디랜지먼트

결합수학에서, 교란이란 집합의 원소를 순열하는 것으로, 원소가 원래 위치에 나타나지 않는 것을 말한다.즉, 변칙은 고정된 포인트가 없는 순열이다.

n 크기 집합의 변이 수를 n의 하위 요인 또는 n-th 변이 번호 또는 n-th de Montmort 숫자로 알려져 있다.일반적으로 사용되는 하위 요인에 대한 표기에는 !n, D_n, d 또는_n n이 포함된다.^[1][2]

하위 요인 !n은 n!/e에 가장 가까운 정수와 같으며, 여기서 n!은 n의 인자를 나타내고 e는 오일러의 수이다.^[3]

난해도를 세는 문제는 1708년 피에르 레이몬드 드 몽모트에^[4] 의해 처음 고려되었다; 그는 니콜라스 베르누이가 거의 동시에 그랬던 것처럼 1713년에 그것을 해결했다.

예

한 교수가 A, B, C, D 등 4명의 학생들에게 시험을 주었고, 그들이 서로의 시험 점수를 매기기를 원한다고 가정해보자.물론, 어떤 학생도 자신의 시험 성적을 매겨서는 안 된다.교수가 학생들에게 시험을 다시 돌려줄 수 있는 방법은 몇 가지인가? 즉, 학생들이 자신의 시험을 다시 받지 못하도록 할 수 있는 방법은 몇 가지인가?시험 반환을 위한 24개의 순열(4!) 중에서,

ABCD,	ABC,	ACBD,	ACDB,	ADBC,	ADCB,
BACD,	BADC,	BCAD,	BCDA,	BDAC,	BDCA,
CABD,	CADB,	CBAD,	CBDA,	CDAB,	CDBA,
DABC,	DACB,	DBAC,	DBCA,	DCAB,	DCBA.

단지 9가지 색상이 있을 뿐이다(위의 파란색 이탤릭체로 표현된다.이 4인조 세트의 다른 모든 순열에서, 적어도 한 명의 학생은 그들 자신의 시험을 다시 받는다(대담한 빨간색으로 표시된다.

문제의 또 다른 버전은 우리가 각각 다른 사람에게 주소가 지정된 n개의 문자를 미리 주소가 지정된 봉투에 넣을 수 있는 방법의 수를 요구할 때 발생한다.

계량해석

집합의 변이도를 계산하면 모자(h ~ h라고 부름)가 n명(P₁ ~ P_n)에게 돌아갈 수 있는 방법의 수를 고려하여 모자(H₁ ~ H_n)가 주인에게 돌아가지 않도록 하는 해트 체크 문제에 해당된다.^[5]

각 사람은 자신의 모자가 아닌 n - 1 모자 중 하나를 받을 수 있다.P가₁ h를_i 받는 모자에 전화를 걸어 h의_i 소유자를 고려하라: P는_i P의₁ 모자, h₁ 또는 다른 어떤 것을 받는다.따라서 이 문제는 가능한 두 가지 경우로 나뉜다.

1. P는_i h가₁ 아닌 다른 모자를 받는다.이 경우는 N - 1인, N - 1인 모자의 경우 P 외에₁ n - 1인 모자의 경우 나머지 n - 1인 모자의 경우(P_i 이외의 P의_j 경우, 상상할 수 없는 모자는 h인_j 반면 P의_i 경우 h인₁ 경우 h인 경우)가 있기 때문에 n - 1인, n - 1인 모자의 문제를 해결하는 것과 같다.이것을 볼 수 있는 또 다른 방법은 h에서_1i h로 이름을 바꾸는 것이다. 여기서 derange는 더 노골적이다: 2에서 n까지의 어떤 j에 대해서도 P는_j h를_j 받을 수 없다.
2. P는_i h를₁ 받는다.이 경우 문제는₁ P가_i h의 모자를 받았고_i P가₁ h의 모자를 받았기 때문에 n - 2인 및 n - 2인자로 감소하여 사실상 이 두 가지 모두를 더 이상 고려하지 않게 된다.

P가₁ 받을 수 있는 n - 1 모자 각각에 대해, P₂, …, P가_n 모두 모자를 받을 수 있는 방법의 수는 두 경우에 대한 카운트의 합이다.

이것은 해트 체크 문제에 대한 해결책을 우리에게 준다: 대수학적으로 말해서, n-element 세트의 변이들의 숫자!n은

${\displaystyle !}$ ${\displaystyle n}$=${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$-$$${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle }$! (${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ -${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$+${\displaystyle }$(${\displaystyle }$n - ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle !n=(n-1)({!(n-1)}+{!(n-2)}:$$$$n$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ n\$geq 2},$

여기서${\displaystyle }$! ${\displaystyle 0}$= 1 ${\displaystyle !0=1}$ 및${\displaystyle }$! 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle !1=0}$^[6].

작은 길이의 변색 횟수는 아래 표에 제시되어 있다.

소형 n에 대한 n-element 세트(OEIS의 시퀀스 A000166)의 변형 횟수

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
!n	1	0	1	2	9	44	265	1,854	14,833	133,496	1,334,961	14,684,570	176,214,841	2,290,792,932

위에 주어진 공식과 동등한 !n에 대한 다양한 다른 표현들이 있다.여기에는 다음이 포함된다.

${\$$}}{{\displaystyle n\geq$ 0$}$에 $대한$ $}}$

그리고

${\$$}}{e}\오른쪽]=\왼쪽\l바닥 {\frac{n!$$}}{e}+{\frac${1$}{1$}{2$}}\오른쪽\표시장치$}에 대한 ${\displaystyle n\geq 1,}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$은(는) 가장 가까운 정수 함수이고${\displaystyle }$and ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\$은(는) 바닥 함수다.^[3][6]

기타 관련 공식은 다음과^[7] 같다.

${\displaystyle !n=\left\lfloor {n!+1}{e}\right\bloor,\bloor \n\geq 1,}$

$\displaystyle !n=\왼쪽\lfloor \left(e+e^{-1}\오른쪽)n!\right\jeq 2,}$

그리고

${\displaystyle !n!-\sum _{i=1}^{n}{n \선택 i}\cdot {!(n-i)},\propert \n\geq 1.}$

다음과 같은 재발도 지속된다.^[6]

${\displaystyle !n={\case}1&{\text}{{n=0},\n\left(!(n-1)\right)++(-1)^{n}&{\text{}}}}0.\end{case}}}$

포함-제외원칙에 의한 파생

또한 n-set의 변이 횟수에 대한 비반복 공식도 도출할 수 있다.$1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k\mathrm{nn}}${\$displaystyle 1\leq k_leq n}$에 대해 우리는$$ ${\displaystyle S_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 k ${\displaystyle k}$ -th$$ 객체를 고정하는 n 객체의 순열 집합으로$$ 정의한다.이러한 집합의 i 집합의 임의 교차점은 i 객체의 특정 집합을 수정하므로${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$-${\displaystyle }$i ${\displaystyle )!}$ ${\displaystyle (n-i)!$}$$순열$$.($n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$ $\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{}$) ${\$n$\선택 i}$이(가) 있으므로 포함-제외 원칙이 산출된다.

${\displaystyle {\begin{aligned} S_{1}\cup \dotsm \cup S_{n} &=\sum _{i}\left S_{i}\right -\sum _{i<j}\left S_{i}\cap S_{j}\right +\sum _{i<j<k}\left S_{i}\cap S_{j}\cap S_{k}\right +\cdots +(-1)^{n+1}\left S_{1}\cap \dotsm \cap S_{n}\right \\&={n \choose 1}(n-1)!-{n \choose 2}(n-2)!+{n \선택 3}(n-3)!-\cdots +(-1)^{n+1}{n \선택 n}0!\\&=\sum _{i=1}^{n(-1)^{i+1}{n \n 선택 i}(n-i)!\\&=n!\ \sum _{i=1}^{n}{(-1)^{i+1} \over i!}}\end{정렬}}}$

그리고 교란이란 n개의 물체를 하나도 고치지 않는 순열이기 때문에, 이것은 암시한다.

${\displaystyle !n!-\왼쪽 S_{1}\cup \cup S_{n}\right =n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}}{i!}}.}$

n이 다가옴에 따른 변칙의 수 증가 ∞

보낸 사람

${\displaystyle !n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}}{i!}}}$

그리고

${\displaystyle e^{x}=\sum _{i=0}^{\infit }{x^{i} \over i!}}$

$x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$을 대체하여$\$ x$=-1$을 즉시$$ 얻음

$\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{!n \overn!}}=\lim _{n\to \inflt }\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}}=e^{-1}\약 0.367879\ldots .}$

이것은 무작위로 선택된 많은 수의 물체의 순열이 변질일 확률의 한계다.확률은 n이 증가함에 따라 매우 빠르게 이 한계로 수렴되며, 이것이 바로 !n이 n!/e에 가장 가까운 정수인 이유다.위의 세미로그 그래프는 변주 그래프가 순열 그래프를 거의 일정한 값으로 뒤처지게 한다는 것을 보여준다.

이 계산과 위의 한계에 대한 자세한 내용은 무작위 순열 통계에 관한 글에서 찾을 수 있다.

벨 수 측면에서 점근확대

벨 수 측면에서 변색 횟수에 대한 점증적 확장은 다음과 같다.

${\displaystyle !n={\frac {n!}}{e}+\sum _{k=1}^{m}\왼쪽(-1\오른쪽)^{n+k-1}{n+k-1}{n^{k}}{n^{k}}}+O\왼쪽({\frac {1}{n^{m+1}}}\오른쪽),}}}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 고정 양의 정수이고, ${\displaystyle B_{}}$ k ${\$는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -th$$ Bell 번호를 나타낸다.더욱이 큰 O기가 내포한 $상수$는 B${\displaystyle {\mathrm{m}}_{}}$ + 1 ${\$을 초과하지 않는다$.$^[8]

일반화

프로블렘 데 렌컨트리에서는 size-n 집합의 순열 수가 정확히 k개의 고정점을 갖는지를 묻는다.

변조는 제한된 순열의 넓은 영역의 한 예다.예를 들어, 메네지 문제는 이성 커플이 남자-여자-여자-여자-여자가 앉아있는지 물어본다.테이블 주위에, 그들은 얼마나 많은 방법으로 앉을 수 있을까? 그래서 아무도 그의 또는 그녀의 파트너 옆에 앉지 않을 것인가?

More formally, given sets A and S, and some sets U and V of surjections A → S, we often wish to know the number of pairs of functions (f, g) such that f is in U and g is in V, and for all a in A, f(a) ≠ g(a); in other words, where for each f and g, there exists a derangement φ of S such that f(a) = φ(g(a)).

또 다른 일반화는 다음과 같은 문제다.

주어진 단어의 고정 글자가 없는 아나그램은 몇 개인가?

예를 들어, n글자 A와 m글자 B와 같이 두 개의 다른 문자로만 이루어진 단어의 경우, 대답은 물론 n = m인지 여부에 따라 1이나 0으로 되어 있는데, 고정된 문자 없이 아그램이 형성되는 유일한 방법은 모든 A를 B와 교환하는 것인데, 이는 n = m일 경우에만 가능하다.일반적인 경우, 문자 X₁, 문자₂₂ X, 문자_r X가_1r n인 단어의 경우, (포함 제외 공식을 적절히 사용한 후) 답이 다음과 같은 형식을 갖는 것으로 나타난다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\n_{1}:{n_{1}:{n_{2}}(x)\cdots P_{n_{r}}}(x) e^{-x}\,dx,}$

다항식 P의_n 특정 시퀀스에 대해, 여기서 P는_n n도를 가진다.그러나 사례 r = 2에 대한 위의 답변은 직교 관계를 제공하며, P가_n 라구에르 다항식(쉽게 결정되는 부호까지)인 경우다.^[9]

특히 고전적인 진부함을 위해서.

${\displaystyle !n=\int _{0}^{\infit }(x-1)^{n^{-x}dx.}$

계산 복잡성

주어진 순열 그룹(순열 그룹을 생성하는 주어진 순열 집합으로 설명됨)에 어떤 변칙이 있는지 여부를 결정하는 것은 NP-완전이다.^[10]

참조

외부 링크

무료 사전인 Wiktionary에서 이상한 점을 찾아 보십시오.

• Baez, John (2003). "Let's get deranged!" (PDF).
• Bogart, Kenneth P.; Doyle, Peter G. (1985). "Non-sexist solution of the ménage problem".
• Dickau, Robert M. "Derangement diagrams". Mathematical Figures Using Mathematica.
• Hassani, Mehdi. "Derangements and Applications". Journal of Integer Sequences (JIS), Volume 6, Issue 1, Article 03.1.2, 2003.
• Weisstein, Eric W. "Derangement". MathWorld–A Wolfram Web Resource.