파라메트리징(지오메트리)

Parametrization (geometry)
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수학에서, 그리고 더 구체적으로 기하학에서 파라메트리제이션(또는 파라미터화; 또한 파라미터화, 파라메트리제이션)은 암묵적 방정식으로 정의되는 곡선, 표면 또는 보다 일반적으로 다지관이나 다양성의 파라메트릭 방정식을 찾는 과정이다. 역 과정을 암묵화라고 한다.[1] "매개변수화"는 그 자체로 "매개변수 측면에서 표현한다"는 뜻이다.[2]

파라메트리제이션(Parametrization)은 시스템, 프로세스 또는 모델의 상태를 파라메타라고 불리는 일부 독립적인 양의 함수로서 표현하는 것으로 구성되는 수학적 과정이다. 시스템 상태는 일반적으로 유한 좌표 집합에 의해 결정되며, 따라서 파라메트리제이션은 각 좌표에 대해 여러 개의 실제 변수의 하나의 함수로 구성된다. 매개변수 수는 시스템의 자유도 수입니다.

예를 들어 3차원 공간에서 곡선을 그리며 움직이는 점의 위치는 고정된 원점에서 출발할 때 점 도달에 필요한 시간에 의해 결정된다. x, y, z가 점의 좌표인 경우, 이동은 모수 방정식으로 설명된다.

여기서 t는 매개변수로서 시간을 나타낸다. 그러한 파라메트릭 방정식은 t를 시간으로서 해석할 필요 없이 곡선을 완전히 결정하므로, 곡선의 파라메트릭 방정식이라고 한다(이것은 때로는 파라메트릭 곡선이 있다고 말해 약칭되기도 한다). 하나는 두 매개변수 t와 u의 함수를 고려하여 표면의 파라메트릭 방정식을 유사하게 얻는다.

고유하지 않음

파라메트리제이션은 일반적으로 독특하지 않다. 일반적인 3차원 물체는 카르테시아 좌표(x, y, z), 원통형 극좌표(ρ, φ, z), 구형 좌표(r, φ, θ) 또는 기타 좌표계와 동등하게 파라메트리화(또는 "조정화")할 수 있다.

마찬가지로 인간 삼색색 시력의 색 공간은 적색, 녹색 및 청색, RGB 또는 청록색, 자홍색, 황색 및 검은색 CMYK와 함께 파라메트리될 수 있다.

차원성

일반적으로 모델 또는 기하학적 객체를 설명하는 데 필요한 최소 매개변수 수는 해당 치수와 같으며 매개변수의 범위(허용 범위 이내)는 매개변수 공간이다. 매개변수의 좋은 집합이 객체 공간의 모든 점을 식별할 수 있지만, 주어진 파라메트리제이션의 경우 다른 매개변수 값이 동일한 점을 나타낼 수 있다. 그러한 지도는 허탈하지만 주입되지는 않는다. 원통형 극좌표( (, φ, z)와 (ρ, φ + 2π, z)의 쌍을 예로 들 수 있다.

인비언스

위에서 제시한 바와 같이, 주어진 모델, 기하학적 객체 등의 파라미터 선택에 있어서 재정적인 문제가 있다. 흔히 사람들은 이러한 재정 거래에 의존하지 않는 개체의 내적 특성을 결정하기를 원하며, 따라서 매개 변수의 특정 선택과는 무관하다. 특히 물리학의 경우, 파라메트리조화침투(또는 '리파라메트리조화침투')가 물리적으로 수용 가능한 이론(특히 일반상대성)을 탐색할 때 지침원리가 되는 경우가 이에 해당한다.

예를 들어, 곡선의 고정점 위치는 곡선이 파라메트리되는 방법에 따라 값이 달라지는 숫자 집합에 의해 주어질 수 있지만, 그러한 두 고정점 사이의 곡선의 길이(적절하게 정의됨)는 파라메트리제이션의 특정한 선택과는 무관할 것이다(이 경우: 임의의 포이에 의한 방법).선의 nt는 고유하게 색인화됨). 따라서 곡선의 길이는 변수화-변수량이다. 이 경우 매개변수화는 매개변수화의 세부사항에 따라 값이 달라지지 않는 결과를 추출하거나 참조하기 위해 사용되는 수학적 도구다. 보다 일반적으로 물리적 이론의 파라메트리조화 불변성은 해당 물리(물리적 유의성의 양)를 기술하는 데 필요한 것보다 매개변수 공간의 치수나 부피가 크다는 것을 암시한다.

일반 상대성 이론은 좌표계를 참조하지 않고 표현할 수 있지만, 여유 시간의 곡률과 같은 물리적(즉, 관측 가능한) 양의 계산은 항상 계산에 수반되는 여유 시간 점을 참조하기 위해 특정 좌표계의 도입을 수반한다. 그렇다면 일반상대성이론의 맥락에서 좌표계의 선택은 스페이스타임을 '변수'하는 방법으로 볼 수 있으며, 그 선택에 물리적으로 유의미한 양의 계산 결과가 무감각한 것은 매개변수화 불변성의 예로 볼 수 있다.

또 다른 예로서 관측 가능한 수량이 물체 쌍 사이의 상대적 거리(거리의 비율)에만 의존하는 물리적 이론은 척도 불변이라고 한다. 그러한 이론에서 절대 거리에 대한 계산 과정에서의 언급은 이론이 불변하는 매개변수의 도입을 의미할 것이다.

예

기술

참조

  1. ^ Jump up to: a b Hughes-Hallet, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2012-01-01). Calculus : Single and multivariable. John wiley. p. 780. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.
  2. ^ "Definition of PARAMETERIZE". www.merriam-webster.com. Retrieved 2017-05-11.

외부 링크