문자표

추상대수의 한 분과인 집단 이론에서 문자표는 행이 불가역적 표현에 해당하고, 열은 집단 원소의 결합성 등급에 해당하는 2차원 표이다.항목은 주어진 행의 그룹 표현에서 열 클래스의 그룹 요소를 나타내는 행렬의 추적인 문자로 구성된다.화학, 결정학, 분광학에서 점군들의 문자표는 예를 들어 분자 진동을 대칭에 따라 분류하고, 대칭적인 이유로 두 상태 사이의 전이가 금지되는지를 예측하는 데 사용된다.물리화학, 양자화학, 분광학, 무기화학에 관한 많은 대학 수준의 교과서는 대칭군 문자표의 사용에 한 장을 바친다.^{[1][2][3][4][5][6]}

정의 및 예제

유한집단의 불가해한 복합문자는 그룹 G에 대한 많은 유용한 정보를 콤팩트한 형태로 인코딩하는 문자표를 형성한다.각 행은 수정할 수 없는 문자로 라벨을 표시하며, 행의 항목은 G의 각 결합 클래스를 대표하는 문자의 값이다(문자는 클래스 함수이기 때문이다).그 기둥들은 G의 결합 등급에 의해 라벨로 표시된다.$첫{\displaystyle }$ 번째 행은 representation${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\\in G}$에 대해$$ $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \rho (g)=1}$에 의한 1차원 벡터 공간에 대한 G의 사소한 작용으로 라벨을 붙이는 것이 관례다$.$ 따라서 첫 번째 행의 각 항목은 1이다.마찬가지로, 첫 번째 칸에 정체성을 붙이는 것이 관례다.첫 번째 열의 항목은 식별에서 해독할 수 없는 문자의 값, 해독할 수 없는 문자의 수준이다.도 1의 문자는 선형 문자로 알려져 있다.

여기 세 개의 원소와 발전기 u를 가진 순환 그룹인 C₃ = <u>의 문자표가 있다.

	(1)	(u)	(u2)
1	1	1	1
χ1	1	ω	ω2
χ2	1	ω2	ω

여기서 Ω은 단결의 원초적인 제3의 근원이 된다.일반 순환 그룹에 대한 문자표는 DFT 행렬의 스칼라 배수다.

또 다른 예로는 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$의 문자표가 있다$.$

	(1)	(12)	(123)
χtriv	1	1	1
χsgn	1	−1	1
χstand	2	0	−1

여기서 (12)는 (12), (13), (23), (123)로 구성된 결합 등급을 나타내며, (123)는 (123)로 구성된 결합 등급을 나타낸다.대칭 그룹의 문자 테이블에 대한 자세한 내용은 [2]를 참조하십시오.

문자표의 첫 번째 행은 항상 1s로 구성되며, 사소한 표현(항목 1을 포함하는 1×1 행렬로 구성된 1차원 표현)에 해당한다.또한 (1) 수정 불가능한 문자는 쌍방향 직교로 되어 있고, (2) 모든 문자에 직교하는 다른 비종교 클래스 함수는 없기 때문에 문자표는 항상 정사각형이다.(클래스 함수는 결합 클래스에서 일정한 함수를 의미한다.)이것은 유한집단 G의 불가해한 표현이 그것의 결합계급과 편향되어 있다는 중요한 사실과 연관되어 있다.이러한 편향은 또한 클래스 합계가 G의 그룹 대수 중심에서 기초를 형성한다는 것을 보여주며, G의 수정 불가능한 표현 수와 동일한 차원을 갖는다.

직교 관계

유한군 G의 복합 값 클래스 함수의 공간에는 자연적인 내적 산출물이 있다.

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\angle :={\frac {1}{\frac {1}{\frac {1}{\in G}\alpha(g){\overline {\beta(g)}}}$

여기서 $){\$은 g ${\displaystyle g}$에 있는 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }}}$의 값의 복잡한 결합을$$ 의미한다$.$ 이 내부 제품에 대해 무지문자는 클래스 기능의 공간에 대해 직교 관계를 형성한다.문자 테이블의 행:

${\displaystyle \left\langle \chi _{i}\chi _{j}\right\angle ={\case}0&{\mbox{{}i\neq j,\1&{\mbox{{{}i=j인 경우.\end{case}}}$

$g{\displaystyle }$, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g,h\in G}$의 경우 열에 대한 직교성 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}\i}(g){\cHI _{i}}}}}={\begin{case}}\왼쪽 C_{G}(g)\right,&{\mbox{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{mbox}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{case}}$

여기서 합계가 G의 모든 수정 불가능한 문자 ${\displaystyle {characters}_{}}$ i ${\$에 걸쳐 있고 ${\displaystyle 기호{}_{}}$ C ${\displaystyle G_{}g}$ ${\displaystyle )}$ $displaystyle \왼쪽 C_{G}(g)\오른쪽}$은 $g{\displaystyle }$ ${\displaysty g}$의 중앙집중기 순서를 나타낸다$.$

임의 문자 ${\displaystyle {\chi }_{}}$ i ${\$의 경우,$$$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \langle \chi _{i}\i}\rigle =1}$인 경우에만 변경할 수 없다$.$

직교관계는 다음을 포함한 많은 계산을 도울 수 있다.

• 알 수 없는 문자를 선형 조합으로 분해하는 것, 즉, V에서 수정 불가능한 표현 V의_i 복사본 # = $⟨{\displaystyle }$ χ ${\displaystyle \chi ,}$ $i${$$\ \ { \$langle \chi ,\i _{i$}\$rigle$
• 복구할 수 없는 일부 문자만 알려진 경우 전체 문자 표 구성.
• 그룹의 결합계급 대표자 중심자의 순서 찾기.
• Finding the order of the group, ${\displaystyle \left G\right =\left Cl(g)\right *\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}}$, for any g in G.

불가해한 표현 V가 비독점적인 경우, $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ g $χ$( g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum \{g}\chi (g)=0}$.

구체적으로는 스스로 작용하는 유한집단 G에서 얻은 순열인 정규표현을 고려한다.이 표현 문자는 $\chi {\displaystyle (e}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$ ${\$이고, ${\displaystyle ((g}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$$\chi(g)=0}($이 $)$이다.그리고 나서, 되돌릴 수 없는 표현 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$

${\displaystyle \left\langle \chi _{\text{reg}},\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left G\right }}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)}}={\frac {1}{\left G\r$$iight }}\chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}(1)=\operatorname {dim} V_{i$

그런 다음 정규 표현들을 G의 취소할 수 없는 표현들의 합으로 $분해$하면 V ${\displaystyle {\text{reg}}_{}}$= ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ 딤 ${\displaystyle {\dim }_{}^{}}$ V ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\$i}^{\$operatorname {dim}V_{i$ 여기서 결론을 얻는다.

${\displaystyle \왼쪽 G\오른쪽 =\operatorname {dim}V_{reg}=\sum(\operatorname {dim}V_{i}^{2}}$

모든 수정 불가능한 표현 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 걸쳐$.$이 합계는 문자표에서 수정할 수 없는 표현의 크기를 좁히는 데 도움이 될 수 있다.For example, if the group has order 10 and 4 conjugacy classes (for instance, the dihedral group of order 10) then the only way to express the order of the group as a sum of four squares is ${\displaystyle 10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}}$, so we know the dimensions of all the irreducible representations.

특성.

복합적 결합은 문자표에 작용한다: 표현상의 복합적 결합은 다시 표현이기 때문에, 등장인물의 경우에도 동일하며, 따라서 비종교적 복합적 가치를 떠맡는 캐릭터는 결합적 성격을 갖는다.

그룹 G의 특정 속성을 문자표에서 추론할 수 있다.

• G의 순서는 첫 번째 열의 항목(수정할 수 없는 문자의 정도)의 제곱합에 의해 주어진다.(유한 그룹의 표현 이론#슈어의 보조정리 적용 참조)보다 일반적으로, 어떤 열에 있는 항목의 절대값의 제곱합은 해당 결합 등급의 요소의 중심자 순서를 제공한다.
• G의 모든 정상 부분군(따라서 G가 단순한지 여부)은 문자표에서 인식할 수 있다.문자 χ의 낟알은 G에 있는 원소 g의 집합으로, g(g) = ((1)은 G의 정상 부분군이다. G의 각 정상 부분군은 G의 일부 낟알의 교차점이다.
• G의 수정 불가능한 표현 수는 G가 가진 결합 등급의 수와 같다.
• G의 정류자 부분군은 G의 선형 문자의 커널의 교차점이다.
• G가 유한하면 문자표는 정사각형이고 결합 등급만큼 행이 많으므로, 각 결합 등급이 단일톤이면 G가 아벨리안이고, 각 결합 등급이 G${\displaystyle }$× G $displaystyle$G$\times$G$}$인 경우 각 결합 등급이 ${\displaystyle G}$가 ${\displaystyle 선형}$이면 G가 아벨리안이라는 것을 따른다.
• 모듈형 표현 이론의 리차드 브라워의 일부 결과를 이용하여 유한집단의 각 결합계급의 원소 순서에 대한 주요한 구분자를 문자표(그레이엄 히그먼의 관찰)에서 추론할 수 있다는 것을 그 뒤에 따른다.

문자표는 일반적으로 이형성까지의 집단을 결정하지 않는다. 예를 들어, 쿼터니온 그룹 Q와 8개 요소(D₄)의 이형성 집단은 동일한 문자표를 가지고 있다.브라워는 캐릭터 테이블이 그것의 결합 계급의 요소들의 힘이 어떻게 분배되는가에 대한 지식과 함께, 이소모르피즘에 이르는 유한 집단을 결정하느냐고 물었다.1964년 E. C. 데이드에 의해 부정적으로 답변되었다.

G의 선형 표현 자체는 1차원 벡터 공간의 텐서 생성물이 다시 1차원이기 때문에 텐서 생성물 아래의 집단이다.즉, $if{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$G\to V_{1$} 및$$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$G\to V_{2}}$ are linear representations, then ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$ defines a new linear representation.이렇게 되면 연산 하의 문자 그룹이라 불리는 선형 문자 그룹$[χ1$ ] ] ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle g}$)이 생긴다$.$$[\chi _ 1 \ chi _$ ${\displaystyle {}_{}}$ ] ] ] ] ] ] ] $2$2 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ]이 그룹은 디리클레 문자 및 푸리에 분석과 연결되어 있다.

외부자동화

외부 자동모형 집단은 문자표에서 열(공칭계급)과 그에 따른 행을 허용함으로써 작용하며, 이는 표에 또 다른 대칭을 부여한다.예를 들어, 아벨리아 집단은 외부 자동형성 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$를 가지고 있는데$,$ 이는 초등 아벨리아 2그룹을 제외하고 비교가 되지 않으며, 외부는 정확히 결합(내부 자동화)이 사소한 작용을 하는 집단이기 때문이다.In the example of ${\displaystyle C_{3}}$ above, this map sends ${\displaystyle u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,}$ and accordingly switches ${\displaystyle \chi _{1}}$ and ${\displaystyle \chi _{2}}$ (switching their values of ${\displaystyle \omega }$ and ${\displaystyle {\omega }^2}$${\displaystyle \omega ^{2}}.$이 특별한 자동형성(아벨 그룹에서는 음성)은 복잡한 결합에 동의한다는 점에 유의한다.

Formally, if ${\displaystyle \phi \colon G\to G}$ is an automorphism of G and ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} }$ is a representation, then ${\displaystyle \rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))}$ is a representation.$\varphi {\displaystyle }$= ${\$가 내부 자동형(일부 요소 a에 의한 구성)이라면$$, 표현은 계급 함수(구성은 그 가치를 바꾸지 않는다)이기 때문에 표현에 사소한 작용을 한다.따라서 주어진 등급의 외부 자동화는 등장인물에 작용한다 - 내적 자동화는 사소한 행동을 하기 때문에, 자동형성 그룹인 오트의 작용은 지수 Out으로 내려간다.

이 관계 두가지:외부 자기 동형이 주어지는 것, 다와 반대로, 가능한 외부 automorphisms은 지표 표에 따라 제한할 수 있는 새로운 표현(만약 그 표현 conjugacy 수업에 같지 않은 경우 외부 자기 동형에 의해 상호 교환할 수 있)을 생산할 수 있는 사용될 수 있다.

문자표를 사용하여 물 분자의 진동 모드 찾기

물 분자의 진동 모드, 기약 표현의 총 수를 확인하려면 Γ 나이었고 넌 결코 모르네 reduc나는 b 나는 e{\displaystyle \Gamma_{기약}}에 계산하는 지표 표의 물 분자 처음.

찾기Γ reduc나는 b 나는 문자 표 H2의 e{\displaystyle \Gamma_{약분할 수 있는}}O{\displaystyle{\ce{H2O}}}분자이다.

물은(H2O{\displaystyle{\ce{H2O}}})분자는 지점들 밑 C2v{\displaystyle C_{2v}}C2v{\displaystyle C_{2v}}물에 있어 또한 지표 표 포인트 그룹, 분자의 .[7]다음은 지표 표 떨어진다.

C2v{\displaystyle C_{2v}}포인트 그룹을 위한 문자의 테이블이다.

	$(\displaystyle E}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v}}$	${\displaystyle \sigma '_{v}}}$
${\displaystyle A_{1}.$	1	1	1	1	$(\displaystyle z}$	${\displaystyle x^{2},y^{2},z^{2}}$
${\displaystyle A_{2}}:$	1	1	-1	-1	${\displaystyle R_{z}}$	$(\displaystyle xy}$
${\displaystyle B_{1}.$	1	-1	1	-1	${\displaystyle R_{y},x}$	$(\displaystyle xz}$
${\displaystyle B_{2}}$	1	-1	-1	1	${\displaystyle R_{x}y}$	$(\displaystyle yz)$

여기서 첫 번째 행은 이 점 그룹의 가능한 대칭 연산을 설명하고 첫 번째 열은 멀리켄 기호를 나타낸다.제5열과 제6열은 함수로 불린다.

함수:

• ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 및 $z$ ${\displaystyle z}$은(는) 변환 동작 및 IR 활성 대역과 관련이 있다.
• ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ ${\displaystyle R_{}}$ y ${\$ R ${\displaystyle z_{}}$ ${\$는 각 축에 대한 회전과 관련이 있다$$.
• Quadratic functions (such as ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}}$, ${\displaystyle y^{2}}$,${\displaystyle z^{2}}$, ${\displaystyle xy}$, ${\displaystyle yz}$,${\displaystyle zx}$)라만 활동 밴드와 관련이 있다.

표현에 사용할 문자를 결정할 때 변경되지 않은 경우$$$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $1$$},$ 이동된 경우 0 ${\displaystyle$ 0$},$ 방향을 반대로 바꾼 경우$$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle(-1)$을 할당하십시오.축소 가능한 표현 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ e ${\$에 대한 문자를 결정하는 간단한 방법은 대칭 연산을 수행할 때 세 축${\displaystyle (}$ ,${\displaystyle y}$ , z, ${\displaystyle x,y,z$을 따라 부동 원자의 수를 '원자당 기여'로 곱하는 것이다.

달리 명시되지 않는 한, ID $연산{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$의 경우$,$ 원자가 이 작업 중에 위치를 변경하지 않으므로 각 원자에 대한 '미분해 원자당 기여'는 항상 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 3}$이다$.$반사 대칭 연산 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$의 경우$,$ '원자당 기여'는 항상$$1 {\$displaystyle$ 1$}$이며$,$ 어떤 반사에도 원자는 두 축과 함께 변하지 않고 다른 축과 함께 방향을 반대로 유지한다.역대칭 연산 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 경우$,$ 원자의 세 축 각각이 이 연산 중에 방향을 반대로 하기 때문에 '미분해 원자당 기여'는 항상${\displaystyle }$- 3 ${\displaystyle -3$이다.${\displaystyle {Cn}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$ 대칭$$ 연산에 대한 '미정 원자당 기여'를 계산하는 가장 쉬운 방법은 아래 공식을^[8] 사용하는 것이다.

${\displaystyle C_{n}=2\cos \theta +1}$

${\displaystyle S_{n}=2\cos \theta -1}$

여기서, $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{360n}}{}}$ ${\$

위 문장의 단순화된 버전은 아래 표에 요약되어 있다.

작전	기여 부동 원자당
$(\displaystyle E}$	3
${\displaystyle C_{2}}$	-1
${\displaystyle C_{3}}$	0
${\displaystyle C_{4}}$	1
${\displaystyle C_{6}}$	2
${\displaystyle \sigma _{xy/yz/zx}}$	1
$(\displaystyle i}$	-3
${\displaystyle S_{3}}$	-2
${\displaystyle S_{4}}$	-1
${\displaystyle S_{6}}$	0

모든 대칭 연산에 대한$$ $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ r ${\displaystyle e_{}}$ d ${\displaystyle u_{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ e$${\$displaystyle \Gamma _{remedable$$}$ 이 연산 중 부동 원자의 수$$${\displaystyle }$$\times {\displaystyle }$ ${\displaystyle \time }$ 3축 각각에 따른 부동 원자당 기여$$

$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ d ${\$에 대한 문자 찾기

${\displaystyle C_{2v}}$	$(\displaystyle E}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v(xz)}}$	${\displaystyle \sigma '_{v(yz)}}$
부동 원자의 수	3	1	3	1
부동 원자당 기여도	3	-1	1	1
${\displaystyle \감마 _{red}}$	9	-1	3	1

문자표와 함께$$ 축소$$ 가능한 표현$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ u u ${\displaystyle u_{}}$ u u u u u u u u u u$u$ u u ${\displaystyle u_{}}$ u u u ${\displaystyle u_{}}$ $u u$ u u u u u u u$$u u u u u u u$u$ u u u u u u u u u u u u u u u u u u$$u u u

위의 논의에서 물 분자를 위한 새로운 문자표(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ v ${\$2}$v}$ 포인트$$ 그룹)를 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\gamma r}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ d ${\$ 분자에$$ $대한{\displaystyle {}_{}^{}}$ 새로운 문자 표({red}): \ r ${\displaystyle e_{}}$ d ${\$

	$(\displaystyle E}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v(xz)}}$	${\displaystyle \sigma '_{v(yz)}}$
${\displaystyle A_{1}.$	1	1	1	1
${\displaystyle A_{2}}:$	1	1	-1	-1
${\displaystyle B_{1}.$	1	-1	1	-1
${\displaystyle B_{2}}$	1	-1	-1	1
${\displaystyle \감마 _{red}}$	9	-1	3	1

γ ${\displaystyle r_{}}$ $e{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$ 디스플레이 스타일 $\Gamma _${red$}$를 포함한 새로운 문자 표를 사용하면 $아래{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$을 사용하여$$H 2 O {\$displaystyle${\$ce$ {H2O$$$}$ 분자의 모든 움직임에 대한 축소 가능한 표현을 줄일 수 있다$.$

${\displaystyle N={\frac {1}{h}\sum _{x}(X_{i}^}\time X_{r}^{x}\time n^{x}}}}}}}}$

어디에,

${\displaystyle h}$= 그룹의 $[\displaystyle$ h$=}$ 순서$$,

${\displaystyle {}_{}^{}}$$Xi{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle X_{i}^{x}=$ character$$ ${\displaystyle r_{}}$ e ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ i b ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$의 특정 클래스에 대한$$ 문자,

${\displaystyle {\mathrm{특정}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$대한 축소$$가능한 $표현$에서 X r x = {\$displaystyle$ X_{r$$$}^{x}=}$ 문자,

${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$= ${\displaystyle$ n$^{x}=}$ 클래스의 작업$$ 수

그렇게

${\displaystyle N_{A_{1}={\frac {1}{1}{\1}{9\time 1\\}+\{(1)\time 1\\\time 1\\}\{3\time 1\}+\{1\time\}\time\}}=3}}=3}}}$

${\displaystyle N_{A_{2}}={\frac {1}{1}{{9\time 1\\}+\{(1)\time 1\\\}\{3\time-1)\time 1\}+\{1\time-1}{1\times-1}=1}1}$

${\displaystyle N_{B_{1}={\frac {1}{1}{\1}{9\time 1\\}+\{(1)\time(-1)\time 1\\\\}\3\time 1\\}+\{1\time(-1)\{1\time-1}=}}}}3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle N_{B_{2}}={\frac {1}{1}{{9\time 1\\}+\{(1)\time(-1)\\time 1\\\\}\time 1\}+\{1\time\time\}+\{1\time\time\time\time1\=}=}2}2}}}2}}}}}}}}}}}}2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그래서, 물 분자의 모든 움직임에 대한 감소된 표현은

$\displaystyle \Gamma _{erreducable}=3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2}}:$

물 분자를 위한 변환 운동

변환 동작은 문자 테이블의 축소 가능한 표현에 해당하며, 문자 테이블에는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 및 z$$ ${\displaystyle z}$ 함수가$$ 있다.

$H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$분자의$$ 경우

${\displaystyle A_{1}.$	$(\displaystyle z}$
${\displaystyle A_{2}}:$
${\displaystyle B_{1}.$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle B_{2}}$	$(\displaystyle y}$

축소 가능한 표현 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$및$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}만이 x ${\displaystyle$ x$\},$ $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}$ $및$ z ${\displaystystyle z}$ 함수에$$ 해당하므로$$,

${\displaystyle \Gamma _{translational}=A_{1}+B_{1}+B_{2}}$

물 분자의 회전 운동

회전 운동은 R ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ $R$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 기능을 갖는$$ 문자 테이블의 축소 가능한 표현과 일치한다.

$H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$분자의$$ 경우

${\displaystyle A_{1}.$
${\displaystyle A_{2}}:$	${\displaystyle R_{z}}$
${\displaystyle B_{1}.$	${\displaystyle R_{y}}$
${\displaystyle B_{2}}$	${\displaystyle R_{x}}$

축소 가능한 ${\displaystyle {표현\mathrm{}}_{}}$ $B{\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 $A$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}만이$$ x ${\displaystyle$ x$\},$ $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}$ 및$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ z$} 함수$에 해당하므로$$,

${\displaystyle \Gamma _{rotational}=A_{2}+B_{1}+B_{2}}$

물 분자의 총 진동 모드

Total vibrational mode, ${\displaystyle \Gamma _{vibrational}=\Gamma _{irreducible}-\Gamma _{translational}-\Gamma _{rotational}}$

${\displaystyle = (3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2}-(A_{1}+B_{1}+B_{2}-(A_{2}+B_{1})-(A_{2}+B_{1}+B_{1})-(A_{1}+B_{2}}}}}}}$

${\displaystyle =2A_{1}+B_{1}}$

따라서 총${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= 물 분자에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 3 ${\displaystyle (2+1)=3}$ 진동$$ 모드가 가능하며 그 중 2개는 대칭 진동 모드(2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$이며$,$ 다른 진동 모드는 대칭 모드(1 $B{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} )이다$.$

물 분자가 IR 활성인지 라만 활성인지 확인

특정 모드에 대해 IR 활성 또는 Raman 활성 규칙이 있다.

• 취소할 수 없는 표현에 $대해{\displaystyle }$$$ x ${\displaystyle$ x$\},$ y ${\displaystyle y}$ 또는$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$이(가) 있는 경우 모드가 IR 활성 상태임
• If there is a quadratic functions such as ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}}$, ${\displaystyle y^{2}}$,${\displaystyle z^{2}}$, ${\displaystyle xy}$, ${\displaystyle yz}$ or ${\disp$rereduccessible 표현에 대한$$ $laystyle xz}$ 모드, 그러면 Raman 활성 모드가 된다.
• 모든 수정 불가능한 표현에 대해 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$\},$ y ${\displaystyle$ y$\},$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ z$} 또는$ 2차$$ 함수가 없는 경우 모드는 IR 활성도 아니고 Raman 활성도 아니다.

물 분자 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ a t ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$는 x ${\displaystyle$ $x$$\},$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$ $또는$ z ${\displaysty z}$ 및 2차$$ 함수를 모두$$ 포함하므로 IR 활성 진동 모드와 Raman 활성 진동 모드를 모두 가지고 있다.

Similar rules will apply for rest of the irreducible representations ${\displaystyle \Gamma _{irreducible},\Gamma _{translational},\Gamma _{rotational}}$

참고 항목

• § 이론물리학 및 화학에서의 불가해한 표현
• 분자대칭
• 화학적으로 중요한 3D 점 그룹의 문자 표 목록
• GroupNames에 있는 작은 그룹의 문자 테이블
• Isaacs, I. Martin (1976). Character Theory of Finite Groups. Dover Publications.
• Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Character Table". MathWorld.

참조