심플리컬 콤플렉스

수학에서 단순화 콤플렉스는 점, 선 세그먼트, 삼각형, 그리고 그 n차원 상대들로 구성된 집합이다(그림 참조). 단순화 콤플렉스는 현대의 단순화 호모토피 이론에 나타나는 단순화 집합의 보다 추상적인 개념과 혼동해서는 안 된다. 단순화 단지와 순전히 결합하는 것은 추상적인 단순화 단지다.

정의들

단순 콤플렉스 $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$는 다음과$$ 같은 조건을 만족하는 단순 집합이다.

1. $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 심플렉스 얼굴도 모두 $K$ ${\$ {$K}$에 있다$.$

2. $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K\mathcal{}}$ ${\$ $\$$sigma _{1},\sigma _{2}\{2}{{\mathcal{$${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$$}}}}$의 두 ${\displaystyle {가지\mathrm{}}_{}}$ 단순함의 비어 있지 않은 교차점은 $display$ 1{\$displaystystyle$ \sigma$_$$2}}.$

또한 관련 기하학 없이 느슨하게 말하는 추상적 단순화 복합체의 정의를 참조하십시오.

단순 k-complex $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있는 모든 심플렉스 중 가장 큰 치수가 k와$$ 동일한 단순 복합물이다. 예를 들어, 단순화 2-복합체는 적어도 하나의 삼각형을 포함해야 하며, 4차원의 단순화 또는 고차원적 단순화를 포함해서는 안 된다.

순수 또는 동질의 단순 k-복소형 $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal{K}}$는 k보다 작은 차원의 모든 단순함이 정확히 k의$$ 일부 단순x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K\mathcal{}}$ ${\$면인 단순 복합체다. 비공식적으로, 순수한 1 콤플렉스 "모양"은 한 묶음의 선으로 만들어졌고, 2 콤플렉스 "모양"은 한 묶음의 삼각형으로 만들어 졌다. 비균형 복합체의 예로는 정점 중 하나에 선 세그먼트가 부착된 삼각형을 들 수 있다. 순수하게 단순화된 콤플렉스는 삼각측량이라고 생각할 수 있으며, 폴리토페스의 정의를 제공한다.

면(facet)은 더 큰 심플렉스(simplex)의 얼굴이 아닌 콤플렉스의 모든 심플렉스(simplex)이다. (simplex의 "얼굴"과 다른 점에 유의하십시오.) 순수한 단순화 콤플렉스는 모든 면이 같은 차원을 갖는 콤플렉스로 생각할 수 있다.

때로는 얼굴이라는 용어가 콤플렉스의 심플렉스(simplex)를 가리키는 말로 쓰이기도 하는데, 심플렉스(simplex)의 얼굴과 혼동하지 않는다.

k-차원 공간에 내재된 단순 복합체의 경우 k-faces를 세포라고 부르기도 한다. 셀이라는 용어는 때때로 셀 콤플렉스의 정의로 이어지며, 세트 동형체를 심플렉스(simplex)로 나타내기 위해 더 넓은 의미로 사용되기도 한다.

때때로 단순한 단지의 운반체라고 불리기도 하는 그 밑바닥의 공간은 그 단순한 단지의 결합이다.

폐쇄, 항성 및 링크

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  두 가지 단순함과 그 폐쇄성.

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  꼭지점과 그 별.

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  꼭지점과 그 연결점.

K를 단순화 콤플렉스로 하고 S를 K의 단순화 집합체로 한다.

S($표시$된 C ${\displaystyle \mathrm{l}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl}$\ S$\})$의 폐쇄는 S. C l S ${\displaystyle \mathrm {Cl}$\$S}$의 각 심플렉스들을 S에 반복적으로 추가함으로써 ${\displaystyle \mathrm{얻을}}$ ${\displaystyle 수}$ 있는 K의 가장 작은 단순 하위 복합물이다.

S의 별(s $t{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle t}$ s ${\displaystyle \mathrm {st}$\ $S$은 S에 있는 각 심플렉스 별들의 조합이다. 단일 심플렉스 s에 대해 s의 별은 s를 면으로^{[clarification needed]} 하는 단순화 집합이다. S의 별은 일반적으로 단순한 복합체 자체가 아니기 때문에 일부 저자들은 ${\displaystyle \mathrm{S}}$의 닫힌 별($S{\displaystyle \mathrm{}}$ t ${\displaystyle \Mathrm$ {$St} \S$을 C l ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$Cl} \mathrm$ {$st} \S}$로 정의한다$$.

The link of S (denoted ${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$) equals ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S\setminus \mathrm {st} \ \mathrm {Cl} \ S}$. It is the closed star of S minus the stars of all faces of S.

대수 위상

대수적 위상에서는 단순화 콤플렉스가 구체적인 계산에 유용한 경우가 많다. 단순화 단지의 호몰로지 집단의 정의에 대해서는, 모든 단순화에서 일관된 방향이 이루어진다면, 해당 연쇄 단지를 직접 읽을 수 있다. 호모토피 이론의 요건은 보다 일반적인 공간인 CW 복합체를 사용하게 한다. 무한 콤플렉스는 대수적 위상에서의 기술적 도구 기본이다. 또한 각 단순화된 하위 집합으로 구성된 유클리드 공간의 하위 공간으로서 단순 복합체의 폴리토프에서의 논의를 참조하십시오. 그 좀 더 구체적인 개념은 알렉산드로프 덕분이다. 여기서 말하는 의미에서의 어떤 유한한 단순화 콤플렉스는 그런 의미에서, 어떤 많은 차원에 폴리토프로 내재될 수 있다. 대수적 위상에서는 유한한 단순화 콤플렉스의 기하학적 실현에 동형질인 소형 위상학적 공간을 보통 다면체라고 부른다(스페인어 1966, 마우더 1996, 힐튼 앤 윌리 1967 참조).

콤비네이터틱스

Combinatorialists often study the f-vector of a simplicial d-complex Δ, which is the integer sequence ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$, where f_i is the number of (i−1)-dimensional faces of Δ (by convention, f₀ = 1 unless Δ is the empty complex). 예를 들어 Δ가 팔면체의 경계면인 경우, 그 f-벡터는 (1, 6, 12, 8)이고, Δ가 위에 그려진 첫 번째 단순 복합체라면, 그 f-벡터는 (1, 18, 23, 8, 1)이다. 단순 콤플렉스의 가능한 f-벡터의 완전한 특성은 Kruskal-Katona 정리에 의해 주어진다.

단순 d-복소 Δ의 f-벡터를 다항식 계수로 사용함으로써(지수의 감소 순서로 작성됨) Δ의 f-폴리놈을 얻는다. 위의 두 예제에서 f-폴리노미알은 각각 x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 12x}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle$ x$^{3}+6x^{2$}+6x^{2$}+12x+8}$ 및$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 23}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+${\displaystyle 1}$ + 8 +$1$ {\$displaystyle x^{$4}+18x^{$3}+8x^{$2x^{2}+$8x$+8x+}{2x+}{2x+}{2x+}{2x$+1$1$}$

결합론자들은 종종 단순 복합 Δ의 h-벡터에 상당히 관심이 있는데, 이는 Δ의 f-폴리노멀에 x - 1을 꽂음으로써 발생하는 다항식 계수의 순서다. 형식적으로 Δ의 f-polynormal을 의미하는 F_Δ(x)를 쓰면 Δ의 h-polynormal은

${\displaystyle F_{d}x-1}=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{1}x^{d}+h}+{2}x^{d-1}+{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}:{d+1}.$

Δ의 h 벡터는

${\displaystyle(h_{0},h_{1},h_{2},\cdots,h_{d+1}).}$

우리는 다음과 같이 팔면경계(우리의 첫 번째 예)의 h-벡터를 계산한다.

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1+1}$

그래서 팔면체의 경계의 h-벡터는 (1, 3, 3, 1)이다. 이 h-벡터가 대칭인 것은 사고가 아니다. 사실, 이러한 현상은 Δ가 단순한 폴리토프의 경계일 때마다 일어난다(이것은 Dehn-Sommervilleden-Sommerville 방정식이다. 그러나 일반적으로 단순화 단지의 h-벡터가 반드시 긍정적이지도 않다. 예를 들어, Δ를 공통 꼭지점에서만 교차하는 두 삼각형에 의해 주어진 2-복잡으로 본다면, 결과 h-벡터는 (1, 3, -2)이다.

모든 단순한 폴리토프 h-벡터의 완전한 특성은 스탠리, 빌레라, 리의 유명한 g-them에 의해 주어진다.

단순화 콤플렉스는 구체 패킹의 접촉 그래프(해당 패킹 요소가 서로 닿으면 정점이 구와 가장자리의 중심인 그래프)와 기하학적 구조가 같다고 볼 수 있으며, 이와 같이 터치 페어의 수(1-s)와 같은 구 패킹의 결합체를 결정하는 데 사용할 수 있다.구면 패킹에서 3중주(2중주)를 만지고 4중주(3중주)를 만진다.

참고 항목

• 추상적 단순화 복합체
• 이심분할
• 인과 동적 삼각측량
• 델타 집합
• 폴리곤 체인 – 1차원 단순 복합체
• 터커 보조정리

참조

• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraic Topology, Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Maunder, Charles R.F. (1996), Algebraic Topology (Reprint of the 1980 ed.), Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-69131-4, MR 1402473
• Hilton, Peter J.; Wylie, Shaun (1967), Homology Theory, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-09422-4, MR 0115161

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Simplicial complex". MathWorld.
• 노먼 J. 와일드버거 "단순하고 단순한 복합체". 유투브 토크..