위상(전기 회로)

전자회로의 토폴로지는 회로부품의 상호연결망에 의해 취해지는 형태다.성분의 서로 다른 특정 값이나 정격은 동일한 위상이라고 간주된다.위상은 회로 내 구성요소의 물리적 배치나 회로 다이어그램에서의 위치와는 관련이 없다. 위상의 수학 개념과 유사하게, 구성요소 사이에 존재하는 연결에만 관련이 있다.모든 것이 동일한 위상에 해당하는 수많은 물리적 레이아웃과 회로 다이어그램이 있을 수 있다.

엄밀히 말하면, 구성요소를 완전히 다른 유형 중 하나로 교체하는 것은 여전히 동일한 위상이다.그러나 어떤 맥락에서 이러한 것들은 서로 다른 토폴로지로 느슨하게 설명될 수 있다.예를 들어 저역 통과 필터에서 인덕터와 캐패시터를 상호 교환하면 고역 통과 필터가 된다.이는 네트워크 토폴로지가 동일하더라도 하이패스 및 로우패스 토폴로지로 설명될 수 있다.이러한 오브젝트 클래스(즉, 구성요소의 유형이 지정되지만 절대값은 지정되지 않는 네트워크)에 대해 보다 정확한 용어는 프로토타입 네트워크다.

전자 네트워크 위상은 특히 2단자 장치만을 포함하는 네트워크의 경우, 회로 위상은 그래프 이론의 응용으로 볼 수 있다.위상학적 관점에서 그러한 회로의 네트워크 분석에서 네트워크 노드는 그래프 이론의 정점이고 네트워크 분기는 그래프 이론의 가장자리다.

표준 그래프 이론은 능동 부품과 집적 회로와 같은 다중 단자 장치를 다루기 위해 확장될 수 있다.그래프는 무한 네트워크 분석에도 사용될 수 있다.

회로도

이 글의 회로도는 전자제품의 일반적인 규칙을 따른다.^[1] 선은 도체를 나타내고, 채워진 작은 원은 도체의 결합을 나타내고, 열린 작은 원은 외부 세계와의 연결을 위한 단자를 나타낸다.대부분의 경우 임피던스는 직사각형으로 표현된다.실제 회로 다이어그램은 저항기, 인덕터, 캐패시터 등에 특정 기호를 사용하지만 토폴로지는 네트워크의 구성 요소 유형과 관련이 없으므로 일반 임피던스 기호가 대신 사용되었다.

이 글의 그래프 이론 섹션은 네트워크를 나타내는 대안적인 방법을 제공한다.

위상 이름

많은 위상 이름은 도식으로 그릴 때의 모양과 관련이 있다.대부분의 회로는 다양한 방법으로 그려질 수 있으며, 결과적으로 다양한 이름을 가지고 있다.예를 들어, 그림 1.1에 표시된 세 개의 회로는 모두 다르게 보이지만 위상은 동일하다.^[2]

이 예는 위상들이 유사한 알파벳 문자 뒤에 위상들을 명명하는 일반적인 관례를 보여준다.그리스 알파벳 문자도 이런 식으로 사용할 수 있는데, 예를 들어 π(pi) 위상, Δ(delta) 위상 등이 그것이다.

직렬 및 병렬 토폴로지

두 개의 분기가 있는 네트워크의 경우, 가능한 토폴로지는 직렬과 병렬의 두 가지뿐입니다.

이러한 간단한 위상에도 회로의 표시 방법에는 차이가 있다.

세 개의 분기가 있는 네트워크의 경우 네 가지 가능한 토폴로지가 있다.

병렬 직렬 토폴로지는 나중에 논의되는 델타 토폴로지의 또 다른 표현이라는 점에 유의하십시오.

직렬 및 병렬 토폴로지는 점점 더 많은 수의 분기를 사용하여 지속적으로 구성될 수 있다.n개 지점에서 얻을 수 있는 고유 위상 수는 2개다^n-1.분기가 n개 이하인 상태에서 얻을 수 있는 고유 위상의 총수는 2-1개다ⁿ.^[3]

Y 및 Δ 위상

Y와 Δ는 선형 네트워크 분석에서 중요한 위상이다. 왜냐하면 이것들은 가능한 가장 간단한 3단어 네트워크이기 때문이다.선형 회로에 대해 Y-Δ 변환을 사용할 수 있다.이 변환은 직렬 및 병렬 결합의 관점에서 분석할 수 없는 네트워크가 있기 때문에 중요하다.이러한 네트워크는 3상 모터 또는 변압기 권선의 가장 일반적인 위상이기 때문에 3상 전원 회로에서 자주 발생한다.

그 예로는 Δ 네트워크와 병렬로 연결된 Y 네트워크로 구성된 그림 1.6의 네트워크가 있다.네트워크의 두 노드 사이의 임피던스를 계산하는 것이 좋다고 한다.많은 네트워크에서 이는 직렬 또는 병렬 임피던스의 조합에 대한 규칙의 연속적인 적용에 의해 수행될 수 있다.그러나 이 경우 직렬 및 병렬 규칙 외에 Y-Δ 변환이 필요한 경우는 불가능하다.^[4]Y 위상은 별 위상이라고도 불린다.그러나 항성 위상은 단지 3개만이 아니라 동일한 노드에 연결된 많은 가지들의 더 일반적인 경우를 가리킬 수도 있다.^[5]

단순 필터 토폴로지

그림 1.7에 표시된 위상은 일반적으로 필터 및 감쇠기 설계에 사용된다.L-섹션은 전위분할기 위상과 동일한 위상이다.T-절은 Y 위상과 동일한 위상이다.Δ-절은 Δ 위상과 동일한 위상이다.

이 모든 토폴로지는 사다리 토폴로지의 짧은 섹션으로 볼 수 있다.일반적으로 긴 구간은 사다리 위상이라고 설명된다.이러한 종류의 회로는 일반적으로 2포트 네트워크 관점에서 분석되고 특성화된다.^[6]

교량 위상

교량 위상은 교량 정류기, Wheatstone 교량 및 격자 위상 이퀄라이저를 포함하여 선형 및 비선형 애플리케이션 모두에서 많은 용도가 있는 중요한 위상이다.브리지 위상이 회로 다이어그램에서 렌더링되는 몇 가지 방법이 있다.그림 1.8의 첫 번째 렌더링은 브리지 회로의 전통적인 묘사다.두 번째 렌더링은 교량 위상과 직렬 및 병렬 조합에 의해 도출된 위상 간의 동등성을 명확하게 보여준다.세 번째 렌더링은 격자 위상이라고 더 일반적으로 알려져 있다.이것이 토폴로지적으로 동등하다는 것은 그리 명백하지 않다.이는 상단 오른쪽 노드의 우측으로 이동한 상단 왼쪽 노드를 시각화함으로써 실제로 그러한 것임을 알 수 있다.

네트워크 브리지 토폴로지는 입출력 포트가 각각 대각선으로 반대쪽 노드 한 쌍으로 구성된 2포트 네트워크로 사용되고 있는 경우에만 호출하는 것이 일반적이다.그림 1.7의 박스 토폴로지는 브리지 토폴로지와 동일한 것으로 볼 수 있지만 필터의 경우 입력 및 출력 포트는 각각 인접 노드 쌍이다.경우에 따라 브리지 출력 포트의 로드(또는 null 표시) 구성요소는 그림 1.9와 같이 브리지 위상에 포함된다.^[7]

Bridgeed T 및 Twin-T 토폴로지

Bridgeed T 토폴로지는 Zobel 네트워크 기사에서 설명하는 방식으로 브리지 토폴로지에서 도출된다.같은 글에서도 많은 파생 토폴로지가 논의되고 있다.

입력과 출력이 공통(접지) 단자를 공유하는 것이 바람직한 실용적인 응용을 가진 트윈-T 위상도 있다.예를 들어, 입력과 출력 연결이 동축 위상에 의해 이루어지기 때문일 수 있다.입력 및 출력 단자를 일반 브리지 위상에서는 연결할 수 없으며, 따라서 Balance 또는 Null 측정 어플리케이션에 Bridge를 사용하는 경우 Twin-T를 사용한다.위상은 사인파 발생기로도 트윈-T 오실레이터에서 사용된다.그림 1.11의 하단에는 교량 위상과의 연결을 강조하기 위해 Twin-T 위상이 다시 그려졌다.^[8]

무한 위상

사다리 위상은 제한 없이 확장할 수 있으며 필터 설계에 많이 사용된다.래더 위상에는 많은 변화가 있으며, 그 중 일부는 전자 필터 위상 및 복합 이미지 필터 기사에서 논의된다.

사다리 위상의 균형 잡힌 형태는 임의의 질서의 프리즘 측면의 그래프로 볼 수 있다.반프리즘의 측면은 이런 의미에서 반 래더인 위상을 형성한다.사다리 방지 토폴로지는 전압 곱셈 회로, 특히 Cockcroft-Walton 발생기에서 응용 프로그램을 찾는다.또한 이중 사다리 방지 토폴로지를 사용하는 Cockcroft-Walton 발전기의 전파 버전도 있다.^[9]

무한 위상은 격자 또는 브리지-T 섹션과 같은 일부 다른 간단한 위상의 여러 섹션을 계단식으로 배치하여 형성될 수도 있다.격자 부분의 이러한 무한 체인은 전송선의 이론적 분석과 인위적 시뮬레이션에서 발생하지만, 실제적인 회로 구현으로는 거의 사용되지 않는다.^[10]

단자가 세 개 이상인 구성 요소

3개 이상의 단자가 있는 구성 요소를 포함하는 회로는 가능한 위상의 수를 크게 증가시킨다.반대로 토폴로지로 대표되는 서로 다른 회로의 수는 감소하고, 많은 경우 특정 구성 요소가 식별되지 않더라도 토폴로지에서 회로를 쉽게 인식할 수 있다.

그림 1.14.공통 이미터비폴라 접합 트랜지스터 앰프와 같은 기본 앰프 토폴로지

그림 1.15.롱테일 페어 앰프와 같은 밸런스 앰프

더 복잡한 회로에서 설명은 구성 요소의 토폴로지가 아닌 네트워크 포트 사이의 전송 함수의 사양에 따라 진행될 수 있다.^[11]

그래프 이론

그래프 이론은 그래프를 다루는 수학의 한 분야다.네트워크 분석에서 그래프는 분석 중인 네트워크를 나타내기 위해 광범위하게 사용된다.네트워크의 그래프는 네트워크의 특정 측면, 즉 그것의 연결성, 즉 그것의 위상과 관련된 측면만을 포착한다.이것은 많은 네트워크 방정식이 동일한 토폴로지를 가진 네트워크 전체에 불변하기 때문에 네트워크의 유용한 표현과 일반화가 될 수 있다.여기에는 키르흐호프의 법칙과 텔레겐의 정리에서 도출된 방정식이 포함된다.^[12]

역사

그래프 이론은 Kirchhoff의 법칙이 공식화된 거의 순간부터 선형, 수동적 네트워크의 네트워크 분석에 사용되었다.구스타프 키르호프 자신은 1847년 저항성 회로의 루프 분석에서 그래프를 네트워크의 추상적 표현으로 사용했다.^[13]이 접근방식은 나중에 RLC 회로에 일반화되어 저항을 임피던스로 대체했다.1873년 제임스 서점 맥스웰은 노드 분석을 통해 이 분석의 이중화를 제공했다.^[14][15]또한 맥스웰은 노드-어댑턴스 매트릭스의 결정요인이 모든 트리 입장성 제품의 합계와 같다는 위상학적 정리를 담당한다.1900년에 앙리 푸앵카레는 그래프를 발생 행렬로 표현하는 아이디어를 도입하여 대수적 위상 분야를 설립하였다.^[16]1916년 오스왈드 베블렌은 키르흐호프의 분석에 푸앵카레 대수 위상(Poincaré)을 적용했다.^[17]베블렌은 또한 호환되는 네트워크 변수 세트를 선택하는 데 도움이 되는 신장 트리의 도입을 책임지고 있다.^[18]

전기 회로에 적용되는 네트워크 그래프의 포괄적인 카탈로그는 1891년 (1892년 The Electrician의 엔지니어 친화적 기사와 함께) Percy MacMahon이 그의 조사를 직렬과 병렬 조합으로 제한하면서 시작되었다.맥마흔은 이 그래프들을 요크 체인이라고 불렀다.^{[note 1]}로널드 M. 1932년 포스터는 그래프를 무효 또는 순위에 따라 분류하고 소수의 노드를 가진 모든 그래프의 차트를 제공했다.이 작업은 포스터가 1920년 4포트 전화 중계기를 대상으로 조지 캠벨과 협력하면서 이전에 실시한 설문조사에서 비롯되어 8만3,539개의 구별되는 그래프를 제작하였다.^[19]

전기 회로 이론의 오랜 시간 동안 위상은 선형 패시브 네트워크에만 관심이 있었다.반도체 소자와 회로의 최근 발전은 그것들을 다루기 위해 토폴로지에서 새로운 도구를 필요로 했다.회로 복잡성의 엄청난 증가는 컴퓨터 계산의 효율성을 향상시키기 위해 그래프 이론에 결합기를 사용하는 것으로 이어졌다.^[18]

그래프 및 회로 다이어그램

네트워크는 일반적으로 그들을 구성하는 전기 요소의 종류에 의해 분류된다.회로 다이어그램에서 이러한 요소 종류는 각각 고유한 기호를 사용하여 구체적으로 그려진다.저항성 네트워크는 오직 R 요소들로만 구성된 하나의 요소-종류의 네트워크다.마찬가지로 용량성 또는 유도성 네트워크는 한 가지 요소 종류다.RC, RL 및 LC 회로는 단순한 2요소 네트워크다.RLC 회로는 가장 단순한 3요소 종류 네트워크다.저역-통과 필터에 일반적으로 사용되는 LC 래더 네트워크는 많은 요소를 가질 수 있지만 2-element-kind 네트워크의 또 다른 예다.^[20]

반대로 위상은 네트워크의 요소들 사이의 기하학적 관계에만 관심을 가지며, 요소 자체의 종류와는 관련이 없다.네트워크의 위상학적 표현 중심은 네트워크의 그래프다.요소는 그래프의 가장자리로 표현된다.가장자리는 선으로 그려지며, 다른 가장자리(요소)가 나올 수 있는 점이나 작은 원에 종단된다.회로 분석에서 그래프의 가장자리를 가지라고 한다.점들은 그래프의 정점이라고 불리며 네트워크의 노드를 나타낸다.노드와 꼭지점은 네트워크의 그래프를 논의할 때 서로 바꾸어 사용할 수 있는 용어다.그림 2.2는 그림 2.1의 회로를 그래프로 나타낸 것이다.^[21]

네트워크 분석에 사용되는 그래프는 일반적으로 지시된 그래프와 더불어 전류 흐름과 전압의 방향을 포착하기 위한 그래프와 분기와 노드의 고유성을 포착하기 위한 라벨링된 그래프 둘 다이다.예를 들어, 나뭇가지에 고유하게 라벨을 표시하지 않는 한, 두 가지 가지를 서로 교환하는 경우, 가지 사각형으로 구성된 그래프는 여전히 동일한 위상학적 그래프일 것이다.지시된 그래프에서 분기가 연결되는 두 개의 노드는 소스 노드와 대상 노드로 지정된다.일반적으로 이러한 화살표는 나뭇가지에 그려진 화살표로 표시된다.^[22]

발생

발생률은 그래프의 기본 속성 중 하나이다.정점에 연결된 가장자리는 그 정점에 부딪힌다고 한다.그래프의 발생률은 발생 행렬이라는 행렬로 행렬 형식으로 캡처할 수 있다.사실, 발생 행렬은 그래프의 수학적 대체 표현으로, 어떤 종류의 도면에 대한 필요를 분산시킨다.행렬 행은 노드에 대응하고 행렬 열은 분기에 대응한다.행렬의 요소는 발생이 없는 경우 0이거나 노드와 분기 사이의 경우 1이다.지시된 그래프의 방향은 요소의 기호로 표시된다.^[18][23]

등가성

그래프는 한 개가 변형에 의해 다른 것으로 변형될 수 있다면 동등하다.변형에는 번역, 회전 및 반사의 작동, 나뭇가지 굽힘 및 스트레칭, 나뭇가지 교차 또는 매듭짓기 등이 포함될 수 있다.변형을 통해 동등한 두 개의 그래프가 합치된다고 한다.^[24]

전기 네트워크 분야에서는, 합치된 그래프를 생성하지 않는 등가 그래프를 생성하는 것으로 간주되는 2개의 추가 변환이 있다.그 첫 번째는 직렬로 연결된 가지들의 교환이다.이것은 특별한 규칙 없이도 변형에 의해 달성될 수 있는 병렬 연결된 가지들의 교환의 이중성이다.두 번째는 두 개 이상의 개별 부분, 즉 각 세트의 노드에 분기가 발생하지 않는 두 개의 노드가 있는 그래프와 관련이 있다.이러한 두 개의 분리된 부분은 각각 노드를 하나의 노드로 결합하여 부품을 결합하는 그래프와 동등한 그래프로 간주된다.마찬가지로, 노드를 둘로 분할하여 두 개의 분리된 부분으로 분할할 수 있는 그래프도 동등한 것으로 간주된다.^[25]

나무와 링크

트리는 모든 노드가 직접 또는 간접적으로 나뭇가지에 의해 연결되지만 닫힌 루프를 형성하지 않는 그래프를 의미한다.닫힌 루프가 없기 때문에 나무에는 조류가 없다.네트워크 분석에서 우리는 스패닝 트리, 즉 네트워크의 그래프에 존재하는 모든 노드를 연결하는 트리에 관심이 있다.이 글에서 스패닝 트리는 달리 명시되지 않은 한 무자격 트리를 의미한다.주어진 네트워크 그래프에는 다양한 트리가 포함될 수 있다.나무를 형성하기 위해 그래프에서 제거된 가지를 링크라고 하고, 나무에 남아 있는 가지를 잔가지라고 한다.노드가 n개인 그래프의 경우 각 트리의 분기 수 t는 다음과 같아야 한다.

$(\displaystyle t=n-1\ }$

회로 분석을 위한 중요한 관계는 다음과 같다.

$B=\ell +t\ }$

여기서 b는 그래프에서 분기의 수이고 ℓ은 트리를 형성하기 위해 제거된 연결의 수입니다.^[26]

타이 세트 및 컷 세트

회로 분석의 목표는 네트워크의 모든 분기 전류와 전압을 결정하는 것이다.이러한 네트워크 변수들이 모두 독립적인 것은 아니다.분기 전압은 구성 요소의 전달 기능에 의해 분기 전류와 관련된다.그러므로 네트워크의 완전한 해결책은 분기 전류 또는 분기 전압의 관점에서만 될 수 있다.또한 모든 가지 전류는 서로 독립되어 있지 않다.전체 용액에 필요한 분기 전류의 최소 개수는 l이다.이것은 나무의 링크가 제거되었고 나무에는 전류가 존재할 수 없다는 사실의 결과물이다.트리의 나머지 가지들은 0의 전류를 가지고 있기 때문에 링크 전류와 독립적일 수 없다.독립 변수 집합으로 선택한 분기 전류는 트리의 링크와 관련된 집합이어야 한다. 즉, 임의로 l 분기를 선택할 수 없다.^[27]

분기 전압의 관점에서, t 분기 전압으로 네트워크의 완전한 솔루션을 얻을 수 있다.이것은 나무의 모든 가지를 단락시키면 어디에서나 전압이 0이 된다는 사실에 기인한다.따라서 링크 전압은 트리 분기 전압과 독립적일 수 없다.^[28]

공통 분석 접근방식은 분기 전류보다는 루프 전류에 대해 해결하는 것이다.분기 전류는 루프 전류 측면에서 발견된다.다시 말하지만, 루프 전류 세트는 임의로 선택할 수 없다.독립 변수 집합을 보장하려면 루프 전류는 특정 루프 집합과 연관된 전류여야 한다.이 루프 세트는 분석할 회로의 그래프의 특정 트리의 단일 링크를 교체하여 형성된 루프로 구성된다.트리의 단일 링크를 교체하면 정확히 하나의 고유 루프가 형성되므로, 그렇게 정의된 루프 전류 수는 l와 동일하다.이 맥락에서 루프라는 용어는 그래프 이론에서 루프의 일반적인 의미와 같지 않다.주어진 루프를 형성하는 가지 집합을 넥타이 세트라고 한다.^{[note 2]}네트워크 방정식의 집합은 루프 전류를 타이 세트 분기 전류의 대수적 합계와 동일시하여 형성된다.^[29]

트리 및 타이 세트를 참조하지 않고 독립적인 루프 전류 세트를 선택할 수 있다.독립 루프 세트를 선택하기에 충분하지만 필요하지 않은 조건은 선택한 각 루프가 이전에 이미 선택한 루프에 의해 포함되지 않은 분기를 하나 이상 포함하도록 하는 것이다.특히 간단한 선택은 루프가 모두 메쉬로 선택되는 망사 해석에 사용되는 것이다.^{[note 3]}메쉬 분석은 그래프를 가로지르는 나뭇가지 없이 평면이나 구에 매핑할 수 있는 경우에만 적용할 수 있다.이러한 그래프를 평면 그래프라고 한다.평면이나 구체에 매핑하는 능력은 동등한 조건이다.평면에 매핑된 어떤 유한한 그래프는 구의 작은 영역에 매핑될 때까지 축소될 수 있다.반대로, 구체에 매핑된 어떤 그래프의 그물망도 그 안의 공간이 구의 거의 모든 부분을 차지할 때까지 늘어나게 할 수 있다.그러면 전체 그래프가 구의 작은 영역만 차지하게 된다.이것은 첫 번째 사례와 동일하므로 그래프도 평면에 매핑될 것이다.^[30]

루프 전류 방식과 유사하고 이중인 전압을 가진 네트워크 변수를 선택하는 방법이 있다.여기서 노드 쌍과 관련된 전압은 일차 변수로서 분기 전압은 그 측면에서 발견된다.또한 이 방법에서는 모든 변수가 독립적인지 확인하기 위해 그래프의 특정 트리를 선택해야 한다.넥타이 세트의 듀얼은 컷 세트다.타이 세트는 그래프 링크 중 하나를 제외하고 모두 단선으로 구성된다.나무 가지 중 하나를 제외한 모든 가지를 단락시켜 절단 세트가 형성된다.컷 세트는 단락되지 않은 트리 가지와 다른 트리 가지에 의해 단락되지 않은 링크로 구성된다.그래프의 절단 세트는 두 개의 분리형 서브그래프를 생성하는데, 즉 그래프를 두 부분으로 자르고, 그렇게 하는데 필요한 최소 분지 세트다.네트워크 방정식의 집합은 절삭 세트 분기 전압의 대수적 합계와 노드 쌍 전압을 동일시하여 형성된다.^[31]메쉬 분석의 특수 사례의 이중은 목도 분석이다.^[32]

귀무 및 순위

부분과 b 가지가 분리된 그래프의 Null은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle N=b-n+s\ }$

그래프의 무효는 네트워크 방정식 집합의 자유도를 나타낸다.평면 그래프의 경우, null은 그래프에 있는 메쉬 수와 동일하다.^[33]

그래프의 순위 R은 다음과 같이 정의된다.

$R=n-s\ }$

순위는 망사 분석에서 null이 하는 것과 같은 역할을 한다.즉, 필요한 노드 전압 방정식의 개수를 제공한다.순위 및 무효는 이중 개념이며, 다음에 의해 관련된다.^[34]

${\displaystyle R+N=b\ }$

네트워크 변수 해결

일단 기하학적으로 독립된 변수들의 집합이 선택되면, 네트워크의 상태는 이것들의 용어로 표현된다.결과는 네트워크 변수의 값을 찾기 위해 동시에 해결해야 하는 일련의 독립적인 선형 방정식이다.이 방정식 집합은 네트워크의 특성 매개변수 행렬로 이어지는 행렬 형식으로 표현할 수 있다.매개변수 행렬은 방정식이 루프 분석 기반에서 형성된 경우 임피던스 행렬의 형태를 취하거나, 방정식이 노드 분석 기반에서 형성된 경우 출입 행렬의 형태를 취한다.^[35]

이러한 방정식은 여러 가지 잘 알려진 방법으로 풀 수 있다.한 가지 방법은 체계적인 변수 제거다.^[36]또 다른 방법은 결정요인의 사용을 포함한다.이것은 크레이머의 법칙으로 알려져 있으며 결정요인의 관점에서 미지의 변수에 대한 직접적인 표현을 제공한다.이것은 해결책을 압축적으로 표현한다는 점에서 유용하다.그러나 가장 사소한 네트워크 이상의 경우, 수동으로 작업할 때 이 방법에 대해 더 많은 계산 노력이 필요하다.^[37]

이중성

두 개의 그래프는 한 개의 분기와 노드 쌍의 관계가 다른 하나의 분기와 루프 사이의 관계와 동일할 때 이중적이다.그래프의 이중은 전적으로 그래픽 방법으로 찾을 수 있다.^[38]

그래프의 이중은 다른 그래프다.그래프에서 주어진 트리의 경우, 상호 보완적인 가지 집합(즉, 나무에 없는 가지)이 듀얼 그래프에서 트리를 형성한다.원래 그래프와 트리의 타이 세트와 관련된 전류 루프 방정식 세트는 듀얼 그래프의 컷 세트와 관련된 전압 노드-페어 방정식 세트와 동일하다.^[39]

아래 표에는 회로 이론과 관련된 위상의 이중 개념이 나열되어 있다.^[40]

이중 개념 요약

현재	전압
나무	메이즈
나뭇가지	나뭇가지
메쉬	노드.
루프	노드 쌍
링크	나뭇가지
넥타이 세트	컷 세트
단락	단선
병렬 연결	직렬 연결
무효	순위

나무의 이중은 때로는 미로라고^{[note 4]} 불리기도 한다.그 나무는 나뭇가지에 의해 연결된 노드로 구성되는 것과 같은 방식으로 링크에 의해 연결된 공간으로 구성된다.^[41]

모든 그래프에 대해 이중을 만들 수 없다.이중성은 모든 타이 세트에는 듀얼 그래프에 듀얼 컷 세트가 있어야 한다.이 조건은 그래프가 나뭇가지가 교차하지 않는 구체에 표시 가능한 경우에만 충족된다.이를 확인하려면 그래프를 두 부분으로 "타이핑"하기 위해 타이 세트가 필요하고 그래프를 두 부분으로 자르기 위해 타이 세트, 컷 세트가 필요하다.구체에 매핑되지 않는 유한 네트워크의 그래프는 n-폴드 토러스(torus)를 필요로 한다.토러스 구멍을 통과하는 타이 세트는 그래프를 두 부분으로 묶는 데 실패한다.따라서 이중 그래프는 두 부분으로 절단되지 않으며 필요한 절단 세트를 포함하지 않는다.따라서 평면 그래프만 이중성을 가진다.^[42]

또한 상호 인덕턴스를 포함하는 네트워크에는 해당 용량성 요소가 없기 때문에 듀얼을 구성할 수 없다.듀얼이 있는 등가 회로는 개발할 수 있지만 이중은 직접 상호 인덕턴스로 형성할 수 없다.^[43]

노드 및 메시 제거

네트워크 방정식의 집합에 대한 연산은 일어나고 있는 일을 시각화하는 데 도움이 될 수 있는 위상학적 의미를 갖는다.네트워크 방정식 집합에서 노드 전압을 제거하는 것은 위상학적으로 해당 노드가 그래프에서 제거되는 것과 일치한다.다른 세 개의 노드에 연결된 노드의 경우 이는 잘 알려진 Y-Δ 변환에 해당한다.이 변환은 더 많은 수의 연결된 노드로 확장될 수 있으며 스타-메쉬 변환으로 알려져 있다.^[44]

이 변환의 역행은 Δ-Y 변환으로, Δ-Y 변환은 분석적으로 메쉬 전류의 제거에 대응하며, 위상학적으로 메쉬의 제거에 대응한다.그러나 메쉬가 임의의 수의 다른 메쉬와 공통적으로 분기를 갖는 메쉬 전류를 제거한다고 해서 일반적으로 실현 가능한 그래프가 나오지는 않는다.일반 별의 변환 그래프는 구에 매핑되지 않는 그래프이기 때문이다(별 다각형 및 따라서 다중 십자형 포함).이러한 그래프의 이중은 존재할 수 없지만 일반화된 망사 제거를 나타내는 데 필요한 그래프다.^[44]

상호 커플링

회로의 기존 그래프 표현에서는 변압기에서 발생하는 것과 같이 상호 유도 커플링을 명시적으로 나타내는 수단이 없으며, 그러한 구성 요소는 둘 이상의 별도 부품으로 그래프가 분리될 수 있다.분석의 편의를 위해 각 부분의 한 노드를 단일 노드로 통일하여 여러 파트를 가진 그래프를 하나의 그래프에 결합할 수 있다.이는 회로의 이론적 거동에 아무런 차이가 없으므로 회로에 대해 수행된 분석은 여전히 유효하다.그러나 회로가 부품 간의 절연을 파괴한다는 점에서 이러한 방식으로 구현된다면 실질적인 차이가 발생할 수 있다.일차측과 이차측에서 모두 접지된 변압기를 예로 들 수 있다.변압기는 여전히 전압비가 같은 변압기의 기능을 하지만 이제는 더 이상 절연 변압기로 사용할 수 없다.^[45]

그래프 이론의 보다 최근의 기법들은 기존의 이론에서도 문제가 되는 활성 요소들을 다룰 수 있다.이 새로운 기술들은 또한 상호 커플링을 다룰 수 있다.^[46]

활성 구성 요소

상호 커플링과 능동 부품을 취급하는 데 사용할 수 있는 두 가지 기본 접근방식이 있다.이 중 첫 번째로 1953년 새뮤얼 제퍼슨 메이슨은 신호 흐름 그래프를 도입했다.^[47]신호 흐름 그래프는 가중치가 부여된 방향 그래프.그는 이것을 상호 커플링과 활성 네트워크를 포함하는 회로를 분석하기 위해 사용했다.이러한 그래프에서 지시된 가장자리의 무게는 증폭기에 의한 것과 같은 증가를 나타낸다.일반적으로 신호 흐름 그래프는 위에서 설명한 일반 지시 그래프와 달리 성분의 물리적 배열의 위상에 해당하지 않는다.^[46]

두 번째 접근방식은 고전적 방법을 확장하여 상호 커플링과 능동적 구성요소를 포함하도록 하는 것이다.이를 달성하기 위한 몇 가지 방법이 제안되었다.이 중 하나에 회로의 전류를 나타내는 그래프와 전압을 나타내는 그래프 두 개가 구성된다.수동형 구성요소는 두 트리에 동일한 분지를 가지지만 활성 구성요소는 가지에 가지 않을 수 있다.이 방법은 두 그래프에 공통적인 스패닝 트리를 식별하는 데 의존한다.하나의 그래프만을 필요로 하는 고전적 접근법을 확장하는 대안적인 방법은 1965년에 Chen에 의해 제안되었다.^{[note 5]}첸의 방법은 뿌리깊은 나무에 바탕을 두고 있다.^[46]

하이퍼그래프

활성 성분에 대해 고전적인 그래프 이론을 확장하는 또 다른 방법은 하이퍼그래프를 사용하는 것이다.일부 전자 구성요소는 그래프를 사용하여 자연스럽게 표현되지 않는다.트랜지스터에는 세 개의 연결점이 있지만 일반 그래프 분기는 두 개의 노드에만 연결할 수 있다.현대의 집적회로들은 이것보다 훨씬 더 많은 연결을 가지고 있다.이 문제는 일반 그래프 대신 하이퍼그래프를 사용하면 극복할 수 있다.^[48]

전통적인 표현 구성 요소들은 가장자리로 표현되며, 각각은 두 개의 노드에 연결된다.하이퍼그래프에서 구성요소는 임의의 수의 노드에 연결할 수 있는 축약으로 표현된다.축생물은 축생지를 마디에 연결하는 촉수를 가지고 있다.축성의 그래픽 표현은 상자일 수 있으며(선인 가장자리와 비교), 촉수의 표현은 상자로부터 연결된 노드까지의 선입니다.지시된 하이퍼그래프에서, 촉수는 축성기의 라벨에 의해 결정되는 라벨을 운반한다.기존의 지시 그래프는 각각 두 개의 촉수를 가진 혼합물을 가진 하이퍼그래프로 생각할 수 있다.이 두 촉수는 출처와 표적에 라벨이 붙어 있으며 보통 화살표로 표시된다.더 많은 촉수를 가진 일반적인 하이퍼그래프에서는 더 복잡한 라벨 표시가 필요할 것이다.^[49]

하이퍼그래프는 발병률로 특징지어질 수 있다.두 단자 성분만 포함하는 일반 그래프는 각 행에 정확히 두 개의 0이 아닌 항목이 있을 것이다.어떤 행에서든 두 개 이상의 0이 아닌 항목이 있는 모든 발생 행렬은 하이퍼그래프를 나타낸다.연속 0이 아닌 항목 수는 해당 분기의 순위로, 가장 높은 분기의 순위는 발생 행렬의 순위로 한다.^[50]

비균형 변수

고전적 네트워크 분석은 네트워크 변수가 전류(루프 분석) 또는 전압(노드 분석)에서 동질적인 일련의 네트워크 방정식을 개발한다.이렇게 발견된 네트워크 변수 집합이 반드시 독립 방정식 집합을 형성하는 데 필요한 최소값은 아니다.루프 분석에서 노드 분석까지의 변수 개수에는 차이가 있을 수 있다.동질성에 대한 요건이 완화되고 전류와 전압 변수가 혼합될 수 있는 경우 가능한 최소 숫자는 이들 중 하나보다 적을 수 있다.1967년^{[note 6]} 기시와 카타지니의 결과는 네트워크의 동작을 기술하는 데 필요한 절대 최소 변수 수는 네트워크 그래프의 두 스패닝 포리스트 사이의^{[note 8]} 최대 거리에^{[note 7]} 의해 주어진다.^[46]

네트워크 합성

그래프 이론은 네트워크 합성에 적용할 수 있다.고전적 네트워크 합성은 필요한 네트워크를 다수의 표준적 형태 중 하나로 실현한다.표준형식의 예로는 카우어의 표준사다리 네트워크나 포스터의 표준형식에 의한 구동점 임피던스의 실현이나 브루네의 양실함수로부터의 임피던스의 실현 등이 있다.반면에 위상학적 방법은 주어진 표준적 형식에서 시작하지 않는다.오히려 그 형태는 수학적 표현에 의한 결과물이다.일부 표준 형식은 실현을 위해 상호 인덕턴스를 요구한다.네트워크 통합의 위상학적 방법의 주요 목적은 이러한 상호 인덕턴스의 필요성을 제거하는 것이었다.위상에서 도출해야 할 한 가지 정리는 상호 커플링이 없는 상태에서 올인덕터 또는 올캐퍼시터 루프가 없는 경우에만 구동점 임피던스의 실현이 최소라는 것이다.^[51]

그래프 이론은 네트워크의 요소들이 실제 숫자(저항 네트워크와 같은 1원소 종류 네트워크)나 이진 상태(스위치 네트워크와 같은)로 표현될 수 있을 때 네트워크 합성에서 가장 강력하다.^[46]

무한 네트워크

아마도 연구해야 할 무한 그래프를 가진 최초의 네트워크는 1881년 올리버 헤비사이드에 의해 최종 형태로 개발된 전송선을 나타내기 위해 사용된 사다리 네트워크일 것이다.확실히 무한 네트워크에 대한 모든 초기 연구는 동일한 요소가 반복적으로 반복되는 사다리나 격자와 같은 주기적 구조로 제한되었다.20세기 후반이 되어서야 임의의 토폴로지로 무한 네트워크를 분석하는 도구를 이용할 수 있게 되었다.^[52]

무한 네트워크는 대부분 이론적인 관심사일 뿐이며 수학자들의 놀음이다.현실 세계의 제약에 구속되지 않는 무한 네트워크는 일부 매우 비물리적 속성을 가질 수 있다.예를 들어 Kirchhoff의 법칙은 어떤 경우에는 실패할 수 있고 무한대의 종단에 의존하는 구동점 임피던스를 가진 무한 저항 사다리들을 정의할 수 있다.이론적 무한 네트워크의 또 다른 비물리적 속성은 일반적으로 옴의 법칙이나 키르초프의 법칙과 같은 통상적인 네트워크 법칙 외에 제약을 두지 않는 한 무한한 힘을 소멸시킨다는 것이다.그러나 실제 애플리케이션도 있다.전송 라인 예는 최소 요소(분산 요소 모델)에 의해 모델링될 수 있는 실제적인 문제의 한 종류다.다른 예로는 연속적인 매체로 파동을 발사하고, 자기장 문제를 야기하며, 기질 또는 보어홀 아래쪽의 지점들 사이의 저항 측정 등이 있다.^[53]

트랜스피니트 네트워크는 무한대의 네트워크라는 개념을 훨씬 더 확장시킨다.무한 네트워크의 끝단에 있는 노드는 다른 네트워크로 이어지는 다른 분기를 그것과 연결시킬 수 있다.이 새로운 네트워크는 그 자체로 무한할 수 있다.따라서 토폴로지는 그 사이에 유한한 경로가 없는 노드 쌍을 갖는 토폴로지를 구성할 수 있다.그러한 무한 네트워크의 네트워크를 트랜스피니트 네트워크라고 한다.^[54]

메모들

참고 항목

• 심볼 회로 분석
• 네트워크 위상

참조

참고 문헌 목록

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