상부 반평면

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "상단면" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2010년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

수학에서 위쪽 반평면 ${\displaystyle H\mathcal{}}$, ${\displaystyle \,{\mathcal {H}\}\}$은(는) y가 0인 데카르트 평면의 점(x, y) 집합이다$$.

복합면

수학자들은 복잡한 평면으로 데카르트 평면을 식별하는 경우가 있으며, 그 다음 상반면(상반면)은 양의 가상 부분을 갖는 복잡한 숫자의 집합에 해당한다.

${\displaystyle {\mathcal{H}\equiv \{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathb {R}\}.}$

용어는 복잡한 숫자 x + iy를 데카르트 좌표가 부여된 평면의 점(x, y)으로 공통적으로 시각화하는 것에서 비롯된다.y축이 수직 방향일 때, "상단면"은 x축 위의 영역에 해당하며, 따라서 y > 0이 되는 복잡한 숫자에 해당한다.

그것은 복잡한 분석, 특히 모듈형 형태에 관심 있는 많은 기능의 영역이다.y < 0으로 정의되는 하의 반평면은 동등하게 좋으나 관습에 의해 덜 사용된다.The open unit disk ${\displaystyle \,{\mathcal {D}}\,}$ (the set of all complex numbers of absolute value less than one) is equivalent by a conformal mapping to ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$ (see "Poincaré metric"), meaning that it is usually possible to pass between ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\$$,}$ 및$$ ${\displaystyle D\mathcal{}}$. ${\displaystyle \,{\mathcal {D}\;$$}$

푸앵카레 반평면 모델이 쌍곡 운동을 검사하는 방법을 제공하는 쌍곡 기하학에서도 중요한 역할을 한다.푸앵카레 측정기준은 공간에 쌍곡선 측정기준을 제공한다.null

표면의 균일화 정리는 상부 하프 평면이 일정한 가우스 곡면성을 가진 표면의 범용 덮개 공간이라고 명시한다.null

닫힌 상부 하프 평면은 상부 하프 평면과 실제 축의 결합이다.상반면 폐쇄다.null

아핀 기하학

상부 하프 평면의 부착 변형에는 다음이 포함된다.

(1) 교대조 (x,y) → (x + c, y), c ∈ ℝ 및

(2) 팽창 (x, y) → (λ x, λ y), λ > 0.

제안:A와 B를 경계 중앙에 있는 위쪽 반평면에 반원형으로 놓아라.그리고 A에서 B로 가는 아핀 매핑이 있다.null

교정: 먼저 A의 중심을 (0,0)으로 이동시킨다.그런 다음 λ = (B의 지름)/(A의 지름)를 취하여 팽창시킨다.그런 다음 (0,0)을 B의 중심으로 이동시킨다.

정의: ${\displaystyle \\{\mathcal {Z}\equiv {\bigl \{}\{2}\tfrac {1}\theeta \,\right)\;;;;0\theta <\pi \,{\bigr \}.}}$

${\displaystyle \mathcal{Z}}$ $displaystyle \,{\mathcal {Z}\},}$은(는), ${\displaystyle =(}$ )) = ${\displaystyle \cos }$(${\displaystyle }$\) ${\displaystyle \mathrm{polar}\text{.}}$ ${\displaystyle \rho(\theta )=\cos \theta ~.}$을(으)를 중심으로 하는 반지름의 원으로 인식할 수 있다$$.

발의안: (0,0), ${\displaystyle \rho }$ (${\displaystyle \theta }$ ) ${\$ ${\displaystyle Z}$ , ${\displaystyle \,{\\\\\\\\\data$ ${\displaystyle \theta \},}$($tan ⁡$\ )는$$시준점이다.null

실제로 ${\displaystyle Z\mathcal{}}$ $displaystyle \,{\mathcal {Z}\},}$은(는 단위 원 안에 있는{(,y ) > {\$displaystyle {\bigl$ \, $(\$1,$y\)\,$\, \, \$y>0\,{\bigr \},}\},},},},},},},},},},},},},},},.$Indeed, the diagonal from (0,0) to ${\displaystyle \,(\,1,\tan \theta \,)\,}$ has squared length ${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \,,}$ so that ${\displaystyle \,\rho (\theta )=\cos \theta \,}$ is the reciprocal of that length.null

미터법 기하학

상단 하프 평면에서 두 점 p와 q 사이의 거리는 다음과 같이 일관되게 정의될 수 있다.p에서 q까지의 세그먼트의 수직 이등분선은 경계를 교차하거나 그것에 평행하다.후자의 경우 p와 q는 경계와 수직인 광선에 놓여 있고 로그 측정은 팽창 시 불변 거리를 정의하는 데 사용될 수 있다.앞의 경우 p와 q는 수직 이등분선과 경계의 교차점에 중심을 둔 원 위에 놓여 있다.위의 제안으로 이 원 아핀 움직임에 의해 Z.{\displaystyle \,{{Z\mathcal}}\와 같이 점검해 보십시오.}Z{\displaystyle \,{{Z\mathcal}}\,에 Distances}{(1, y)는 y>0}{\displaystyle{\bigl){}(\,1,y\,)\, \,y&gt에 포인트로 통신한 사용하고 0\,{\bigr)}}정의될 수 있고 이동될 수 있다.\,}그리고 이 광선에 대한 로그 측정이요그 결과 상부 하프 평면은 미터법 공간이 된다.이 미터법 공간의 총칭은 쌍곡면이다.쌍곡 기하학 모델의 관점에서, 이 모델은 푸앵카레 반평면 모델로 자주 지정된다.null

일반화

미분 기하학에서 한 가지 자연적인 일반화는 쌍곡선 ${\displaystyle {n-space}^{}{}^{}}$H$$n , {\$displaystyle$\,{\$mathcal{H$}^{n$}\}}$일 뿐이며, 단면 곡률 -1이 일정한 n차원 리만 다지관 다지관이다.이 용어에서 상단 하프 평면은 실제 치수 2를 가지므로$$ H ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ $displaystyle \,{\mathcal{H}^{2}\}$이다.null

수 이론에서 힐버트 모듈형식의 이론은 상부 하프 평면의 n개 복사본의$$ 직접 제품 H ${\displaystyle n^{}}$ $displaystyle \,{\mathcal{H}^{n}\}$에 대한 특정 기능의 연구와 관련이 있다.그러나 숫자 이론가들이 흥미롭게 생각하는 또 다른 공간은 시겔 모듈형 형태의 영역인$$ 시겔 상부 반공간 ${\displaystyle {Hn}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle \,{\mathcal{H}_{n}\}}$이다.null

참고 항목

• 쿠스프 근린
• 확장 복합 상부 하프 평면
• 후치안족
• 기본 도메인
• 반공간
• 클라인 그룹
• 모듈 그룹
• 리만 표면
• 슈바르츠-알프스-픽 정리
• 타원곡선의 모듈리 스택

참조

• Weisstein, Eric W. "Upper Half-Plane". MathWorld.