스티펠-휘트니급

수학에서 특히 대수 위상과 미분 기하학에서 스티펠--휘트니 클래스는 벡터 번들의 독립된 섹션 집합의 모든 곳에 구성되는 장애물을 설명하는 실제 벡터 번들의 위상학적 불변제 집합이다.스티펠-휘트니 클래스는 0에서 n까지 색인화되며 여기서 n은 벡터 번들의 순위다.만약 스티펠-지수 i의 Whitney 클래스는 0이 아니므로 벡터 번들의 선형 독립 섹션에는 어디에나 존재할 수 없다(n-i+1).0이 아닌 n번째 스티펠-휘트니 클래스는 보따리의 모든 부분이 언젠가는 사라져야 한다고 말한다.0이 아닌 첫 번째 스티펠-휘트니 클래스는 벡터 번들이 방향을 잡을 수 없다는 것을 나타낸다.예를 들어, 첫 번째 스티펠-뫼비우스 스트립의 휘트니 클래스는 원 위에 선다발로서 0이 아닌 반면, 첫 번째 스티펠은–원¹ 위에 있는 사소한 선다발 S×R의 휘트니 등급은 0이다.

더 스티펠-휘트니 클래스는 에두아르트 스티펠과 하슬러 휘트니의 이름을 따 실제 벡터 번들과 연관된 Z/2Z 캐릭터 클래스의 예다.

대수 기하학에서는 유사한 스티펠-을 정의할 수도 있다.휘트니 클래스는 에탈레 코호몰로지 그룹 또는 Milnor K-이론에서 값을 취하며, 비데아테이트 2차 형태를 가진 벡터 번들에 대한 클래스.특별한 경우로 스티펠을 정의할 수 있다.휘트니 클래스는 분야를 넘나드는 2차 형태에 대한 것으로, 처음 두 가지 경우는 차별과 Hasse-Witt 불변성(Milnor 1970)이다.

소개

일반발표

진짜 벡터 번들 E, 스티펠-E의 휘트니 등급은 w(E)로 표시된다.코호몰로지 링의 한 요소다.

${\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z})=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

여기서 X는 번들 E의 기본 공간이며, Z/2Z(흔히 Z가₂ 번갈아 표시함)는 원소만 0과 1인 정류 링이다.Hⁱ(X; Z/2Z)에서 w(E)의 구성요소는 w_i(E)로 표시되며 i-th Stiefel–이라고 한다.휘트니급 E.따라서_i w(E) = w₀(E) + w₁(E) + w₂(E) + ⋅⋅⋅⋅(각 w(E) + ⋅⋅⋅)이 Hⁱ(X; Z/2Z의 원소)이다.

더 스티펠-Whitney class w(E)는 실제 벡터 번들 E의 불변성 물질이다. 즉, F가 E와 기본 공간 X가 동일한 또 다른 실제 벡터 번들일 때, F가 E와 이형화되면 Stiefel–Whitney 클래스는 w(E)와 w(F)가 동일하다.(여기서 이형성(異形性)은 신원ID를_X 포괄하는 벡터다발 이형성 E → F가 존재함을 의미한다.)일반적으로 두 개의 실제 벡터 번들 E와 F가 이형인지 아닌지를 결정하는 것은 어렵지만, 스티펠-은w(E)와 w(F)가 있는 휘트니 수업은 종종 쉽게 계산될 수 있다.서로 다르다면 E와 F가 이형성이 아니라는 것을 안다.

예를 들어, S¹ 원을 넘어서는 작은 묶음에는 이형화되지 않는 선다발(즉, 1등급의 실제 벡터다발)이 있다.이 선다발 L은 뫼비우스 스트립(섬유가 벡터다발이 되는 방식으로 벡터 공간 구조를 장착할 수 있는 섬유다발)이다.코호몰로지 그룹 H¹(S¹; Z/2Z)는 0 이외의 한 요소만 가지고 있다.이 원소는 제1의 스티펠이다.L의 휘트니 클래스 w₁(L). S에¹ 대한 사소한 선다발이 먼저 스티펠-을 가지고 있기 때문에.휘트니 클래스 0은 L과 이형적이지 않다.

동일한 스티펠을 가진 두 개의 실제 벡터 번들 E와 F.휘트니 계급이 반드시 이형적인 것은 아니다.예를 들어 E와 F가 동일한 기본 공간 X에 걸쳐 서로 다른 등급의 사소한 실제 벡터 번들일 때 이러한 현상이 발생한다.E와 F의 순위가 같을 때도 발생할 수 있다: 2-sphere S의² 접선 다발과 S보다² 2위 이상의 사소한 실제 벡터 다발이 동일한 스티펠--을 가지고 있다.휘트니 클래스, 하지만 그들은 이질화되지 않았다.하지만 X 위에 있는 두 개의 실제 선다발이 같은 스티펠을 가지고 있다면-휘트니 클래스, 그렇다면 그들은 이형성이다.

오리진스

더 스티펠-Whitney class w_i(E) w(E)는 Eduard Stiefel과 Hasler Whitney가 X의 i-골격으로 제한된 벡터 번들 E의 선형 독립 섹션 어디에나 n - i + 1을 구축하기 위한 방해 클래스의 mod-2 축소로 발견했기 때문에 이름을 얻게 되었다.여기서 n은 벡터 번들 F → E → X의 섬유 크기를 나타낸다.

정확히 말하자면, X가 CW 복합체라면 휘트니는 X의 i번째 세포 코호몰로지 그룹에서 W(E_i) 등급을 정의했다.계수 시스템은 (n-i+1) E 섬유에서 선형 독립 벡터의 (n-i+1) Stiefel 다지관 V_n−i+1(F)의 (i-1)-st 호모토피 그룹이다.Whitney는 X의 i-skeleton에 제한되었을 때, E가 (n-i+1) 선형 독립 섹션을 가질 경우에만 W_i(E) = 0을 증명했다.

πV_i−1n−i+1(F)는 Z/2Z에 대해 무한 주기 또는 이형이기 때문에, W(E) 클래스가 지피펠-인 Hⁱ(X; Z/2Z) 클래스로_i 표준적으로_i 감소한다.휘트니 클래스더욱이 πV_i−1n−i+1(F) = Z/2Z일 때마다 두 등급은 동일하다.따라서 w₁(E) = 0은 번들 E → X가 방향을 잡을 수 있는 경우에만 0이다.

w₀(E) 클래스는 정의상 1과 같기 때문에 정보를 포함하지 않는다.휘트니에 의한 그것의 창조는 창조적인 표기법의 행위로서 휘트니섬 포뮬러 w(E₁ ⊕ E₂) = w(E₁)w(E₂)w(E)가 사실일 수 있도록 했다.

정의들

전체적으로ⁱ, H(X; G)는 그룹 G에 계수가 있는 공간 X의 단일한 코호몰리를 나타낸다.Word map은 위상학적 공간 사이의 항상 연속적인 함수를 의미한다.

자명적 정의

The Stiefel-Whitney characteristic class ${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$ of a finite rank real vector bundle E on a paracompact base space X is defined as the unique class such that the following axioms are fulfilled:

1. 정규화:The Whitney class of the tautological line bundle over the real projective space P¹(R) is nontrivial, i.e. ${\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2$$\mathbf {Z}[a]/(a^{2$})}$$.
2. Rank: w₀(E) = 1 ∈ H⁰(X), and for i above the rank of E, ${\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}$, that is, ${\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).$$}$
3. 휘트니 제품 $공식{\displaystyle }$: w${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle F}$)${\displaystyle }$= w ${\displaystyle (E}$) ${\displaystyle ⌣}$ w ${\displaystyle (F}$) ${\displaystyle w (E\oplus F)=w(E)\smally w(F$ 즉, 휘트니 직분류는 썸머 클래스의 컵 제품이다.
4. Naturality: ${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$ for any real vector bundle E → X and map ${\displaystyle f:X'\to X}$, where ${\displaystyle f^{*}E}$ denotes the pullback vector bundle.

이러한 등급의 고유성은 예를 들어 Husemoller의 섹션 17.2 – 17.6 또는 Milnor 및 Stasheff의 섹션 8에서 입증된다.그 존재에 대한 몇 가지 증거가 있는데, 여러 가지 구성에서 나온 것인데, 여러 가지 다른 맛과 함께, 그 존재의 일관성은 단성 진술에 의해 보장된다.

무한 그라스만족을 통한 정의

무한 그라스만족과 벡터 번들

이 절에서는 공간 분류 개념을 이용한 공사에 대해 설명한다.

모든 벡터 공간 V에 대해 Gr_n(V)는 V의 n차원 선형 서브스페이스 공간인 그래스만니아어를 나타내고 무한 그래스만니아어를 나타내도록 한다.

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= G ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbf {R} ^{\inft })}$.

Recall that it is equipped with the tautological bundle ${\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}$ a rank n vector bundle that can be defined as the subbundle of the trivial bundle of fiber V whose fiber at a point ${\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}$ is the subspace represented by Ẃ.

f : X → Gr_n, 무한 그라스만족에 대한 연속적인 지도가 되게 하라.그리고, 이소모르프까지, 지도 f에 의해 유도된 묶음 X에.

${\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in {\text{Vect}_{n}(X)}$

지도[f]의 호모토피 등급에만 의존한다.따라서 풀백 연산은 세트로부터 형태론을 제공한다.

${\displaystyle [X;Gr_{n}]}$

지도 X → Gr_n modulo homotophy 동등성, 집합에 대한 modulo homotophy 동등성

${\displaystyle {\text{Vect}_{n}(X)}$

X위에 n등급의 벡터다발의 이형성 등급.

(이 구조에서 중요한 사실은 X가 파라콤팩트 공간이라면 이 지도는 바이어스라는 것이다.이것이 우리가 무한 그라스만족을 벡터다발의 분류공간이라고 부르는 이유다.)

Now, by the naturality axiom (4) above, ${\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}$. So it suffices in principle to know the values of ${\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}$ for all j.However, the coholomology ring ${\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$ is free on specific generators ${\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$ arising from a standard cell decomposition, and it then turns out that these generators a실제로 x ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{\gamma n}^{}}$) ${\displaystyle x_{j}=w_{j}(\filency$^{$n})$로 방금 주어졌다$.$따라서 모든 랭크-n 번들의 경우 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ j ${\$ 여기서 f는 적절한 분류 맵이다.특히 이것은 스티펠-의 존재에 대한 하나의 증거를 제공한다.휘트니 클래스

라인 번들의 경우

이제 우리는 위의 구성을 라인 번들로 제한한다. 즉, X를 넘는 라인 번들의 공간인 벡트₁(X)를 고려한다.선 Gr의₁ Grassmanian은 단지 무한한 투영 공간일 뿐이다.

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\inf}(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infit }/\mathbf {R} ^{*}},}$

무한구 S에^∞ 의해 대척점에 의해 이중으로 덮인다.이^∞ S구는 수축이 가능하기 때문에 우리는

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}$

따라서 P^∞(R)는 Eilenberg-Maclane 공간 K(Z/2Z, 1)이다.

에일렌베르크-마클레인 공간의 속성이며, 다음과 같다.

${\displaystyle \left[X;\mathbf {P} ^{\nft }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

모든 X에 대해, f → f*η에 의해 주어지는 이형성(異形性)으로, 여기서 η은 발전기(generator)이다.

${\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$.

α : [X, Gr₁] → 벡트₁(X)도 역시 편향이라는 종전의 말을 적용하면, 우리는 편견을 얻는다.

${\displaystyle w_{1}:{1}:{Vect}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

이것은 스티펠-을 규정한다.라인 번들에 대한 Whitney 클래스₁ w.

라인 번들 그룹

만약 벡트₁(X)가 텐서 제품 운용에 따른 그룹으로 간주된다면, 스티펠-Whitney class₁₁, w : Vect(X¹) → H(X; Z/2Z)는 이형성이다.즉, 모든 라인 번들 μ, μ → X에 대해 w₁(λ) = w₁(λ) + w₁(μ)이다.

예를 들어, H¹(S¹; Z/2Z) = Z/2Z이기 때문에, 이소형성을 묶기 위해 원 위에 두 개의 선다발만 있는데, 그것은 사소한 것과 뫼비우스 띠(즉, 경계가 삭제된 뫼비우스 띠)이다.

복합 벡터 번들에 대한 동일한 구조는 해당 분류 공간이 P^∞(C), K(Z, 2)이기 때문에 체르누스 클래스가 X와 H²(X; Z)를 통한 복합 라인 번들 사이의 편차를 정의한다는 것을 보여준다.위상학 선다발에 대해서는 이러한 이형성이 사실이며, 대수 벡터다발에 대한 체르누스 계급의 주입성 방해는 야코비안 품종이다.

특성.

소멸의 위상학적 해석

1. w_i(E) = i > 순위(E) 때마다 0.
2. If E^k has ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}$ sections which are everywhere linearly independent then the ${\displaystyle \ell }$ top degree Whitney classes vanish: ${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}$.
3. 제1회 스티펠-휘트니 클래스는 묶음이 방향을 잡을 수 있는 경우에만 0이다.특히 다지관 M은 w₁(TM) = 0인 경우에만 방향이 잡힌다.
4. 1번과 2번 스티펠 모두 회전 구조를 인정한다.휘트니 수업은 제로야
5. 제2의 스티펠은 방향을 잡을 수 있는 보따리상이다.휘트니 클래스는 자연지도 H²(M, Z) → H²(M, Z/2Z) (동일하게, 소위 제3의 적분 스티펠–)의 이미지에 있다.휘트니 클래스는 0) 묶음이 스핀^c 구조를 인정하는 경우에만 해당된다.
6. 모든 스티펠-부드러운 콤팩트 매니폴드의 휘트니 번호(아래 참조) X 만약 다지관이 어떤 부드러운 콤팩트(비지향적) 다지관의 경계인 경우에만 사라진다(경고: 일부 스티펠 휘트니 등급은 모든 스티펠 휘트니 번호가 사라지더라도 여전히 0이 아닐 수 있다!).

스티펠의 독특함휘트니 클래스

선다발에 대한 위의 편향은 위의 네 가지 공리를 만족하는 functor θ은 다음 논거에 의해 w와 같다는 것을 의미한다.두 번째 공리는 θ(γ¹) = 1 + θ₁(γ¹)이다.$포함$ 지도 i : P¹(R) → P^∞(R)의 경우 풀백 번들 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$gamma ^{1}{1}:{$1}:{1$}}}$과 ${\displaystyle {같다\mathrm{}}_{}^{}}.$따라서 첫 번째와 세 번째 공리는

${\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\reft ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\reft ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\cHB_{1}^{1}\right)=w_{1}\{1}\lift(\ft_{1}^{1}\right)=w_{1}\lift(i^{*}\1}\right)=i^{*w_{1}\left(오른쪽).}$

지도 이후

${\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}$

is ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1}})=w_{1}(\$ ^ ^{$1})$ 및$$ θ(γ¹) = w(γ¹)이다.E를 공간 X 위에 있는 n등급의 진짜 벡터 묶음이 되게 하라.그런 다음 E는 분할 지도, 즉 일부 공간에 대한 지도 f : X → → X′를 인정한다. $X{\displaystyle {}^{\prime }}$: ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X}$ ;${\displaystyle Z\mathbf{}}$ / ${\displaystyle 2\mathbf{}}$Z${\displaystyle }$) → ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ (X${\displaystyle /}$ ; ${\displaystyle Z}$/ 2$$Z ){\$displaysty$ f$^{*}:$$H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$ is injective and ${\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}$ for some line bundles ${\displaystyle \lambda _{i}\to X'}$. Any line bundle over X is of the form ${\displaystyle g^{\ast }{\gamma }^1}$$$일부 지도 g의 경우$$ ${\displaystyle$ g$^{*}\message ^{1}.$

${\displaystyle \theta \left(g^{*}\reft \{1}\right)=g^{*}\theta \left(\reft ^{1}\right)=w\left(g^{*}\1}\right),}}$

자연적으로따라서 θ = w on ${\displaystyle {}_{}}$1 (${\displaystyle X}$ )$${\$displaystyle${\$text{Vect}_{1}(X$ 위의 네 번째 공리에서 따온 것이다.

${\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}$

$∗{\$는 주입식이기$$ 때문에 = = w.이리하여 스티펠-휘트니 수업은 위의 네 가지 공리를 만족시키는 독특한 펑터다.

동일한 스티펠을 가진 비이등형 번들-휘트니 클래스

지도 w₁ : Vect₁(X) → H¹(X; Z/2Z)는 바이어싱이지만, 해당 지도가 반드시 상위차원에서 주입되는 것은 아니다.예를 들어 접선 번들 TS를ⁿ 짝수로 고려하십시오.R에ⁿ⁺¹ S가ⁿ 표준적으로 내장되어 있는 상태에서, 정상 번들 ν to S는ⁿ 라인 번들이다.S는ⁿ 방향성이 있기 때문에 ν은 사소한 것이다.TSⁿ ⊕ ν의 합은 TR을ⁿ⁺¹ S로ⁿ 제한한 것에 지나지 않는데, R은ⁿ⁺¹ 계약성이 있기 때문에 사소한 것이다.Hence w(TSⁿ) = w(TSⁿ)w(ν) = w(TSⁿ ⊕ ν) = 1. But, provided n is even, TSⁿ → Sⁿ is not trivial; its Euler class ${\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[$$S^{n}]=2[S^{n}]\not =0$ 여기서 [Sⁿ]는 S와ⁿ χ 오일러 특성의 기본 등급을 나타낸다.

관련 불변제

스티펠-휘트니 수

우리가 n차원의 다양성을 연구한다면, 스티펠의 어떤 제품이라도-총도 n의 휘트니 등급은 다지관의 Z/2Z 기본 등급과 짝을 지어 Z/2Z의 요소를 제공할 수 있다.벡터 번들의 Whitney 번호.예를 들어, 다지관의 치수 3이 있는 경우, 선형적으로 독립된 스티펠-가 3개 있다.Whitney 번호${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}^{$3},w_{$1}$w_{2},w_{$3$\}\}.$ 일반적으로 다지관에 차원 n이 있을 경우 가능한 독립된 Stiefel–의 숫자Whitney 번호는 n의 파티션 수입니다.

더 스티펠-부드러운 다지관의 접선 다발의 휘트니 숫자를 스티펠-이라고 부른다.다지관의 휘트니 번호.그들은 거미줄 불변자로 알려져 있다.B가 M과 동일한 경계를 가진 부드러운 콤팩트(n+1)-차원 다지관이라면 M의 스티펠-휘트니 번호는 모두 0이라는 것이 Lev Pontryagin에 의해 증명되었다.^[1]게다가, 모든 M의 스티펠-휘트니 숫자가 0이면 M은 어떤 부드러운 콤팩트 다지관의 경계로서 실현될 수 있다는 것이 르네 톰에 의해 증명되었다.^[2]

원 스티펠-수술 이론에서 Whitney의 중요도 수는 a (4k+1)차원 다지관의 데 Rham 불변성, w ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 4 ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$.${\displaystyle w_{$2}$w_{4k-1}.$$}$

우계급

더 스티펠-Whitney class w는_k (Wu 1955) harv error: no target: CATEREFWu1955 (도움말)에서 Wu class v의_k Steenrod square이다.가장 간단히 말해서, 총 스티펠-휘트니 클래스는 총 Wu 클래스의 총 Steenrod 사각형이다: Sq(v) = w. Wu 클래스는 Steenrod 사각형을 대표하는 코호몰로지 클래스로서 Steenrod 사각형의 관점에서 암묵적으로 정의되는 경우가 가장 많다.매니폴드 X의 치수가 n이 되도록 두십시오.Then, for any cohomology class x of degree n-k, ${\displaystyle v_{k}\cup x=Sq^{k}(x),}$. Or more narrowly, we can demand ${\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle Sq^{k}(x),\mu \rangle }$, again for cohomology classes x of degree n-k.^[3]

일체형 스티펠-휘트니 클래스

$\beta {\displaystyle }$ w ${\displaystyle {}_{}}$ H${\displaystyle {}_{}{\mathrm{i}}^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$; ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {$Z$}$)을(를) i + 1 적분 Stiefel–이라고 한다$$.휘트니 클래스, 여기서 β는 bockstein 동형상이며, 감소모듈로 2, Z → Z/2Z에 해당한다.

${\displaystyle \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z})\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z}).}$

예를 들어, 제3의 필수 요소인 스티펠-휘트니 클래스는 스핀^c 구조의 방해물이다.

스텐로드 대수학과의 관계

스텐로드 대수학 너머로, 스티펠-부드러운 다지관의 휘트니 등급(스티펠로 정의됨)접선 번들의 휘트니 클래스)는 $w{\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\displaystyle {i^{}}_{}}$ ${\$ 형식의 클래스에 의해 생성되며$,$ 특히 스티펠–휘트니 계급은 우원준의 이름을 딴 우 공식에 만족한다.^[4]

${\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \선택 t}w_{i-t}w_{j+t}}}}}$

참고 항목

• 일반 조사를 위한 특성 클래스, 특히 체르누스 클래스, 복잡한 벡터 번들에 대한 직접 아날로그 클래스
• 실제 투영 공간

참조

외부 링크

• 다지관 아틀라스에서 우급