복합 벡터 번들

수학에서 복합 벡터다발은 섬유질이 복잡한 벡터공간인 벡터다발이다.null

어떤 복잡한 벡터 묶음도 스칼라의 제약을 통해 진짜 벡터 묶음으로 볼 수 있다.반대로, 어떤 실제 벡터 번들 E는 복잡한 벡터 번들, 즉 복합화로 승격될 수 있다.

${\displaystyle E\otimes \mathb {C} ;}$

누구의 섬유는 E_x ⊗_R C이다.

파라콤팩트 공간 위에 있는 어떤 복잡한 벡터 묶음도 은둔자 측도를 허용한다.null

복잡한 벡터 다발의 기본 불변성은 체르누스 계급이다.복잡한 벡터 번들은 성적으로 방향을 잡는다. 특히 오일러 클래스를 들을 수 있다.null

복합 벡터 번들은 X가 복합 다지관이고 국소 사소한 것이 바이홀로모픽인 경우 홀로모픽 벡터 번들이다.null

복합구조

복잡한 벡터 번들은 추가적인 구조인 복잡한 구조를 가진 실제 벡터 번들로 생각할 수 있다.정의에 따르면, 복잡한 구조는 실제 벡터 번들 E와 그 자체 사이의 번들 맵이다.

$(\displaystyle J:E\to E}$

${\displaystyle J_{}}$가 섬유에서${\displaystyle {}_{}{-1}_{}}$의 제곱근 i 역할을 하는 경우: J x : E x → E x $displaystyle J_{x}:$$E_{x}\to E_{x}}}$는 광섬유 수준의 맵이고, 그 다음 ${\displaystyle \mathrm{J}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle J_{x}^{2}=-1}$을(를) 선형 맵으로 한다$$.E가 복잡한 벡터 번들일 경우, 복잡한 구조 $J$를 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 의한 스칼라 곱으로 설정하여$$ 정의할 수 있다$.$ 반대로 E가 복잡한 구조 J를 가진 실제 벡터 번들일 경우, E를 설정하여 복잡한 벡터 번들로 바꿀 수 있다: 어떤 실수 a, bd 섬유 E의_x 실제 벡터 v,

${\displaystyle (a+ib)v=av+J(bv).}$

예:실제 다지관 M의 접선다발 위에 있는 복잡한 구조물을 보통 거의 복잡한 구조라고 부른다.뉴랜더와 니렌버그의 정리는 J를 포함하는 특정 텐서가 소멸되는 경우에만 복잡한 다지관의 구조에 의해 유도된다는 점에서 거의 복잡한 구조 J는 "통합할 수 있다"고 말한다.null

콘게이트 다발

E가 복합 벡터 번들일 경우, E의 결합 번들 $'{\$은 복잡한 숫자 결합체를 통해 작용하는 복잡한 숫자로 이루어진다.Thus, the identity map of the underlying real vector bundles: ${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }}$ is conjugate-linear, and E and its conjugate E are isomorphic as real vector bundles.null

$'{\$의 k-th Chener 클래스는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle c_{}}$ ( ${\displaystyle \mathrm{E}\stackrel{}{\text{'}}}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}E}$) ${\displaystyle c_{k}({\overline{E})=(-1)^{k}c_{k}(E$

특히 E와 E는 일반적으로 이형성이 아니다.null

If E has a hermitian metric, then the conjugate bundle E is isomorphic to the dual bundle ${\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})}$ through the metric, where we wrote ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ for the trivial complex line bundle.null

E가 실제 벡터 번들인 경우, E의 복합화에 대한 기초적인 실제 벡터 번들은 E의 두 복사본의 직접적인 합이다.

${\displaystyle(E\otimes \mathb {C} )_{\mathb {R} }=E\oplus E}$

(V⊗_RC = 실제 벡터 공간 V의 경우 V⊕iV이기 때문에)복합 벡터 번들 E가 실제 벡터 번들 E'의 복합화라면 E'는 실제 형태의 E(실제 형태가 둘 이상 있을 수 있음)라고 하고 E는 실수에 걸쳐 정의한다고 한다.만약 E가 실제 형태를 가지고 있다면, E는 그것의 결합에 이형성이며(둘 다 실제 형태의 두 복사본의 합이기 때문에), 결과적으로 E의 홀수 체르누스 계급은 순서 2를 갖는다.

참고 항목

• 홀로모르프 벡터 번들
• 케이이론

참조

• Milnor, John Willard; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9