대순환 항법

지구상에 그려진 치아교정 코스.

대순환 항법 또는 치아교정 항법(교정 과정 관련, 그리스어 οορó, 직각, Δδρóó, 경로)은 큰 원을 따라 선박(선박 또는 항공기)을 항해하는 관습이다. 그러한 노선은 가상 지구상의 두 지점 사이의 최단 거리를 산출한다.^[1]

코스

그림 1. (φ₁, λ₁)와 (φ₂, λ₂) 사이의 큰 원 경로.

큰 원 경로는 구면 삼각법을 사용하여 찾을 수 있다; 이것은 역 지오데틱 문제의 구면 버전이다. 항해사가 P₁ = (1998년₁, λ₁)에서 시작하여 P₂ = ( (, φ₂₂) 지점까지 큰 원을 이동할 계획이라면(그림 1, φ은 위도, 북위, 북위, λ은 경도, 동위, α)는 구면 삼각형을 풀기 위한 공식에 의해 초기 및 최종 과정인 α와₁ α가₂ 주어진다.

{\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}

여기서 λ₁₂ = λ₂ - λ₁^{[note 1]} 및 α₁,α의₂ 사분원은 접선 공식에 있는 분자와 분모의 부호로 결정된다(예: atan2 함수 사용). 두 점 사이의 중심각인 σ은₁₂ 다음과 같이 주어진다.

\tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.

^[주2]^[주3]

(이 공식의 분자는 tanα를₁ 결정하는 데 사용된 양을 포함한다.) 그러면 큰 원을 따라가는 거리는 s₁₂ = Rσ이₁₂ 될 것이며, 여기서 R은 지구의 가정된 반지름이고 σ은₁₂ 라디안으로 표현된다. 평균 접지 반지름을 사용하여 R = R₁ ≈ 6,371 km(3,959 mi)는 WGS84 타원체 측지 거리의 1% 이내인 거리에₁₂ 대한 결과를 산출한다.

경유지 찾기

P와₁ P₂ 사이의 큰 원 위에서 선택된 점들의 위치인 웨이포인트를 찾기 위해, 우리는 먼저 큰 원을 북쪽 방향으로 적도를 가로지르는 지점인 노드 A로 다시 추정한다: 이 점의 경도를 그림₀ 1을 참조한다. 이 지점에서 방위각인 α는₀ 다음과 같이 주어진다.

\tan \cHB_{0}={\frac {\sin \phi_{1}{1}{1}{1}\sqrt {\cos ^{2}\coses ^{1}+\sin ^{1}\sin ^{1}\2}\pi _{1}.

^[주4]

A에서 P까지의₁ 원과 P까지의₂ 각도는 각각 σ과₀₁ σ이₀₂ 되도록 한다. 그럼 네이피어의 규칙을 이용해서

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

=

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}{

1}{\

cos \alpha _

{1

}}}\

cos = = 0, α₁ =

q

q₁ q \). ½π, σ₀₁ = 0)을 사용한다.

이것은 gives₀₁, when₀₂ = σ₀₁ + σ을₁₂ 준다.

노드의 경도는 다음에서 찾을 수 있다.

{\regated}\tan \frac _{01}&={\frac _{0}\sin \sin \sin \ma _{01}}{01}}}}\cos \cosa \{0}&=\1-\boda _{01}.\end{정렬}}

그림 2 노드(적도 횡단)와 임의 지점(적도, 도) 사이의 큰 원 경로.

마지막으로, 직접 지오데틱 문제의 구형 버전을 사용해 임의의 지점인 P(그림 2 참조)에서 위치와 방위각을 계산한다.^{[note 5]} Napier의 규칙은

{\color.\,\qquad )}\tan \phi ={\fract _{0}\sin \sin \sin ma }{\sqrt }{2}\sin ^{0}\sin ^{2}\chin ^}}}}}}}}}

^[주6]

{\fraged}\tan(\da -\boda _{0})&={\frac \sin \sin \sin \phama }{0},\cos \tan \frac \pa \{0}}}}.\end{정렬}}

σ₀₁, λ, α를 결정하는 데 atan2 함수를 사용해야 한다. 예를 들어 경로의 중간점을 찾으려면 σ = 1⁄2((+σ₀₁₀₂)를 대체하고, 또는 시작점에서 d 거리를 찾으려면 σ = σ₀₁ + d/R을 취한다. 마찬가지로 위도가 가장 큰 원 위의 점인 꼭지점은 σ = +1½2을 대입하여 찾아낸다. 경도 측면에서 경로를 매개변수로 지정하는 것이 편리할 수 있다.

\tan \phi =\filense \phil _{0}\sin(\filenseda -\filenda _{0}).

^{[주 7]}

경도의 일정한 간격의 위도를 찾을 수 있고, 그 결과 위치가 메르카토르 차트로 옮겨져 큰 원을 일련의 굵은 선으로 근사하게 추정할 수 있다. 좌표 $(\phi ,\lambda )$ path, coordinates ) ${\displaystyle(\phi,\lambda )}$ 이(가) 타원체에서 지리 좌표로 해석될 $(\phi ,\lambda )$ 경우, 이러한 방법으로 결정된 경로는 끝점을 연결하는 큰 타원을 제공한다.

이 공식들은 지구의 구형 모델에 적용된다. 그것들은 또한 혁명의 타원체에서 최단 경로, 즉 지오데틱을 찾는 장치인 보조 구체의 거대한 원을 위한 해결에도 사용된다. 타원체 위의 지오데틱스에 관한 기사를 참조하라.

예

발파라이소 φ₁ = -33°, λ₁ = -71.6°, 상하이 φ₂ = 31.4°, λ₂ = 121.8°의 거대한 원 경로를 계산한다.

코스 및 거리 공식은 λ₁₂ = -166.6°,^{[note 8]} α₁ = -94.41°, α₂₁₂ = -78.42°, and = 168.56°를 나타낸다. 지구 반지름을 R = 6371 km로 가정할 때 거리는₁₂ s = 18743 km이다.

경로를 따라 점을 계산하려면 먼저 α₀ = -56.74°, σ₁ = -96.76°, σ₂ = 71.8°, λ₀₁ = 98.07°, λ₀ = -169.67°를 찾는다. 그런 다음 경로의 중간점(예: route = 1½((+σ₁₂) = -12.48°를 취하여 φ = -6.81°, λ = -159.18°, α = -57.36°에 대해 해결한다.

WGS84 타원체에서 지오데틱을 정확하게 계산하면 결과는 α₁ = -94.82°, α₂₁₂ = -78.29°, s = 18752km이다.^[4] 지오데틱의 중간점은 φ = -7.07°, λ = -159.31°, α = -57.45°이다.

Gnomonic 차트

지노모닉 차트에 그려진 직선은 훌륭한 원 트랙이 될 것이다. 이것이 메르카토르 차트로 넘어가면 곡선이 된다. 위치는 경도의 편리한 간격으로 전송되며 이는 메르카토르 차트에 표시된다.

참고 항목

메모들

^ 원형의 거리에 관한 기사에서는 Δλ = λ₁₂, Δσ = σ이라는₁₂ 표기법을 사용한다. 이₀₁ 글의 표기법은 points과 같은 다른 점들 간의 차이를 다루기 위해 필요하다.
^ 더 간단한 공식은
$\displaystyle \cos \coses \coses \coses \coses \coses \cosma \{12}=\sin \phi _{2}\cos \phoda _{12};}$
그러나, 만약₁₂ small이 작다면 이것은 덜 정확하다.
^ 이러한 α₁,α₂, α에₁₂ 대한 방정식은 현대의 계산기와 컴퓨터에서의 구현에 적합하다. 로그가 있는 수작업 계산의 경우, 델람브르의 유사성이^[2] 주로 사용됐다.
${\displaystyle{\begin{정렬}\cos{\tfrac{1}{2}}(\alpha_{2}+\alpha_{1})\sin{\tfrac{1}{2}}\sigma _{12}&, =\sin{\tfrac{1}{2}}(\phi_{2}-\phi_{1})\cos{\tfrac{1}{2}}\lambda _{12},\\\sin{\tfrac{1}{2}}(\alpha_{2}+\alpha_{1})\sin{\tfrac{1}{2}}\sigma _{12}&, =\cos}(\phi_{2}+\phi_{1})\sin{\tfrac{1}{2}}\lambda _{12},\{\tfrac{1}{2}.\\cos{)tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{정렬}}}$
McCaw는^[3] 이러한 방정식을 "로그 형태"라고 말하며, 이는 모든 삼각측량 용어가 제품으로 표시됨을 의미하며, 이는 필요한 테이블 조회 수를 최소화한다. 더욱이 이러한 공식의 중복성은 수작업 계산의 체크 역할을 한다. 이러한 방정식을 사용하여 큰 원의 짧은 경로를 결정할 경우 λ₁₂ ≤ π(그렇지 않으면 더 긴 경로가 발견됨)을 확인할 필요가 있다.
^ 더 간단한 공식은
$\sin \do_{0}=\sin \do_{1}cos \phi _{1};$
그러나 이는 정확도가 낮은 α₀ α ≈ ±1⁄2π이다.
^ P₁, α₁, s가₁₂ 주어진 P의₂ 위치를 찾는 직접 지오데틱 문제도 다음과 같이 구면 삼각형을 풀기 위한 공식으로 해결할 수 있다.
${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma _{12}&, =s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&, =\sin\phi _{1}\cos\sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad{\text{또는}}\\\tan\phi _{2}&, ={\frac{\sin \phi_{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt{(\cos \phi_{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \si.gma _{12}\coS\alpha _{1})^ᆪ+(\sin \sigma_{12}\sin \alpha_{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&, ={\frac{\sin \sigma_{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi_{1}\cos}}_{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\\\lambda _{2}& \sigma, =\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&, ={\frac{\sin \alpha_{1}}{\cos \sigma_{12}\cos _{1}-\tan\와 같이 \alpha.파이 _{1}\sin \sigma _{12}}.\end{정렬}}}$
본문에 제시된 웨이포인트 솔루션은 지정된 위도의 웨이포인트를 찾을 수 있다는 점에서 이 솔루션보다 더 일반적이다. 또한 보조구를 이용하여 타원체에서 지오디지컬을 찾을 때 σ(즉, 노드의 위치)에 대한 해결책이 필요하다.
^ 더 간단한 공식은
${\displaystyle \sin \phi =\cos \cos \posit _{0}\sin \sin \c$
단, φ ±1½2일 때는 정확도가 떨어진다.
^ 다음은 $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ = $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos ( $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos - $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ 0 $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ ) $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}}$ 를 사용한다.
^ λ는₁₂ 필요에 따라 360°를 더하거나 빼서 [-180°, 180°] 범위로 감소한다.

참조

^ Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7 June 2011). Methods and Algorithms in Navigation: Marine Navigation and Safety of Sea Transportation. CRC Press. pp. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
^ Todhunter, I. (1871). Spherical Trigonometry (3rd ed.). MacMillan. p. 26.
^ McCaw, G. T. (1932). "Long lines on the Earth". Empire Survey Review. 1 (6): 259–263. doi:10.1179/sre.1932.1.6.259.
^ Karney, C. F. F. (2013). "Algorithms for geodesics". Journal of Geodesy. 87 (1): 43–55. doi:10.1007/s00190-012-0578-z.

외부 링크

Great Circle – MathWorld Great Circle 설명, 그림 및 방정식에서 유래. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
Great Circle Mapper Interactive 도구로 훌륭한 서클 경로를 계획한다.
두 점 사이의 거리 및 코스를 도출하는 그레이트 서클 계산기
지도 위에 멋진 원을 그리기 위한 원 거리 그래픽 도구. 또한 테이블에서 거리와 방위각을 보여준다.
치과 교정을 위한 Google 지원 프로그램

[2] 원형의 거리에 관한 기사에서는 Δλ = λ₁₂, Δσ = σ이라는₁₂ 표기법을 사용한다. 이₀₁ 글의 표기법은 points과 같은 다른 점들 간의 차이를 다루기 위해 필요하다.

[3] 더 간단한 공식은
$\displaystyle \cos \coses \coses \coses \coses \coses \cosma \{12}=\sin \phi _{2}\cos \phoda _{12};}$
그러나, 만약₁₂ small이 작다면 이것은 덜 정확하다.

[6] 이러한 α₁,α₂, α에₁₂ 대한 방정식은 현대의 계산기와 컴퓨터에서의 구현에 적합하다. 로그가 있는 수작업 계산의 경우, 델람브르의 유사성이^[2] 주로 사용됐다.
${\displaystyle{\begin{정렬}\cos{\tfrac{1}{2}}(\alpha_{2}+\alpha_{1})\sin{\tfrac{1}{2}}\sigma _{12}&, =\sin{\tfrac{1}{2}}(\phi_{2}-\phi_{1})\cos{\tfrac{1}{2}}\lambda _{12},\\\sin{\tfrac{1}{2}}(\alpha_{2}+\alpha_{1})\sin{\tfrac{1}{2}}\sigma _{12}&, =\cos}(\phi_{2}+\phi_{1})\sin{\tfrac{1}{2}}\lambda _{12},\{\tfrac{1}{2}.\\cos{)tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{정렬}}}$
McCaw는^[3] 이러한 방정식을 "로그 형태"라고 말하며, 이는 모든 삼각측량 용어가 제품으로 표시됨을 의미하며, 이는 필요한 테이블 조회 수를 최소화한다. 더욱이 이러한 공식의 중복성은 수작업 계산의 체크 역할을 한다. 이러한 방정식을 사용하여 큰 원의 짧은 경로를 결정할 경우 λ₁₂ ≤ π(그렇지 않으면 더 긴 경로가 발견됨)을 확인할 필요가 있다.

[7] 더 간단한 공식은
$\sin \do_{0}=\sin \do_{1}cos \phi _{1};$
그러나 이는 정확도가 낮은 α₀ α ≈ ±1⁄2π이다.

[8] P₁, α₁, s가₁₂ 주어진 P의₂ 위치를 찾는 직접 지오데틱 문제도 다음과 같이 구면 삼각형을 풀기 위한 공식으로 해결할 수 있다.
${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma _{12}&, =s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&, =\sin\phi _{1}\cos\sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad{\text{또는}}\\\tan\phi _{2}&, ={\frac{\sin \phi_{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt{(\cos \phi_{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \si.gma _{12}\coS\alpha _{1})^ᆪ+(\sin \sigma_{12}\sin \alpha_{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&, ={\frac{\sin \sigma_{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi_{1}\cos}}_{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\\\lambda _{2}& \sigma, =\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&, ={\frac{\sin \alpha_{1}}{\cos \sigma_{12}\cos _{1}-\tan\와 같이 \alpha.파이 _{1}\sin \sigma _{12}}.\end{정렬}}}$
본문에 제시된 웨이포인트 솔루션은 지정된 위도의 웨이포인트를 찾을 수 있다는 점에서 이 솔루션보다 더 일반적이다. 또한 보조구를 이용하여 타원체에서 지오디지컬을 찾을 때 σ(즉, 노드의 위치)에 대한 해결책이 필요하다.

[9] 더 간단한 공식은
${\displaystyle \sin \phi =\cos \cos \posit _{0}\sin \sin \c$
단, φ ±1½2일 때는 정확도가 떨어진다.

[10] 다음은 $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ = $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos ( $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ cos - $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ 0 $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$ ) $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}}$ 를 사용한다.

[11] λ는₁₂ 필요에 따라 360°를 더하거나 빼서 [-180°, 180°] 범위로 감소한다.

[WeintritNeumann2011-1] Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7 June 2011). Methods and Algorithms in Navigation: Marine Navigation and Safety of Sea Transportation. CRC Press. pp. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.

[4] Todhunter, I. (1871). Spherical Trigonometry (3rd ed.). MacMillan. p. 26.

[5] McCaw, G. T. (1932). "Long lines on the Earth". Empire Survey Review. 1 (6): 259–263. doi:10.1179/sre.1932.1.6.259.

[12] Karney, C. F. F. (2013). "Algorithms for geodesics". Journal of Geodesy. 87 (1): 43–55. doi:10.1007/s00190-012-0578-z.

[1]

[note 1]

[주2]

[주3]

[주4]

[note 5]

[주6]

[주 7]

[note 8]

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