우정의 역설

7~8세 아동의 소셜 네트워크 다이어그램. 각 아동에게 수업 시간에 옆자리에 앉고 싶은 두 명을 표시하도록 요청하여 매핑합니다.대부분의 아이들은 그들이 연결되어 있는 평균보다 적은 수의 연결을 가지고 있다.

우정의 역설은 사회학자 스콧 L.에 의해 처음 관찰된 현상이다.1991년 Feld는 대부분의 사람들이 평균적으로 ^[1]그들의 친구들보다 적은 친구를 가지고 있다고 말했다.그것은 더 많은 친구를 가진 사람들이 자신의 친구 그룹에 있을 가능성이 더 높은 표본추출 편향의 한 형태로 설명될 수 있다.즉, 친구가 거의 없는 사람과 친구가 될 가능성이 적다.이에 반하여, 대부분의 사람들은 그들이 그들의 ^[2]^[3]^[4]^[5]친구들보다 더 많은 친구를 가지고 있다고 믿는다.

같은 관찰이 우정보다 다른 관계에 의해 정의된 소셜 네트워크에도 더 일반적으로 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 대부분의 사람들의 성적 파트너는 그들이 가진 ^[6]^[7]것보다 더 많은 수의 성적 파트너를 가졌습니다.

우정의 역설은 네트워크 구조가 개인의 로컬 ^[8]^[9]관찰을 어떻게 크게 왜곡시킬 수 있는지를 보여주는 예입니다.

수학적 설명

그 역설적인 성질에도 불구하고, 그 현상은 현실적이며, 소셜 네트워크의 일반적인 수학적 속성의 결과로 설명될 수 있다.이 뒤에 있는 수학은 산술-기하 평균 부등식과 코시-슈바르츠 ^[10]부등식과 직접적으로 관련이 있다.

공식적으로 Feld는 소셜 네트워크가 무방향 $그래프$ G = ( $V,$ $E)$ 로 표현된다고 가정한다. 여기서 정점의 집합 V는 소셜 네트워크의 사람들에 대응하고, 가장자리의 집합 E는 사람 쌍 사이의 우정 관계에 대응한다.즉, 그는 우정이 대칭적인 관계라고 가정합니다. $만약$ x가 $y$ 의 친구라면 $y$ 는 $x$ 의 친구입니다.따라서 $x$ 와 y $사이$ 의 우정은 $모서리$ { $x,$ y}로 모델링되며, 개인이 가진 친구의 수는 정점의 정도에 해당합니다.따라서 소셜 네트워크에서 한 사람의 평균 친구 수는 그래프에서 꼭지점의 평균 정도에 의해 주어집니다.즉, $정점$ v가 $d (v)$ 의 가장자리와 접촉하는 경우 $(d ($ v)의 친구를 가진 사람을 나타냄), 그래프에서 임의의 $사람$ 의 평균 친구 수 μ이다.

\mu = sum _ { v \ in V } d ( v ) { V } } = sm frac { 2 E } { V } 。

전형적인 친구가 가지고 있는 평균적인 친구 수는 무작위로 사람을 선택하고 그들의 친구가 평균적으로 얼마나 많은지를 계산함으로써 모델화 될 수 있다.이는 그래프의 가장자리(친구 쌍을 나타냄)와 해당 가장자리의 끝점(친구 중 하나)을 균일하게 랜덤으로 선택하고 선택한 끝점의 정도를 다시 계산하는 것과 같습니다.특정 $정점$ v {\ $display$ v $}$ 가 선택될 확률은 다음과 같습니다.

{\frac {d(v)}{\frac {1}{2}}.

첫 번째 인자는 선택한 모서리에 정점이 포함될 가능성에 해당하며, 정점에 친구가 많을수록 이 인자가 증가합니다.반감 계수는 각 모서리에 두 개의 정점이 있다는 사실에서 비롯됩니다.그래서 (임의로 선택한) 친구의 친구 수에 대한 기대치는

\sum _{v}\leftfrac {d(v)}{E}}}{\frac {1}{2}}\right)d(v)=sum frac {{v}d(v)^2}}{2 E }}.

우리는 분산의 정의를 통해 알 수 있다.

{{v}d(v)^2}}{V}}=\mu^{2}+\mu^{2

$\sigma ^{2}$ 서 § 2 $(\$ 는 $\sigma ^{2}$ 그래프 내의 도수의 차이입니다.이를 통해 원하는 기대치를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

{{displaystyle {{frac _{v}d(v)}{2 E }}={2 E }}}({mu ^2}+\frac ^{2})={mu } + {\frac {{2} =\mu + {\frac ^{2} } } } ={\mu }.}

(소셜 네트워크의 일반적인 것과 같이) 정점이 다양한 그래프에 대해 § $($ 스타일 ${sigma }^{$ 2 ${\sigma }^{2}$ })는 엄밀하게 양의 값이며, 이는 친구의 평균 정도가 랜덤 노드의 평균 정도보다 크다는 것을 의미합니다.

첫 번째 용어가 어떻게 생겨났는지 이해하는 또 다른 방법은 다음과 같다. $노드$ u는 각 $우정(u,$ v)에 대해 v는 $친구$ 이며 v에는 d $(v)$ 친구가 $있다고$ 언급합니다. $이런$ 얘기를 하는 친구들이 $있어요.$ 따라서 d $(v)$ 항의 $제곱$ 입니다.네트워크상의 모든 우정에 대해 $u$ 와 v의 관점에서 이것을 추가해, 분자를 부여합니다.분모는 이러한 우정의 총수이며, 이는 네트워크의 총 에지( $U$ 의 관점에서 한 쪽과 v의 $관점$ 에서 다른 쪽)의 두 배입니다.

이 분석 후 펠드는 분류적 혼합과 같은 소셜 네트워크의 이론에 근거하여 두 친구가 가진 친구 수 사이의 통계적 상관관계에 대해 몇 가지 질적 가정을 하고 친구가 자신보다 더 많은 친구를 가진 사람의 수에 대해 이러한 가정이 의미하는 바를 분석합니다.이 분석에 근거해, 그는 실제의 소셜 네트워크에서는, 대부분의 사람들이 친구 수의 평균보다 적은 수의 친구를 가질 가능성이 있다고 결론지었다.그러나, 이 결론은 수학적 확실성이 아니다. 소셜 네트워크로 발생할 가능성은 낮지만 대부분의 정점이 이웃의 평균보다 높은 정도를 갖는 무방향 그래프(예: 큰 전체 그래프에서 단일 모서리를 제거하여 형성된 그래프)가 존재한다.

우정 패러독스는 그래프 이론의 용어로 "네트워크에서 랜덤으로 선택된 노드의 평균 정도가 랜덤으로 선택된 노드의 평균 수준보다 작다"고 재작성할 수 있지만, 이는 정확한 평균화 메커니즘(즉 매크로 대 마이크로 평균화)을 명시하지 않은 상태로 남는다.G $G=(V,E)$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ E $G=(V,E)$ ) { $displaystyle$ G=( $V,E)}$ 을(를 $G=(V,E)$ ) V $|V|=N$ { $displaystyle$ V $= N$ } $|E|=M$ E $|E|=M$ { $displaystyle$ E $= M$ 의 무방향 그래프로 하며, 분리된 노드가 없다고 $G=(V,E)$ 합니다. $노드 u$ 의 네이버 $u$ 세트를 $\operatorname {nbr} (u)$ $\operatorname {nbr} (u)$ ( $\operatorname {nbr} (u)$ ) $\operatorname {nbr} (u)$ $displaystyle \operatorname {nbr }$ ( $u$ 로 합니다. $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ 도수는 μ $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ u $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ V $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ ( $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ u ) $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ N $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$ 1 ( \ $displaystyle$ \ mu = $sparfrac {1}$ { $N}$ } \ $sum _$ {u $\in$ V} \ $operatorname {nbr}(u)$ frac $2M let$ 1 입니다 $.$ $splaystyle \operatorname {FF}$ ( $u)=\sum$ _ ${v\in \operatorname {nbr}(u)}$ \ $operatorname {nbr}(v)$ 이것은 2-홉 네이버를 여러 번 카운트할 수 있지만 Feld의 분석도 마찬가지입니다. $\operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1$ $\operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1$ ( $\operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1$ u ) $\operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1$ nbr $\operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1$ 1 \ $displaystyle$ \ $operatorname {FF}$ ( $u)$ \ $geq \operatorname {nbr}$ (u) \ $geq$ 1) $\operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1$ 이 있습니다.펠드는 다음 "마이크로 평균" 수량을 고려했습니다.

({displaystyle {MicroAvg}}=parc frac {sum _ {u\in V}\operatorname {FF} (u)} {\sum _ {u\in V} \operatorname {nbr} (u) }

단, 다음과 같은 (동등하게 합법적인) "매크로 평균" 수량도 있습니다.

{MacroAvg}=sum frac {1}{N}}\sum _{u\in V}{\frac {operatorname {FF}(u)}{\operatorname {nbr}(u)}}

MacroAvg의 계산은 다음과 같은 의사 코드로 나타낼 수 있습니다.

알고리즘 MacroAvg

각 $u\in V$ u $u\in V$ V { $display$ u \ $in$ V $u\in V$ }
1. $Q(u)\leftarrow 0$ Q ( $Q(u)\leftarrow 0$ ) $Q(u)\leftarrow 0$ { $display style$ Q ( $u$ )\ $left arrow$ 0 $Q(u)\leftarrow 0$ }
각 $\{u,v\}\in E$ 엣지 { $\{u,v\}\in E$ $\{u,v\}\in E$ } $†$ $\{u,v\}\in E$ {\ $displaystyle$ \{ $u,v\}\in$ E $}$ 에 대해
1. $Q(u)\left 화살표 Q(u)+{\frac {\operatorname {nbr}(v)}{\operatorname {nbr}(u)}$
2. $Q(v)\left 화살표 Q(v)+{\frac {\operatorname {nbr}(u)}{\operatorname {nbr}(v) }$
${\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)$ ${\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)$ ) V Q ( $u ){$ displaystyle { $frac {$ { N } \ $sum _$ { $u$ \ in $V }$ Q $($ u ) }

"←"는 할당을 나타냅니다.예를 들어 "가장 큰 ← 항목"은 가장 큰 값의 값이 항목 값으로 변경됨을 의미합니다.
"return"은 알고리즘을 종료하고 다음 값을 출력합니다.

각 $\{u,v\}$ 엣지 { $\{u,v\}$ $}({display$ style \{ $u,v\})$ 는 $\{u,v\}$ macroAvg에 기여합니다. ${\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}\geq 2$ ( ${\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}\geq 2$ ) + ${\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}\geq 2$ ( ( ${\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}\geq 2$ u ) ${\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}\geq 2$ 2 $2$ \ $display$ style \ $operatorname$ { $nbr$ } ( $v$ ) { nbr $}$ } { \ } $\min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2$ $\min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2$ a , $\min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2$ > $\min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2$ a $\min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2$ + b a $2$ { \ displaystyle \ $min$ _ { $a$ , $b$ > $0$ } { \ $frac$ { $a$ } + { \ $frac$ { $b$ } { a } $= 2$ $\min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2$ 이렇게 하면,

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

V

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

(

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

)

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

≥

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

M

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

2

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

N

{\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu

μ ( \

displaystyle

{

MacroAvg

}

= sum _

{

u

\

in

V

}Q ( u

) \ 、 {

CD 1 }

따라서 MicroAvg $μ displaystyle$ { $MicroAvg}$ \ $geq \mu$ } ${\text{MacroAvg}}\geq \mu$ MacroAvg ${\text{MacroAvg}}\geq \mu$ μ （ \ $display$ { $MacroAvg$ } \ $geq$ \mu ${\text{MacroAvg}}\geq \mu$ ）가 ${\text{MicroAvg}}\geq \mu$ 모두 존재하지만 이들 ^[11]사이에는 부등식이 없습니다.

적용들

우정 패러독스의 분석은 무작위로 선택된 개인의 친구가 평균보다 더 높은 중심성을 가질 가능성이 있다는 것을 암시한다.이 관찰은 이 랜덤 선택 프로세스를 사용하여 네트워크 ^[12]^[13]^[14]내 모든 노드의 중앙집중성을 복잡하게 계산하지 않고 면역 또는 감염을 감시할 개인을 선택함으로써 전염병 발생을 예측하고 지연시키는 방법으로 사용되어 왔습니다.비슷한 방식으로, 여론 조사와 선거 예측에서, 우정의 역설은 다른 많은 사람들이 어떻게 ^[15]투표할지에 대해 알고 있을 지도 모르는 잘 연결된 사람들에게 다가가서 질문하기 위해 이용되어 왔다.

Christakis와 Fowler에 의한 2010년 연구는 전통적인 감시 조치가 소셜 ^[16]네트워크의 감염을 감시할 때 우정 역설을 사용함으로써 독감 발병이 거의 2주 전에 탐지될 수 있다는 것을 보여주었다.그들은 중심적인 친구들의 건강을 분석하기 위해 우정의 역설을 사용하는 것이 "발병을 예측하는 이상적인 방법이지만, 대부분의 그룹에게는 상세한 정보가 존재하지 않으며, 그것을 생산하는 것은 시간이 많이 ^[17]걸리고 비용이 많이 든다는 것을 발견했다."

우정 패러독스 기반 샘플링(즉, 무작위 친구 샘플링)은 ^[18]^[19]스케일 프리 네트워크의 멱함수 분포 추정을 목적으로 기존의 균일한 샘플링 성능을 능가하는 것으로 이론 및 경험적으로 입증되었다.이는 네트워크를 균일하게 샘플링하면 멱함수 분포의 특징적인 무거운 꼬리 부분으로부터 적절하게 추정할 수 있는 충분한 샘플이 수집되지 않기 때문입니다.그러나 무작위 친구를 샘플링하면 정도 분포의 꼬리 부분에서 더 많은 노드(즉, 더 많은 고차 노드)를 표본에 통합한다.따라서 우정 패러독스 기반 표본 추출은 멱함수 분포의 특징적인 무거운 꼬리를 보다 정확하게 포착하여 ^[19]추정의 편향과 분산을 감소시킨다.

"일반화된 우정 역설"은 우정의 역설은 다른 특징에도 적용된다고 말한다.예를 들어, 한 사람의 공동 저자들은 평균적으로 더 많은 출판물, 더 많은 인용문, 더 많은 ^[20]^[21]^[22]협력자들과 함께 더 두드러질 수 있고, 트위터 팔로워가 ^[23]더 많아질 수 있다.온라인 소셜 네트워크에서 우정과 "행복" 역설이 모두 발생할 수 있다는 것을 증명하기 위해 네트워크의 각 개인에 대한 대규모 트위터 네트워크와 종적 데이터를 사용한 볼렌 외 연구진(2017)^[24]에 의해 주관적 웰빙에도 동일한 효과가 입증되었다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

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[4] 특히 "우정의 끈", 페이지 452를 참조하십시오Felmlee, Diane; Faris, Robert (2013), "Interaction in social networks", in DeLamater, John; Ward, Amanda (eds.), Handbook of Social Psychology (2nd ed.), Springer, pp. 439–464, ISBN 978-9400767720.

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[16] Christakis, Nicholas A.; Fowler, James H. (September 15, 2010). "Social Network Sensors for Early Detection of Contagious Outbreaks". PLOS ONE. 5 (9): e12948. arXiv:1004.4792. Bibcode:2010PLoSO...512948C. doi:10.1371/journal.pone.0012948. PMC 2939797. PMID 20856792.

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[:1-19] Nettasinghe, Buddhika; Krishnamurthy, Vikram (2021-05-19). "Maximum Likelihood Estimation of Power-law Degree Distributions via Friendship Paradox-based Sampling". ACM Transactions on Knowledge Discovery from Data. 15 (6): 1–28. doi:10.1145/3451166. ISSN 1556-4681.

[20] Eom, Young-Ho; Jo, Hang-Hyun (2014), "Generalized friendship paradox in complex networks: The case of scientific collaboration", Scientific Reports, 4, 4603, arXiv:1401.1458, Bibcode:2014NatSR...4E4603E, doi:10.1038/srep04603, PMC 3980335, PMID 24714092

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