바이에스트라스-엔퍼 매개변수화

수학에서, 최소 표면의 Weierstrass-Enper 매개변수화는 미분 기하학의 고전적인 부분이다.

Alfred Enneper와 Karl Weierstrass는 1863년까지 최소 표면을 연구했다.

Weierstrass 매개변수화 설비 주기적 최소 표면 제작

$f$ {\ $displaystyle f}$ $g$ g ${\displaystyle$ $g$ $}$ 을(를) 전체 복합 평면 또는 장치 디스크에서 기능하도록 $g$ 두십시오. 여기서 $g$ $g$ 은 $g$ $(는)$ m $(\displaystyle m$ $}$ ha의 $f$ 순서 $m$ 를 갖도록 $g$ f ${\$ $displaystyty$ f $}$ 분석적임 $f$ .s 순서 $2m$ ${\$ $displaystyle$ $2m}($ 또는 동등하게 $fg^{2}$ $fg^{2}}$ 이 홀로모르픽인 경우)의 $fg^{2}$ 0이며 $c_{1},c_{2},c_{3}$ 1, $c_{1},c_{2},c_{3}$ 2, $c_{1},c_{2},c_{3}$ $c_{1},c_{2},c_{3}$ ${\$ 를 상수로 한다 $c_{1},c_{2},c_{3}$ .그러면 좌표가 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ 있는 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , $(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , $(x_{1},x_{2},x_{3})$ x 3 ) ${\displaystyle(x_{1},x_{2},x_{3}}})$ 이 최소가 되며 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , 여기서 $x_{k}$ $x_{k}$ ${\$ 는 다음과 같이 복합 적분의 실제 부분을 사용하여 정의된다 $x_{k}$ .

{\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}

간단히 연결된 도메인에 대해 정의된 모든 비계획적 최소 표면은 이러한 유형의 파라메트리제이션이 주어질 수 있다.^[1]

예를 들어, Enneper의 표면은 $f (z)$ = $1$ , $g (z)$ = $z$ 를^m 가지고 있다.

복합 변수의 모수 표면

Weierstrass-Enneper 모델은 복합 평면( $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathb {R} ^{3$ $})$ 에서 최소 표면 $X$ ${\displaystyle$ X $}($ $\mathbb {R} ^{3}$ 3 ${\$ $\mathb {R}$ ^3 $\mathbb {R} ^{3}$ 를 정의한다. $\mathbb {C}$ $\omega =u+vi$ = $\omega =u+vi$ + v $\omega =u+vi$ ${\displaystyle \omega =u+vi}($ $u$ v $uv$ 공간으로서의 $uv$ 복합 평면), 표면의 Jacobian 행렬은 다음과 같은 복잡한 항목의 열로 작성할 수 있다.

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\좌측(1-g^{2}(\omega )\i\좌측(1+g^)\2g(\omega)\\nd{bmatrix}}

f(\omega )

f (

f(\omega )

)

f(\omega )

{\

displaystyle

f

(\omega )}

및

f(\omega )

g(\omega )

(

g(\omega )

g(\omega )

{\

displaystyle

g

(\omega )}

은

g(\omega )

\omega

{\

displaystyle \omega

의 홀로모르픽 함수다.

Jacobian $\mathbf {J}$ ${\$ 은(는) 표면의 두 직교 접선 벡터를 나타낸다 $\mathbf {J}$ .^[2]

\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}

표면 정규값은 다음과 같다.

\mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{ \mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}}  }}={\frac {1}{ g ^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\ g ^{2}-1\end{bmatrix}}

The Jacobian $\mathbf {J}$ leads to a number of important properties: $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$ , $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})$ , $\mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})$ ${\displaystyle \mathbf{X_{v}}^{2}=\operatorname {im}(\mathbf$ { $J}^{2}),$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$ $\mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$ v $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$ = 0 ${\style \mathbf {X_{u}} +\mathbf {X_{v} =0}$ .그 증거는 샤르마의 에세이에서 찾을 수 있다.위어스트라스 표현은 항상 최소한의 표면을 제공한다.^[3]파생상품은 첫 번째 기본 형태 매트릭스를 구성하는 데 사용될 수 있다.

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

그리고 두 번째 기본 형태 행렬

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}

마지막으로, $\omega _{t}$ 평면상의 $\omega _{t}$ 점 $\omega _{t}$ t ${\$ 는 $\mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ $mathbf {X}}$ 의 최소 $\mathbf {X}$ 의 $\mathbf {X}$ 점 X {\displaysty \ $mathb{R} ^{3}$

\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}

여기서

\omega _{0}=0

=

\omega _{0}=0

\omega _{0}=0

이 문서 전체에서

\omega _{0}=0

코스타일의 최소 표면(

\omega _{0}=(1+i)/2

0

\omega _{0}=(1+i)/2

= (

\omega _{0}=(1+i)/2

+

\omega _{0}=(1+i)/2

) /

\omega _{0}=(1+i)/2

{\

displaysty \omega

_

{0}=(1+i)/2

}

\omega _{0}=(1+i)/2

.

내장된 최소 표면 및 예제

위상이 유한한 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ ^{ $3}}$ 에 내장된 완전한 최소 표면의 고전적인 예로는 평면, 카티노이드, 헬리코이드, 코스타의 최소 표면을 들 수 있다.코스타의 표면에는 위어스트라스의 타원함수 $℘{\displaystyle \wp$ } $\wp$ ^[4]:

g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}

(\displaystyle f(\omega )=\cHB(\omega)}

A

서 A

A

은

A

(는) 상수다.^[5]

헬리카티노이드

함수 $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ ) $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ = $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ - $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ e $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ / A ${\$ f $(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A},$ $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ ) = $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ - $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ / $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ ${\$ 를 선택하면 최소 표면의 파라미터 제품군 중 한 개를 얻는다.

\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \왼쪽({\frac {\omega }{A}\오른쪽)

\varphi _{2}=i^{-i\alpha }\cosh \왼쪽({\frac {\omega }{A}\오른쪽)

\varphi _{3}=e^{-i\pair }}

\mathbf {X}(\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}\오른쪽)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \왼쪽({\frac {\omega }{A}\오른쪽)\\e^{-i\bmatrix }\omega \\end{bmatrix}=\cos(\cos)(\cs){\ematrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \좌({\frac {\operatorname {Re}(\omega )}{A}\우)\cos \좌({\frac {\\operatorname {Im}(\omega )}{A}\우)\\\\operatorname {Im}(\omega )\\\end{bmatrix}}

표면의 파라미터를 $\omega =s+i(A\phi )$ = $\omega =s+i(A\phi )$ + i $\omega =s+i(A\phi )$ $\omega =s+i(A\phi )$ ) $\omega =s+i(A\phi )$ 로 선택하는 방법 $\omega =s+i(A\phi )$

\mathbf {X}(s,\phi )=\cos(\alpha){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}){A}\오른쪽)\cos \left(\phi \right)\-A\cosh \left({\frac {s}){A}\오른쪽)\sin \left(\phi \오른쪽)\s\\end{bmatrix}\sin(\alpha )}{\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{\frac {s}{}{\}}{A}\오른쪽)\sin \왼쪽(\phi \오른쪽)\\A\sinh \왼쪽({\frac {s}){A}\오른쪽)\cos \왼쪽(\phi \오른쪽)\\A\phi \\end{bmatrix}

극한에서 표면은 카테노이드 $(\alpha =0)$ = 0 $(\alpha =0)$ ) $(\alpha =0)$ 또는 $(\alpha =0)$ 헬리코이드 $(\alpha =\pi /2)$ = $(\alpha =\pi /2)$ / 2 $(\alpha =\pi /2)$ ) ${\displaystyle (\alpha =\pi /2$ 그렇지 않으면 $\alpha$ $\alpha$ 은 혼합 각도를 나타낸다 $\alpha$ .결과 표면은 자기 절개를 방지하기 위해 도메인을 선택한 상태로 X $\mathbf {X} _{3}$ ${\$ { $X} _{3}$ 축을 $\mathbf {X} _{3}$ 중심으로 나선형으로 회전한다.

나선형의 주기적인 지점에 걸쳐 있으며, 나선을 따라 회전하여 최소 표면을 만든다.

기본 도메인(C) 및 3D 표면.연속 표면은 기본 패치(R3)의 복사본으로 제작

곡률선

예를 들어, 두 번째 기본 매트릭스의 각 요소를 $f$ $f$ 및 $f$ $g$ $g$ 의 함수로 다시 작성할 수 있다 $g$

\mathbf{X_{uu}}\cdot \mathbf{\hat{n}}}{\frac {1}{g^{2}+1}{\bmatrix}\opername {Re} \left(1-g^{2g'\rig')\\\operatorname {Re} \left(1+g^{2}f'i+2gfg'i\rig)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\오른쪽)\\\operatorname {Re} \왼쪽(-2gi\오른쪽)\\\operatorname {Re} \left(g ^{2}-1\오른쪽)\\end{bmatrix}=-2\operatorname {Re}(fg')

그리고 결과적으로 두 번째 기본 폼 매트릭스는 다음과 같이 단순화할 수 있다.

{\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\\operatorname {Im}fg'&\;\\operatorname {Re}fg'\end{bmatrix}}}

곡률 선은 도메인의 사분선을 만든다.

그것의 고유 벡터 중 하나는

{\overline {\sqrt {fg'}}

이는 복잡한 영역의 주요 방향을 나타낸다.^[6]따라서

u

v

uv

공간의

uv

두 가지 주요 방향은 다음과 같은 것으로 밝혀진다.

\phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg}(fg')\pm k\pi /2

참고 항목

어소시에이트 패밀리
쌍곡선 공간의 유사 파라미터화에 의해 발견되는 브라이언트 표면

참조

^ Dierkes, U.; Hildebrandt, S.; Küster, A.; Wohlrab, O. (1992). Minimal surfaces. Vol. I. Springer. p. 108. ISBN 3-540-53169-6.
^ Andersson, S.; Hyde, S. T.; Larsson, K.; Lidin, S. (1988). "Minimal Surfaces and Structures: From Inorganic and Metal Crystals to Cell Membranes and Biopolymers". Chem. Rev. 88 (1): 221–242. doi:10.1021/cr00083a011.
^ Sharma, R. (2012). "The Weierstrass Representation always gives a minimal surface". arXiv:1208.5689 [math.DG].
^ Lawden, D. F. (2011). Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences. Vol. 80. Berlin: Springer. ISBN 978-1-4419-3090-3.
^ Abbena, E.; Salamon, S.; Gray, A. (2006). "Minimal Surfaces via Complex Variables". Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Boca Raton: CRC Press. pp. 719–766. ISBN 1-58488-448-7.
^ Hua, H.; Jia, T. (2018). "Wire cut of double-sided minimal surfaces". The Visual Computer. 34 (6–8): 985–995. doi:10.1007/s00371-018-1548-0. S2CID 13681681.

[DHWK-1] Dierkes, U.; Hildebrandt, S.; Küster, A.; Wohlrab, O. (1992). Minimal surfaces. Vol. I. Springer. p. 108. ISBN 3-540-53169-6.

[2] Andersson, S.; Hyde, S. T.; Larsson, K.; Lidin, S. (1988). "Minimal Surfaces and Structures: From Inorganic and Metal Crystals to Cell Membranes and Biopolymers". Chem. Rev. 88 (1): 221–242. doi:10.1021/cr00083a011.

[3] Sharma, R. (2012). "The Weierstrass Representation always gives a minimal surface". arXiv:1208.5689 [math.DG].

[4] Lawden, D. F. (2011). Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences. Vol. 80. Berlin: Springer. ISBN 978-1-4419-3090-3.

[5] Abbena, E.; Salamon, S.; Gray, A. (2006). "Minimal Surfaces via Complex Variables". Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Boca Raton: CRC Press. pp. 719–766. ISBN 1-58488-448-7.

[6] Hua, H.; Jia, T. (2018). "Wire cut of double-sided minimal surfaces". The Visual Computer. 34 (6–8): 985–995. doi:10.1007/s00371-018-1548-0. S2CID 13681681.

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목차

복합 변수의 모수 표면

내장된 최소 표면 및 예제

헬리카티노이드

곡률선

참고 항목

참조