말러 측도

수학에서 복잡한 계수를 가진$$ ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$ $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(z)}$의 M($p{\displaystyle }$)${\displaystyle p(p)}$을(를) 수치로 정의한다.

${\displaystyle M(p)= \prod _{\alpha _{i} \geq 1} \alpha _{i} = \prod _{i=1}^{n}\max\{1, \alpha _{i}\}}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $p{\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(z)}$은(는) 복잡한$$ 숫자 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 고려한다$$.

$(z-\displaystyle p(z)=a(z-\properties _{1})(z-\properties _{2})\cdots(z-\properties _{n}).}$

말러 측정은 일종의 높이 함수로 볼 수 있다. Jensen의 공식을 사용하면 이 측정치가 단위 원$($예: ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z =1})$에 $대한$ p${\displaystyle }$( $displaystyle p(z)}}}$의 기하 평균과도 같다는 것을 증명할 수 있다.$$

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int_{0}^{2\pi }\ln(p^{i\ta })\,d\theta \right).}$

By extension, the Mahler measure of an algebraic number ${\displaystyle \alpha }$ is defined as the Mahler measure of the minimal polynomial of ${\displaystyle \alpha }$ over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. In particular, if ${\displaystyle \alpha }$ is a Pisot number or a Salem number, then its Mahler measure is s$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \ $}$을(를) 암시한다$.$

말러 척도는 독일 태생의 호주 수학자 커트 말러의 이름을 따서 지은 것이다.

특성.

• 말러 측정은 ${\displaystyle \mathrm{승법}}$: $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ p ,${\displaystyle q}$, M (${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle M}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$\$forall p,q,\,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).$$}$
• ${\textstyle M(p)=\lim _{\tau \to 0}\ p\ _{\tau }}$ where ${\textstyle \,\ p\ _{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi } p(e^{i\theta }) ^{\tau }d\theta \right)^{1/\tau }}$ is the ${\dis$$Playstyle L_{\tau }$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$^[1]의 표준 .
• 크로네커의 정리: $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(${\displaystyle 가}$) $M{\displaystyle (}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M($${\displaystyle p}$$)=1}$인 경우$,$ p(${\displaystyle }$z )${\displaystyle }$= ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyp=z,}$ 또는$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ p$}$중 하나가 사이클로토믹 다항식이다.
• (레머의 추측) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 수정 불가능한 정수 다항식인 경우 ${\displaystyle \mathrm{M}(p)}$= 1 ${\displaystyle$ M$(p)=1}$ 또는$$ > ${\displaystyle M(p)>\mu$}의 일정한μ > 1 ${\displaystystylemu}$이 있다
• 단일 정수 다항식의 말러 측정치는 Perron 수이다.

고차원 말러 측정

The Mahler measure ${\displaystyle M(p)}$ of a multi-variable polynomial ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ is defined similarly by the formula^[2]

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl }p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr }{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$

그것은 1변수 다항식에 대해 위의 말러 측정의 세 가지 특성을 계승한다.

다변량 말러 측정은 경우에 따라 제타 기능 $및{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$ - 기능의 특수 값과 관련이 있는 것으로 나타났다. 예를 들어, 1981년, Smyth는^[3] 공식을 증명했다.

${\displaystyle m(1+x+y)={\frac{3}{\sqrt{3}}{4\pi }}}L(\chi _{-3},2)}$

$여기$서 L${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle {}_{}}$s${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(\chi _{-3}s)$은 Dirichlet L-함수이며,

${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}\\제타(3),}$

여기서 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$은(는) Riemann 제타 함수다. 여기서 $m{\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{로그}}$log ${\displaystyle M}$( P${\displaystyle }$) ${\displaystyle m(P)=\log M(P)}$을(를) 로그 말러 측정이라고 한다$$.

로튼과 보이드의 일부 결과

그 정의에서 말러 측정은 토러스 위에 있는 다항식의 통합값으로 본다(레머의 추측도 참조). 적분을 규정하는 만약 p원환체(S1)n{\displaystyle(S^{1})^{n}에}조로와{p\displaystyle} 다음 융합(p){M(p)\displaystyle},지만 M(p){M(p)\displaystyle}과one-variable 말러 measures,[4]의 제한으로 같은지 b. 모일 호도하는 것이 분명하지 않다 M이보이드가 추측한 것.^[5][6]

이는 다음과 같이 공식화된다. Let ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ denote the integers and define ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}}$ . If ${\dis$$playstyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ is a polynomial in ${\displaystyle N}$ variables and ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$ define the polynomial ${\displaystyle Q_{r}(z)}$ of one variable by

${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1},\dots,z^{r_{N})}}$

다음을 기준으로$$ $q{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle q(r)}$을(를) 정의하십시오.

${\displaystyle q(r):=\min \left\{H(s):s=(s_{1},\dots,s_{N}\in \mathb {Z}^{N},s\neq(0,\dots,0)~{\dext}~{j=1}s_{j}r_{j}r}0\right\}}}}.$

여기서 $H{\displaystyle (s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{최대}}$ ${\displaystyle \{s_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle H(s)={\text{max}\{j} :1\leq j\leq N\}}.$

정리(Lawton) : Let $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle z_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N}}}$는 계수가 복잡한 N 변수에서 다항식이 되도록$$ 한다. 그러면 다음 제한이 유효하다($r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r_{i}\geq$ 0$}$의 조건이 완화되더라도$$).

${\displaystyle \lim _{q(r)\to \infit }M(Q_{r})=M(Q)}$

보이드의 제안

보이드는 위의 정리보다 더 일반적인 진술을 제공했다. 그는 모든 뿌리가 단위 디스크 안에 있는 단수 다항식들을 정수 계수로 특징짓는 고전적인 크로네커의 정리는 정확히 1인 한 변수의 그러한 다항식들을 특징짓는 것으로 볼 수 있으며, 이 결과는 여러 변수의 다항식으로 확장된다고 지적했다.^[6]

확장된 사이클로토믹 다항식을 폼의 다항식으로 정의

${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}:{n}}\dots z_{n}^{b_{n}}}\Phi_{m}(z_{1}^{1}^{1}}}}}}}),}$

where ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ is the m-th cyclotomic polynomial, the ${\displaystyle v_{i}}$ are integers, and the ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ are chosen minimally so that ${\displaystyle \Psi (z)}$ is a polynomial in $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${n$$\}\}.$ ${\displaystyle {Kn}_{}}${\$displaystyle K_{n}}$은(는) 단수${\displaystyle }$± ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$… ${\displaystyle z_{}^{}}$ n ${\pm z_{1}^{1}^{n}}$과(와) 확장된 사이클로토믹 다항식의 집합으로 한다$$.

정리(Boyd) :$$ $F{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle z_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n}}\mathb {Z}[z_{1},\ldots,z_{n}}}}}}}}}}}$은(으) 정수 계수가 있는 다항식이 되도록$$ 한다. $그런{\displaystyle }$ 다음, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$}의 요소인 경우에만$$ ${\displaystyle \mathrm{M}(F}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$ M$($$F)=1$$\}.$

이로 인해 보이드는 일련의 가치들을 고려하게 되었다.

${\displaystyle L_{n}={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots,z_{n}):P\in \mathb {Z} [z_{1},\dots,z_{n}]{\bigr \},}$

그리고 노조 나는)⋃ nx1∞ Ln{L\textstyle{}_{\infty}=\bigcup _{n=1}^{\infty}L_{n}}. 그는. L. 이 추측의 즉시 결과가 될 것이다 진실한 conjecture[5]R{\displaystyle \mathbb{R}의 L의 집합을({L\displaystyle{}_{\infty}}는 닫힌 부분 집합}을 ∞ehm비록 명시적인 하한은 없지만, 어의 추측 Smyth의 결과 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $$Boyd는 추가적으로 추측한다.

${\displaystyle L_{1}\subsetneq L_{2}\subsetneq L_{3}\subsetneq \cdots.}$

참고 항목

• 봄비에리 규범
• 다항식의 높이

메모들

참조

• Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. 10. Springer. pp. 3, 15. ISBN 978-0-387-95444-8. Zbl 1020.12001.

• Boyd, David (1981a). "Speculations concerning the range of Mahler's measure". Canadian Mathematical Bulletin. 24 (4): 453–469. doi:10.4153/cmb-1981-069-5.

• Boyd, David (1981b). "Kronecker's Theorem and Lehmer's Problem for Polynomials in Several Variables". Journal of Number Theory. 13: 116–121. doi:10.1016/0022-314x(81)90033-0.

• Boyd, David (2002a). "Mahler's measure and invariants of hyperbolic manifolds". In Bennett, M. A. (ed.). Number theory for the Millenium. A. K. Peters. pp. 127–143.

• Boyd, David (2002b). "Mahler's measure, hyperbolic manifolds and the dilogarithm". Canadian Mathematical Society Notes. 34 (2): 3–4, 26–28.

• Boyd, David; Rodriguez Villegas, F. (2002). "Mahler's measure and the dilogarithm, part 1". Canadian Journal of Mathematics. 54 (3): 468–492. doi:10.4153/cjm-2002-016-9. S2CID 10069657.

• "Mahler measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].
• Jensen, J.L. (1899). "Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions". Acta Mathematica. 22: 359–364. doi:10.1007/BF02417878. JFM 30.0364.02.

• Knuth, Donald E. (1997). "4.6.2 Factorization of Polynomials". Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. 2 (3rd ed.). Addison-Wesley. pp. 439–461, 678–691. ISBN 978-0-201-89684-8.

• Lawton, Wayne M. (1983). "A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials". Journal of Number Theory. 16 (3): 356–362. doi:10.1016/0022-314X(83)90063-X. Zbl 0516.12018.

• Mossinghoff, M.J. (1998). "Polynomials with Small Mahler Measure". Mathematics of Computation. 67 (224): 1697–1706. doi:10.1090/S0025-5718-98-01006-0. Zbl 0918.11056.

• Schinzel, Andrzej (2000). Polynomials with special regard to reducibility. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 77. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66225-3. Zbl 0956.12001.

• Smyth, Chris (2008). "The Mahler measure of algebraic numbers: a survey". In McKee, James; Smyth, Chris (eds.). Number Theory and Polynomials. London Mathematical Society Lecture Note Series. 352. Cambridge University Press. pp. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11081.

외부 링크

• 말러의 수학세계에 관한 연구
• 옌센의 수학세계 공식