프레스버거 산술

프레스버거 산수는 1929년에 그것을 도입한 Moj theoryesz Presburger의 이름을 따서 명명된 덧셈 자연수의 1차 이론이다.Presburger 산술의 시그니처는 곱셈 연산을 완전히 생략하고 덧셈 연산과 등수만을 포함한다.그 공리들은 유도 체계를 포함한다.

프레스버거 산술은 덧셈과 곱셈 연산을 모두 포함하는 Peano 산술보다 훨씬 약합니다.페아노 산수와 달리, 프레스버거 산수는 결정 가능한 이론이다.이는 프레스버거 산술의 언어로 된 어떤 문장에 대해서도 그 문장이 프레스버거 산술의 공리로부터 증명 가능한지 알고리즘적으로 결정할 수 있음을 의미한다.그러나 이 알고리즘의 점근적 실행 시간 계산 복잡도는 Fischer & Rabin(1974년)에서 알 수 있듯이 최소 두 배 이상 기하급수적이다.

개요

Presburger 산술의 언어에는 상수 0과 1과 덧셈으로 해석되는 이항 함수 +가 포함되어 있습니다.

이 언어에서 Presburger 산술의 공리는 다음과 같은 보편적인 폐쇄이다.

1. θ(0 = x + 1)
2. x + 1 = y + 1 → x = y
3. x + 0 = x
4. x + (y + 1) = (x + y) + 1
5. P(x)를 자유 변수 x(및 다른 자유 변수)를 사용하는 Presburger 산술 언어의 1차 공식으로 가정합니다.다음 공식은 공리입니다.
   (P(0) µx(P(x) → P(x + 1)))→ µyP(y)

(5)는 무한히 많은 공리를 나타내는 유도 공리 스키마이다.이것들은 유한한 수의 공리로 대체될 수 없다. 즉, 프레스버거 산술은 1차 ^[1]논리에서는 완전히 공리화할 수 없다.

프레스버거 산술은 위의 공리의 모든 결과를 정확히 포함하는 등식을 갖는 1차 이론으로 볼 수 있다.또는 의도된 해석에서 참인 문장의 집합으로 정의할 수 있다: 상수 0, 1을 갖는 음이 아닌 정수의 구조 및 음이 아닌 정수의 덧셈.

Presburger 산술은 완전하고 결정가능하도록 설계되었다.따라서, 나눗셈성이나 원시성과 같은 개념을 공식화할 수 없으며, 더 일반적으로 변수의 곱셈을 초래하는 숫자 개념도 공식화할 수 없습니다.그러나, 이것은 나눗셈의 개별 사례를 공식화할 수 있다. 예를 들어, "모든 x에 대해, (y + y = x) δ (y + y + 1 = x)가 존재한다"는 것을 증명한다.이것은 모든 숫자가 짝수이거나 홀수임을 나타냅니다.

특성.

Mojesesz Presburger는 Presburger 산술을 다음과 같이 증명했습니다.

• 일관성:Presburger 산술에는 그 부정도 추론할 수 있는 공리로부터 추론할 수 있는 진술이 없다.
• 완료:프레스버거 산술의 언어에서 각각의 진술에 대해, 공리로부터 추론할 수도 있고 부정의 추론이 가능하다.
• 결정 가능:Presburger 산술에서 주어진 문장이 정리인지 비이론인지를 결정하는 알고리즘이 존재합니다.

Presburger 산술의 결정 가능성은 산술적 ^[2][3][4][5]합치에 대한 추론에 의해 보충되는 정량자 제거를 사용하여 보여줄 수 있다.양자화 제거 알고리즘을 정당화하기 위해 사용되는 단계는 ^[2][6]귀납의 공리 스키마를 반드시 포함할 필요는 없는 재귀 공리화를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다.

반면, Peano 산술은 곱셈이 가미된 Presburger 산술로서, entscheidungsproblem에 대한 부답의 결과로 결정되지 않는다.괴델의 불완전성 정리에 따르면, 페아노 산수는 불완전하고 그 일관성은 내부적으로 입증할 수 없다.

계산의 복잡성

Presburger 산술의 결정 문제는 계산 복잡도 이론과 계산의 흥미로운 예이다.Presburger 산술에서 n은 문장의 길이라고 하자.그 후 Fischer & Rabin(1974)은 최악의 경우 1차 논리의 진술 증명은 적어도 $({$ 2$^{2^{$cn$\}\})$의 길이가 일정 c>0이라는 것을 증명했다.따라서, Presburger 산술에 대한 그들의 결정 알고리즘은 적어도 기하급수적인 실행 시간을 가진다.피셔와 라빈은 또한 합리적인 공리화(논문에 정확히 정의됨)에 대해 두 배의 지수 길이 증명을 가진 길이 n의 이론이 존재한다는 것을 증명했다.이는 직관적으로 컴퓨터 프로그램으로 입증할 수 있는 것은 계산상 한계가 있음을 시사합니다.Fischer와 Rabin의 연구는 또한 입력이 상대적으로 큰 한계보다 작으면 어떤 알고리즘도 정확하게 계산하는 공식을 정의하는데 Presburger 산술이 사용될 수 있다는 것을 암시한다.경계가 증가할 수 있지만 새 공식을 사용해야만 합니다.한편, Presburger 산술의 결정 절차에 대한 3배 지수 상한이 Oppen(1978)에 의해 증명되었다.

Berman(1980)에 의해 교대 복잡도 클래스를 사용하여 보다 엄격한 복잡도 한계가 나타났다.Presburger 산술(PA)의 true 스테이트먼트 세트가 TimeAlternations(2^2nO(1), n)에 대해 완료되어 있습니다.따라서 그 복잡성은 이중 지수 비결정적 시간(2-NEXP)과 이중 지수적 공간(2-EXPACE) 사이입니다.완전성은 다항식 시간 다대1 감소 하에 있습니다.(또한 Presburger 산술은 일반적으로 PA로 약칭되지만 수학에서는 일반적으로 PA는 Peano 산술을 의미합니다.)

보다 세밀한 결과를 얻으려면 PA(i)를 진정한 δPA_i 스테이트먼트의 세트로 하고 PA(i, j)를 j변수로 한정하는 각 양자화 블록의 진정한 δPA_i 스테이트먼트의 세트로 합니다.'<'는 양자가 없는 것으로 간주됩니다.여기서 한정 수량자는 양자로 카운트됩니다.
PA(1, j)는 P, PA(1)는 NP-완전입니다.
i > 0 및 j > 2의 경우 PA(i + 1, j)는 δ-완전입니다_i^P.경도 결과는 마지막 정량자 블록에서 j>2(j=1과 반대)만 필요합니다.
i>0 의 경우, PA(i+1)는_i^EXP δ-완전(및 Time Alternations^nO(i)(2, i)-완전)^[7]입니다.

짧은 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$n \ $displaystyle$\$Sigma$_ { $n$$$}$$ Presburger$$ 산술( > \ $displaystyle$ n $>$2)은 ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 2_{}^{}}$ $(\$ $displaystyle$$$\ $Sigma$_ { $n-2}^$$P$})입니다$($따라서$$ n $= 3$의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ NP 완료).여기서 'short'는 정수 상수가 제한되지 않는 것을 제외하고 제한($즉{\displaystyle ,}$ O ( ${\displaystyle 1}$) {$displaystyle$O(1)$$} ) 문장 크기가 필요합니다(입력 크기에 대한 이진수 비트 수).또, $(\$ _${2})$ 2$$ 변수 PA('짧음' 제한 없음)는 NP-complete이다.^[8] 짧은 $({$ (따라서 $({$ PA는 P로, 이것은 고정 차원 파라메트릭 정수 선형 프로그래밍으로 ^[9]확장됩니다.

적용들

Presburger 산술은 결정 가능하기 때문에 Presburger 산술의 자동 정리 프로버가 존재합니다.예를 들어 Coq 프루프 어시스턴트 시스템은 Presburger 연산을 위한 전술 오메가이며 이자벨 프루프 어시스턴트는 Nipkow(2010)에 의해 검증된 정량자 제거 절차를 포함한다.그 이론의 이중 지수 복잡성 그것은 실행 불가능한 복잡한 공식에 정리 provers 사용할 수는 있지만 이 행동에 중첩된 기호적으로 표현을 허락이 존재하는 곳에서만:넬슨 & 발생한다;Oppen(1978년)t. 확장 Presburger 한 계산에 중첩 quantifiers지 않고 단 방향 알고리즘을 사용하여 자동 정리 prover을 설명하게 만든다p입니다정량자가 없는 Presburger 산술 공식의 몇 가지 예를 살펴봅니다.보다 최근의 만족도 모듈로 이론 해결사는 완전한 정수 프로그래밍 기술을 사용하여 프레스버거 산술 이론의 ^[10]양자 없는 단편을 처리합니다.

곱셈은 반복 덧셈이므로 프레버거 산술은 상수에 의한 곱셈을 포함하도록 확장할 수 있다.대부분의 어레이 첨자 계산은 결정 가능한 ^[11]문제 영역에 속합니다.이 어프로치는, 1970년대 후반의 Stanford Pascal Verifier를 시작으로, 2005년의 Microsoft Spec# 시스템에 이르기까지, 적어도 5개의 컴퓨터 프로그램용 정정 증명 시스템의 기초가 됩니다.

프리버거 정의 가능 정수 관계

일부 속성은 Presburger 산술에서 정의할 수 있는 정수 관계에 대해 제공됩니다.단순화를 위해 이 절에서 고려하는 모든 관계는 음이 아닌 정수에 대한 것입니다.

관계는 반직선 ^[12]집합인 경우에만 Presburger 정의 가능합니다.

단항 정수 $관계{\displaystyle }$R(\$displaystyle$ R$),$ 즉 음이 아닌 정수 집합은 궁극적으로 주기적인 경우에만 Presburger 정의 가능합니다.만약 문턱에선 ∈ N{\displaystylet\in \mathbb{N}}과 긍정적인 기간 p∈ N을 존재하는 즉,, 그런 점은 n≥ t{\displaystyle n\geq지}, n∈ R{\displaystyle n\in R}만일 n. 0{\displaystylep\in \mathbb{N}}^{>0}과 같이 모든 정수를{n\displaystyle}n은 +p∈$(\displaystyle$ n$+p\in$ R$).$

그 Cobham–Semenov 정리까지 관련 만일 그것 Büchi 기지 k{k\displaystyle}의 산수의 모든 k에 한정할 수 있는 있≥ 2{\displaystyle k\geq 2}.[13][14]Büchi에 k의 관계 정의할 수 있는 기지 k{k\displaystyle}과 k′{\displaystyle k'}의 산술{\displaystyle는 kPresburger-definable은}과$displaystyle$ k$')$는 곱셈 독립 정수인 Presburger를 정의할 수 있다.

$정수관계{\displaystyle }$R({$displaystyle$R})은$$R({$displaystyle$R})$$의 덧셈과 R({$displaystyle$ R$\}$의 술어를 더한 1차 로직으로 정의할 수 있는 모든 정수 세트가 Presburger로 정의할 ^[15]수 있는 경우에만 Presburger로 정의할 수 있습니다.마찬가지로 Presburger-definition할 수 없는 각 $관계{\displaystyle }$R(\$displaystyle$ R$)$에 대해 덧셈과 덧셈만으로 정의할 수 없는 정수 집합을 정의하는 R$(\displaystyle$ R$)$이 존재한다.

무치닉의 특성화

Presburger-definable 관계는 Muchnik의 ^[16]정리에 의한 또 다른 특징을 인정한다.그것은 서술하기가 더 복잡하지만, 이전의 두 가지 특징의 증거로 이어졌다.무치닉의 정리가 언급되기 전에 몇 가지 추가 정의가 도입되어야 한다.

$R{\displaystyle }$$$${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ N ${\displaystyle {}^{}}$\ $display$ R \ $subseteq$\ $mathbb${ $N$} ^ { $d$} {$$、 i$=$ j ( i $style$ $display$ $style i$< d } $및$ j N$$\ $displaystyle$j \ $in$\ $mathbbb N$ $)$의 ${\displaystyle x_{}}$j 는$$ $다음$과 같이 정의됩니다$.$

$\displaystyle \left\{(x_{0},\ldots,x_{i-1},x_{d-1}\in \mathbb {N}^{d-1}\mid(x_{0},\ldots,x_i-1},j,x_i+1}\in\dots,x_dots,{1}\in1}\in}\in\mathbbbbbbbbbbb {n}입니다.}$

2개의 $세트{\displaystyle }$ R${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle S}$ $d$ \ $displaystyle$ R,$$S$\ subseteq$\ mathbb { $N }$^ { d$$ $\}{\displaystyle }$ 및 $정수{\displaystyle }$ d \ $display style$$$d$$} - tuple$$ ( ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle p_{}}$-${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ )${\displaystyle }$n ${\displaystyle {}^{}}$d $display$ ( p $_$0 , \$ldots$ , p _ d -$1$ ){ d } \ $mathbb$ { $d$} \ mathbb { d } } 。$\{{\displaystyle }$$0},\$$dots$$,p_{d-1}-$$주기적$ S$(x0,$ $xd-1$${\displaystyle {}_{}{dots\mathrm{}}_{}}$$,x_{d-1})-in$ S$({\displaystyle {x0\mathrm{}}_{}}$ + $,$ ${\displaystyle \dots ,x_{}}$ - ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}{-}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$)의 경우${\displaystyle ,}$$aystyle$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$0 + ${\displaystyle p_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ , ${\displaystyle x_{}}$ d${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ d -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ )의 경우에 한해, $({\displaystyle }$ x 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$0 ,$$x d - 1 + p _ {$0$, \ $dots$$$, x$$_ { $d-1$ } + $p$_ d -$$1 )의 경우, x_{ d-1} + $p_d-1$ $in$$R$의 경우${\displaystyle ,}$ x_{dots, $x_{$d-1} + p_dots, s.$D-1}$의 경우.$D-1{\displaystyle }$}의 경우,$$의 경우, s의 경우.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle p_{}}$ 0 , ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}}$ d${\displaystyle {}_{}}$-$$1 ) {$displaystyle$ ( p _ { 0 , $\ldots$ ,$$${\displaystyle p_{}}$ _ { d$$- 1 } )일 ${\displaystyle {}_{}},{\displaystyle }$ 다음과 같은 일부${\displaystyle {}_{}}$($$p ${\displaystyle {}_{}}$, ...${\displaystyle {}_{}}$, p ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$- 1${\displaystyle }$) z$$ d d d d d d d ( p _ 0 , \$dots$, p _ { d - 1 } \ $in$ \$mathbbb$^ { d$$ $}$ } } } } 。

$\displaystyle \sum _{i=0}^{d-1} p_{i} <s}$

${\displaystyle {}_{}}$으로 k${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ x${\displaystyle {\mathrm{d-1}}_{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}_{}}$N ${\$ k$,x_{0},\dots,x_{d-1}\in \mathbb {N}$에 $대해서$는 다음과 같이 합니다.

$(\displaystyle C(k,(x_{0},\ldots,x_{d-1})=\left\{(x_{0}+c_{0},\c_{d-1}\mid 0\leq c_{i}<k\right\})$

는 작은 모서리가${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle x_{}}$d -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$)인 k$(\displaystyle$$(x_{0},\display,x_{d-1$의 세제곱을 나타냅니다.

직감적으로 $정수{\displaystyle }$s {\$displaystyle$s}는$$ 시프트 길이를 $나타내고{\displaystyle }$ 정수$$k {\$displaystyle$ k$$$}$는 큐브 크기$,$ $t{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ t$}$는 주기성 앞의 임계값을 나타냅니다.이 결과는 조건이 충족될 때 그대로 유지됩니다.

$\displaystyle \sum _{i=0}^{d-1}x_{i}>t}$

는 min( 0 , , - $t$ { \$displaystyle \min$ ( $x$_ { $0$, \$ldots$,$x$_ { d - 1max ( 0, , d - )> {$displaystyle$ \ max ( $x _$0 , \ $ldots$ , $x$_ d - 1 }$>$ t 로 $대체$됩니다.

이러한 특성화는 이른바 "Presburger 산술에서 정의 가능성의 기준"으로 이어졌다. 즉$,$ 덧셈을 포함한 1차 공식과 R\displaystyle R$\displaystyle$$$R$\displaystyle$ R$\$displaystyle R$\$displaystyle R이 Presburger $정의{\displaystyle }$ 가능 관계에$$$$ 의해 해석되는 $경우$만 $유지$된다.Muchnik의 정리는 또한 자동 수열이 Presburger 정의 가능한 집합을 받아들일 수 있는지 여부가 결정 가능하다는 것을 증명할 수 있게 해준다.

「 」를 참조해 주세요.

• 로빈슨 산술
• 스콜렘 산술

레퍼런스

참고 문헌

외부 링크

• Philipp Rümer의 Presburger 산술 완전 정리법