지리적 거리
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지리적 거리는 지표면을 따라 측정된 거리입니다.이 기사의 공식은 위도와 경도의 관점에서 지리적 좌표로 정의된 점 사이의 거리를 계산합니다.이 거리는 두 번째(역) 측지 문제를 해결하는 요소이다.
서론
지리 좌표 사이의 거리를 계산하는 것은 어느 정도 추상화 수준을 기반으로 합니다. 정확한 거리를 제공하는 것은 아닙니다. [1]지구 표면의 모든 불규칙성을 설명하려고 하면 이 거리를 얻을 수 없습니다.두 지리적 지점 사이의 지표면에 대한 일반적인 추상화는 다음과 같습니다.
- 평평한 표면
- 구형 표면
- 타원체 표면.
위의 모든 추상화는 표고 변경을 무시합니다.이 문서에서는 이상적인 지표면에 대한 표고 변화를 설명하는 거리 계산에 대해서는 설명하지 않습니다.
명명법
거리 {\ D는(\과P2(\2 에서 계산됩니다. (위도, 경도) 쌍과 같은 두 점의 지리적 좌표는( 1,1 (\i)입니다 § {\ (\ _{_{}),디스플레이 P_로 된 두 지점 중 어느 점이 거리 계산에 중요하지 않습니다.
지도상의 위도 및 경도 좌표는 보통 도 단위로 표시됩니다.다음 공식에서 올바른 결과를 얻으려면 하나 이상의 값을 지정된 단위로 표현해야 합니다.지리 좌표가 삼각함수의 인수로 사용되는 경우, 값은 삼각함수의 값을 결정하는 데 사용되는 방법과 호환되는 임의의 각도 단위로 표시할 수 있습니다.많은 전자 계산기에서는 도 또는 라디안의 삼각함수를 계산할 수 있습니다.계산기 모드는 기하학적 좌표에 사용되는 단위와 호환되어야 합니다.
위도와 경도의 차이는 다음과 같이 레이블이 지정되고 계산됩니다.
아래 공식에서 사용했을 때 결과가 양수인지 음수인지는 중요하지 않습니다.
"평균 위도"는 다음과 같이 레이블이 지정되고 계산됩니다.
결속도는 다음과 같이 라벨링되고 계산됩니다.
- 라디안으로 표시된 위도의 경우:
- 위도가 도 단위로 표시되는 경우:
달리 명시되지 않은 한 아래 계산에 대한 지구의 반지름은 다음과 같습니다.
- {\ R = 6,371.009km = 3,958.761 법령 마일 = 3,196.069해리.
{\ = 지구 표면을 따라 측정되며 달리 지정되지 않는 한 반지름에 사용되는 값과 동일한 단위로 측정된 두 점 사이의 거리입니다.
위도/경도의 특이점과 불연속성
경도는 북극점에 특이점이 있고(경도는 정의되지 않음) ±180° 자오선에 불연속점이 있다.또, 일정한 위도의 원의 평면 투영도 극점 부근에서 높은 곡선을 그리고 있다.따라서 델타 위도/경도(δ \ \ 및 평균 위도( \ _에 대한 위의 공식은 극점 또는 ±180° 부근 위치에 대한 예상 답을 제공하지 못할 수 있습니다.예를 들어 1\ _ {1\ ! } 및 2 \ _ {2} \ ! thethe the the λ λ the m \ _ \\ lambda \ lambda \ !east east λ λ λ λ λ λ {\ of of of of of consider consider consider consider consider consider consider consider consider {\ {\ consider λ consider consider consider consider consider consider consider consider consider consider consider180° consider \ \ _ {1 \ !} = {\ \ \ _ {1 \ !} = 45°및 ( 2 {\ \2}\!} 89°, 2 {\ _ =-135°).
위도/경도에 기초한 계산이 모든 접지 위치에 유효해야 할 경우, 불연속성과 극성이 올바르게 처리되었는지 확인해야 한다.또 다른 해결책은 위도/경도 대신 n-벡터를 사용하는 것입니다. 이 표현에는 불연속성이나 특이성이 없기 때문입니다.
평면 공식
지구 표면의 평면 근사치는 소거리에 걸쳐 유용할 수 있다.이 근사치를 사용한 거리 계산의 정확도는 다음과 같이 점점 더 부정확해집니다.
- 점 사이의 간격이 커진다.
- 지점은 지리적 극에 가까워진다.
평면에서 두 점 사이의 최단 거리는 직선이다.피타고라스 정리는 평면에서 점 사이의 거리를 계산하는데 사용된다.
단거리에 걸쳐도 지구가 평평하다고 가정하는 지리적 거리 계산의 정확성은 위도와 경도 좌표가 평면에 투영된 방법에 따라 달라집니다.위도와 경도 좌표를 평면에 투영하는 것은 지도 제작의 영역이다.
이 절에서 설명하는 공식은 다양한 정확도를 제공합니다.
평면에 투영되는 구형 지구
이 공식은 위도를 가진 경락 사이의 거리 변동을 고려합니다.
- 여기서:
- {\ ( \ \ \ phi , \ ! ) {\ {\ 、 \ \ \ lambda、 \ ! )는 라디안입니다.
- \ \ _ { m} , \ ! }는 cos (m) . \ \ cos ( \ { m} ) , \ ! } compat \ compat compat compat compat compat compat compat compat compat compat compat compat compatininginingining ininginingininginingininginingininginingininginingininginingininginingininginingining
- 위도 또는 경도를 라디안으로 변환하려면
이 근사치는 매우 빠르고, 단거리에서도[citation needed] 꽤 정확한 결과를 산출합니다.또한 데이터베이스 쿼리와 같이 거리에 따라 위치를 정렬할 때 거리 제곱으로 정렬하는 것이 더 빠르기 때문에 제곱근을 계산할 필요가 없습니다.
평면에 투영된 타원형 지구
FCC는 475km(295mi)[2]를 넘지 않는 거리에 대해 다음 공식을 규정합니다.
- 어디에
- {\ D = 거리(km)
- \phi\,\!) \lambda\,\!)은 도 입니다.
- \ \ { m} , \ ! }는 cos (m) ; \ \ cos ( \ _ { m} ; , \ ! } 。
- 서 K 1 K_ 및 K 2 K_})는 도당 킬로미터 단위입니다.다음과 같은 점에 주의해 주십시오.
위의 공식을 보다 효율적으로 계산하기 위해 코사인 다중 응용 프로그램을 체비셰프 다항식에 대한 단일 응용 프로그램 및 반복 관계 사용으로 대체할 수 있습니다.
극좌표 평탄-지구 공식
- 여기서 colatitude 값은 라디안 단위입니다.도 단위로 측정한 위도의 경우 라디안 단위의 결속도는 과 같이 계산할 수 있습니다. 180 ( - ) . { { } ( ^ { \ } - \ } , \ , \ }
구면 공식
0.5%의 오차를 허용한다면 지구 표면에 가장 가까운 구면 삼각법 공식을 사용할 수 있다.
표면의 두 점 사이의 구 표면을 따라 가장 짧은 거리는 두 점을 포함하는 대원을 따릅니다.
대원거리 기사는 지구 크기의 구에서 대원을 따라 거리를 계산하는 공식을 제공한다.그 기사에는 계산의 예가 포함되어 있다.
터널 거리
지구상의 지점들 사이의 터널은 관심 지점들 사이의 3차원 공간을 통과하는 선으로 정의된다.대원 코드 길이는 해당 단위 구에 대해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
구면 지구 표면의 점 사이의 터널 는 Ch { D= RC _ { 。단거리(R \ DR )의 경우 D( /R ) / (/ 2로 대원거리를 과소평가합니다.
타원체 표면 공식
타원체는 구면이나 평평한 표면보다 지구 표면에 훨씬 더 잘 근접한다.표면의 두 점 사이의 타원체 표면을 따라 가장 짧은 거리는 측지선을 따라갑니다.측지학은 대원보다 더 복잡한 경로를 따르며, 특히 지구의 한 바퀴를 돌면 보통 원점으로 돌아가지 않는다.이는 효과를 강조하기 위해 f가 1/50으로 간주되는 오른쪽 그림에 나와 있습니다.지구상의 두 지점 사이의 측지학, 소위 역측지학 문제를 찾는 것은 클레로, 레전드르,[4] [3]베셀,[5] 그리고 헬메르트의 [6]주요 공헌으로 18세기와 19세기 동안 많은 수학자들과 측지학자들의 집중이었다.Rapp은[7] 이 작업의 좋은 요약을 제공합니다.
측지 거리 계산 방법은 지리 정보 시스템, 소프트웨어 라이브러리, 독립형 유틸리티 및 온라인 도구에서 광범위하게 사용할 수 있습니다.가장 널리 사용되는 알고리즘은 Vincenty에 [8]의한 것으로, 그는 약 0.5mm의 타원체의 평탄화에서 3차까지 정확한 시리즈를 사용한다. 그러나 알고리즘은 거의 대척점에 가까운 점에 대해서는 수렴하지 못한다.(자세한 내용은 Vincenty의 공식 참조)이 결함은 평탄화에서 6차까지 정확한 시리즈를 사용하는 Carney가 [9]제공한 알고리즘으로 치료됩니다.따라서 완전 이중 정밀도로 정확하고 지구상의 임의의 포인트 쌍에 수렴하는 알고리즘이 생성됩니다.이 알고리즘은 GeographicLib에서 [10]구현됩니다.
위의 정확한 방법은 컴퓨터에서 계산을 수행할 때 가능합니다.모든 길이의 선에서 밀리미터의 정확도를 제공하기 위한 것입니다. 밀리미터의 정확도가 필요하지 않거나 밀리미터의 정확도가 필요하지만 선이 짧은 경우 간단한 공식을 사용할 수 있습니다.6장 랩은 [11]푸아상법, 가우스 중위도법,[12] 보링법에 대해 설명한다.
롱 라인에 대한 램버트의 공식
램버트의 공식은[13] 수천 킬로미터에 걸쳐 10미터 정도의 정확도를 제공한다.먼저 1 \ \ \ _ {} , 2 \ scriptstyle \ _ , 2 \ \\ _ {} 로 변환합니다.
서 ff는 평탄화입니다.그런 다음 대원법(Cos-circle)을 사용하여 구면상의 두 점 1, 1과( 2, 2 사이의 중심 각도(\ \ )를라디안 단위로 계산합니다(\__gigences 1 ( \ \ 1 \ ; ) 2 ( \ \ _ {2\ ; )는 구면상의 경우와 동일합니다.
서 a는 선택된 구상체의 적도 반지름입니다.
GRS 80 구형에서 램버트의 공식은 다음과 같이 빗나갔다.
- 0 North 0 West ~ 40 North 120 West, 12.6 m
- 0N 0W~40N 60W, 6.6m
- 40N 0W~40N 60W, 0.85m
단선을 위한 보링의 방법
Bowring은 점을 반지름 R'의 구에 매핑하고 위도와 경도는 ′과 ′로 나타냅니다.정의
여기서 두 번째 편심 제곱은
구면 반지름은
(θ에서의1 타원체의 가우스 곡률은 1/R.)2이다.)구면 좌표는 다음과 같이 주어진다.
여기서 2- 1 {\= \_ {2} - _ }, 、 { ' = \ 2 - _ { } , _구면에서 발생하는 문제는 타원형 거리와 방위 근사치를 제공하는 대원 항법 기술을 사용하여 해결할 수 있다.자세한 공식은 Rapp,[11] §6.5 및 Bowring에 [12]의해 제시된다.
고도 보정
지형 또는 지면 레벨에서 구면 또는 타원체 표면까지 고도의 변동도 거리 [14]측정의 척도를 변경합니다.두 점 사이의 경사 거리 s(척도 길이)는 다음과 [15]같이 타원체 표면 S의 호 길이로 줄일 수 있다.
여기서 R은 지구의 곡률 방위 반지름에서 평가되며 h는 타원체 높이이다.방정식의 오른쪽에 있는 첫 번째 항은 평균 표고를 설명하고 두 번째 항은 기울기를 설명합니다.위의 지구 표준 단면 길이를 타원체 측지선 길이로 더 줄이는 것은 무시할 [15]수 있는 경우가 많다.
「 」를 참조해 주세요.
레퍼런스
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외부 링크
- 온라인 지오데식 계산기(GeographicLib 기반).
- 온라인 측지학 참고 문헌입니다.