지연 전위

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v t

전기역학에서, 지연 전위는 과거 시간 변화 전류 또는 전하 분포에 의해 생성된 전자기장의 전자기 전위다.전장은 광 c의 속도로 전파되기 때문에 이전과 이후의 원인과 결과를 연결하는 전장의 지연은 중요한 요인이 된다: 신호는 전하 또는 전류 분포의 한 지점에서 다른 공간(효과 측정 지점)으로 전파하는 데 유한한 시간이 걸린다(아래 그림 참조).^[1]

로렌츠 게이지에

시작점은 로렌츠 게이지를 사용한 전위 공식에서 맥스웰 방정식이다.

${\displaystyle \varphi ={\dfrac {\rho }{\\\\epsilon _{0}}\quad \box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}}}}}}}}$

여기서 φ(r, t)은 전위, A(r, t)는 자기 벡터 전위, 임의의 전하 밀도 ρ(r, t) 및 전류 밀도 J(r, t)에 대한 전위, $◻{\displaystyle }$ ${\displaysty \Box}$은 달랑베르트 연산자다.^[2]이러한 문제를 해결하면 아래(모두 SI 단위)의 지연 전위가 발생한다.

시간 종속 필드의 경우

시간에 의존하는 필드의 경우, 지연된 ^[3][4]전위는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

여기서 r은 공간의 점이고 t는 시간이다.

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r}'{c}}}$

dr³'은 r'을 이용한 통합 측정이다.

φ(r, t) 및 A(r, t)에서 E(r, t) 및 B(r, t) 필드는 다음과 같은 전위의 정의를 사용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A}{\partial t}\\\quad \mathbf {B} =\nabla \time \mathbf {A}\,.}}$

제피멘코의 방정식으로 이어진다.해당 고급 전위는 고급 시간을 제외하고 동일한 형태를 가진다.

${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r}'{c}}}$

지체된 시간을 대체한다.

시간 독립 필드의 정적 전위와 비교

필드가 시간 독립적인 경우(정전기 및 자기장), 필드 $◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Box$} 연산자의$$ 시간 파생상품은 0이며, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{{0}}\\epsilon _{0}}\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mathbf {J}\J} \} \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ∇²은 포아송 방정식의 형태를 4가지 성분(φ의 경우 1개, A의 경우 3개)으로 하는 라플라시안이며, 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

이것들은 또한 지체된 잠재력으로부터 직접 따라온다.

쿨롱 게이지에서

쿨롱 게이지에서 맥스웰의 방정식은^[5]

${\displaystyle \vla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon_{0}}}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}$

해결책은 위와 대조를 이루지만, A는 지연된 잠재력이기 때문에 다음과 같이 즉시 변화한다.

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' /c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' ^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}$

이는 쿨롱 게이지의 장점과 단점을 제시한다 - φ은 전하 분포 from에서 쉽게 계산할 수 있지만 A는 현재 분포 j에서 쉽게 계산할 수 없다.그러나, 우리가 무한대로 잠재력이 사라지도록 요구한다면, 그것들은 분야별로 깔끔하게 표현될 수 있다.

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} ({r}',t)}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} ({r}',t)}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

선형화된 중력에서

선형화된 일반 상대성에서의 지연된 잠재력은 전자파 케이스와 밀접하게 유사하다.The trace-reversed tensor ${\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}$ plays the role of the four-vector potential, the harmonic gauge ${\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ replaces the electromagnetic 로렌츠 게이지, ${\displaystyle {}_{}}$은 $◻{\displaystyle }$ h${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle {\mathrm{\mu \nu }}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{16\pi }}$ G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu \nu }}_{}}$ ${\${h$}_{\mu \nu }=-16\PI$ GT_${\mu \nu$ $\}\}$이며^[6], 지연파 용액은

발생 및 적용

지체되고 진보된 리에나르드의 평균을 포함하는 다체 이론-Wiechert probleds는 Wheeler-Feynman 흡수기 이론이며 Wheeler-Feynman 시간 대칭 이론으로도 알려져 있다.

예

직선상에서 균일한 속도로 충전할 수 있는 잠재력은 최근 위치에 있는 지점에서 거꾸로 나타난다.이동 방향에서 전위는 변하지 않는다.^[7]

참고 항목

• 맥스웰 방정식
• 리에나르드-위처트 포텐셜
• 렌즈의 법칙

참조