테이트-샤파레비치 그룹
Tate–Shafarevich group산술 기하학에서,abelian 다양한, Tate–Shafarevich 그룹 Ш(A/K)K는 Weil–Châtelet 그룹 WC(A/K))H1(그때, A)의 모든 K의 성공의 사소한이 된 요소들로 이루어진(이상의 일반적으로 단체 계획) 많은 밭에 정의된 자세한 내용은p-adic 분야 K에서 획득된뿐만 아니라 그고 복잡한 실제 comple.tions). 따라서 갈루아 코호몰로지(Galois cohomology)의 관점에서 보면 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 그룹은 세르게 랑과 존 테이트와[1] 이고르 샤파레비치에 의해 소개되었다.[2]카셀은 are(A/K) 표기법을 도입하였는데, 여기서 ш은 샤파레비치에 대해 샤파레비치(Shafarevich)에 대한 키릴 문자 "Sha"로, 이전 표기법 TS를 대체하였다.
테이트-샤파레비치 집단의 요소
기하학적으로 테이트-샤파레비치 집단의 비종교적 요소는 K의 모든 장소 v에 대해 K-합리적인v 점을 가지고 있지만 K-합리적인 점은 없는 A의 동질적 공간이라고 생각할 수 있다.따라서 그룹은 필드 K에 계수가 있는 합리적 방정식에 대해 Hasse 원칙이 지탱하지 못하는 정도를 측정한다.칼-에릭 린드(Carl-Erik Lind)는 1개의4 곡선 x - 17 = 2y2 속은 실제와 모든 p-adic 분야에 걸쳐 해법이 있지만 합리적인 점은 없다는 것을 보여줌으로써 그러한 동질적 공간의 예를 제시했다.[3]에른스트 S.셀머는 3x3 + 4y3 + 5z3 = 0과 같은 더 많은 예를 들었다.[4]
아벨레아 품종의 일부 주어진 유한 질서의 n점으로 구성된 유한집단 체계에 대한 테이트-샤파레비치 집단의 특수한 경우는 셀머 집단과 밀접한 관련이 있다.
테이트샤파레비치 추측
테이트-샤파레비치 추측에 따르면 테이트-샤파레비치 집단은 유한하다.Karl Rubin은 복잡한 곱셈으로 1위까지의 몇몇 타원곡선들에 대해 이것을 증명했다.[5]빅터 A.콜리바긴은 이것을 최대 1에서 분석 등급의 합리성에 걸쳐 모듈형 타원곡선으로 확장시켰다(나중에 모듈성 정리는 모듈성 가정이 항상 유지된다는 것을 보여주었다).[6]
캐슬-테이트 페어링
더 캐슬–테이트 페어링은 ш(A) × ш(A) → /(Q/Z) 쌍으로, 여기서 A는 아벨 품종, â은 이중이다.캐슬은 타원형 곡선에 대해 이것을 도입했는데, 이때 A는 â으로 식별할 수 있고 쌍은 교대형이다.[7]이 형태의 알맹이는 분리할 수 없는 원소의 하위그룹으로, 만약 테이트-샤파레비치 추측이 사실이라면 사소한 것이다.테이트는 테이트 이중성의 변형으로 페어링을 일반 아벨리안 품종으로 확대했다.[8]A의 양극화를 선택하면 A에서 â까지의 지도가 나타나며, 이는 Q/Z의 값을 갖는 ш(A)의 이선 쌍을 유도하지만 타원곡선의 경우와 달리 이는 교대하거나 심지어 대칭이 될 필요가 없다.
타원곡선의 경우, 카셀은 쌍이 교대로 되어 있음을 보여주었고, 그 결과 of의 순서가 유한하면 정사각형이다.좀 더 일반적인 아벨의 품종에 대해서는 Ⅱ의 순서가 유한할 때마다 제곱이라고 여러 해 동안 잘못 믿기도 했다; 이러한 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 [9]Swinnerton-Dyer의 논문에서 비롯되었다.[8]포넨과 스톨은 순서가 두 칸짜리인 몇 가지 예를 들었고,[10] 테이트-샤파레비치 집단의 순서가 두 칸짜리 이성들에 대한 어떤 속 2의 자코비안 곡선이 그 순서를 나누는 이상한 프라임의 힘이 이상한 몇 가지 예를 들었다.[11]아벨 품종이 주된 양극화를 가지고 있다면 ш의 형태는 form의 순서가 정사각형 또는 두 개의 정사각형(한정된 경우)이라는 것을 의미하는 skew의 형태는 꼬임 대칭이고, ellipt의 순서는 이성적 구분자(타원곡선의 경우처럼)에서 나온다면 ш의 순서는 정사각형이다.유한하다.
참고 항목
인용구
참조
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- Cassels, John William Scott (1962b), "Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 211 (211): 95–112, doi:10.1515/crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, MR 0163915
- Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, vol. 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, MR 1144763
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