은 파데가 [0/0] 순서임을 의미하므로 리만 제타 함수가 있습니다.

DLog Padé 방법

파데 근사치는 함수의 임계점과 지수를 추출하는 데 사용할 수 있습니다.^[5][6] 열역학에서 함수 f(x)가 f$($x ) ~ x - r p {\display style f(x)\sim x-r ^{p}}와 같은 점 x = r 근처에서 analytic이 아닌 방식으로 행동하는 경우, x = r을 임계점이라고 하고 p를 f 의 관련 임계 지수라고 합니다. f 의 급수 전개에 대한 충분한 항이 알려져 있는 경우, 파데 근사치$$[${\displaystyle n}$/ ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$의 극과 잔기 각각에서 임계점과 임계 지수를 근사적으로 추출할 수 있습니다$.$ ${\displaystyle {}^{}}$서 $g$ = f${\displaystyle {\text{'}}^{}}$/ f {\display g = f'/f}.

일반화

Padé 근사치는 한 변수에서 함수의 근사치입니다. 두 변수의 근사치를 Chisholm 근사치(J. S. R. Chisholm 다음)라고 하고,^[7] 여러 변수에서 캔터베리 근사치(Kent 대학의 그레이브스-모리스 다음)라고 합니다.^[8]

2점 파데 근사

기존의 파데 근사는 주어진 순서까지 Maclaurin 팽창을 재현하는 것으로 결정됩니다. 따라서 확장점과 떨어진 값에서의 근사치가 좋지 않을 수 있습니다. 이는 다점 합산법의 일종인 2점 파데 근사법에 의해 방지됩니다.^[9] $x$ = ${\$displaystyle x = 0}에서 점근 거동 f 0(x ) {\displaystyle f_{0}(x)}로 표현되는 함수 f (x ) {\displaystyle f(x)}인 $경우$를 생각해 보십시오.

${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big(}f_{0}(x){\big)},\quad x\to 0,}$

$그리고$ x → ∞ {\$displaystyle$ x\to \infty}에서 추가 점근 행동 f ∞ (x ) {\displaystyle f_{\infty}(x)}:

${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty}(x)+o{\big(}f_{\infty}(x){\big)},\quad x\를 \infty로 이동합니다.}$

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}x),}$ ${\displaystyle f}$∞(x) {\$displaystyle$f_{$0}(x$), f_${\infty$x)}의 주요 거동을 선택하면 파데 근사를 개발하여 점근적 거동을 동시에 재현하는${\displaystyle \mathrm{근사}}$ 함수$$F(x) ${\displaystyle$ F(x)}를 다양한 경우에서 찾을 수 있습니다. 따라서 일반적인 파데 근사에서 근사의 정확도가 가장 낮을 수 있는 $x$ → ∞ {\$displaystyle$x\$to$\infty} 지점에서 2점 파데 근사의 정확도가 양호하게 보장됩니다. 따라서 2점 파데 $근사치$는 x =${\displaystyle 0}$ ~$$∞ {\displaystyle x = 0\sim \infty}에 대해 전역적으로 좋은 근사치를 제공하는 방법이 될 수 있습니다.

$f$ ${\displaystyle 0_{}}$(${\displaystyle x),}$ ${\displaystyle f}$∞ (x ) {\$displaystyle f_${0$}(x$), f_${\infty$}(x)}가 다항식 또는 일련의 음수, 지수 함수, 로그 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$또는 x$ln$ ⁡ x $displaystyle$ x\ln x}로 표현되는 경우, 우리는 f (x$)$ f(x)}에$$근사적으로 2점 파데를 적용할 수 있습니다. 이를 이용하여 정확도 높은 미분방정식의 근사해를 주는 방법이 있습니다.^[9] 또한 리만 제타 함수의 사소한 0의 경우, 첫 번째 사소한 0은 실제 축의 점근 행동으로부터 어느 정도 정확하게 추정될 수 있습니다.^[9]

다점 파데 근사

2점 파데 근사치의 또 다른 확장은 다점 파데 근사치입니다.^[9] 이 방법은 근사화할 함수 f(x) {\displaystyle f(x)}의 특이점 $x$ = x ${\displaystyle j_{}}$($j$ = 1, 2, 3, …, N${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ x = $x_${j} (j = 1, 2, 3,\ dots, N)}를 처리합니다. 함수의 특이점이 $인덱스{\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle j_{}}$ ${\$로 표현되는 경우를$$ 생각해 보십시오.

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$

$이$ $방법$은 ${\displaystyle \mathrm{x}}$→ ${\displaystyle 0}$, $x$= ∞ {\$displaystyle$ x=0$,x$to \infty}의 정보를 포함하는 2점 Padé 근사치를 제외하고$$x ~ x j ${\displaystyle x\$sim$$x_{j}에서${\displaystyle }발산$되는 속성을 줄이는 근사치입니다. 결과적으로 함수의 특이성 정보가 캡처되므로, 함수 $f{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$의 근사를 보다 정확하게 수행할$$ 수 있습니다.

예

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죄를 짓다^[10]

${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {(12671/4363920)x^{5}-(2363/18183)x^{3}+x}{1+(445/12122)x^{2}+(601/872784)x^{4}+(121/16662240)x^{6}}}}$

exp(x)^[11]

${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+(1/2)x+(1/9)x^{2}+(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}+(1/30240)x^{5}}{1-(1/2)x+(1/9)x^{2}-(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}-(1/30240)x^{5}}}}$

로그(1+x)^[11]

${\displaystyle \log(x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$

야코비 sn(z 3)^[12]

${\displaystyle \mathrm {sn} (z 3)\approx {\frac {-(9851629/283609260)z^{5}-(572744/4726821)z^{3}+z}{1+(859490/1575607)z^{2}-(5922035/56721852)z^{4}+(62531591/2977897230)z^{6}}}}$

베셀 J(5,x)

${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-(107/28416000)x^{7}+(1/3840)x^{5}}{1+(151/5550)x^{2}+(1453/3729600)x^{4}+(1339/358041600)x^{6}+(2767/120301977600)x^{8}}}}$

erf(x)

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {(2/15)\cdot (49140x+3570x^{3}+739x^{5})}{{\sqrt {\pi }}\cdot (165x^{4}+1330x^{2}+3276)}}}$

프레넬 C(x)

${\displaystyle C(x)\approx {\frac {(1/135)\cdot (990791x^{9}\pi ^{4}-147189744x^{5}\pi ^{2}+8714684160x)}{(1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216)}}}$

참고 항목

• 파데테이블
• 바스카라 1의 사인 근사식

참고문헌

문학.

• 베이커, G.A., 주니어 그리고 그레이브스-모리스, P. 파데 어프로치언츠. 캠브리지 U.P., 1996
• Baker, G. A., Jr. Padé 어프로치언트, Scholarpedia, 7(6):9756
• 브레진스키, C., Redivo Zaglia, M. 외삽법. 이론과 실무. 노스홀랜드, 1991. ISBN 978-0444888143
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), "Section 5.12 Padé Approximants", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8.
• 프로베니우스(Frobenius, G., Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen), [Für die reine und angwandte Matheik (Crele's Journal)]. 1881권, 90호, 1~17쪽.
• 그래그, W.B.; 수치해석의 특정 알고리즘에 대한 페이드 테이블과 그 관계 [SIAM 리뷰], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
• Padé, H.; Surlar representation 접근법 d'une fonction par des fractions rationalelles, 논문, [Ann. 에콜 노르 (3), 1892, 9, pp. 1–93 보충.
• Wynn, P. (1966), "Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table", Numerische Mathematik, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562, S2CID 123789548.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Padé Approximant". MathWorld.
• 파데 어프로치언츠, 올렉산드르 파블릭, 울프람 데모 프로젝트.
• 자료 분석 요약집: 파데 근사, 루돌프 K. 유럽 입자 물리학 연구소, CERN.
• Sinewave, Scott Dattalo가 2010-11-11에 마지막으로 접속했습니다.
• 시간 지연이 있는 모델의 파데 근사를 위한 MATLAB 함수.