아르틴-슈레이어 이론

수학에서 아르틴-슈레이어 이론은 특성 p와 동일한 수준의 학위의 갈루아 연장에 대해 갈루아 이론의 한 분야, 특히 쿠메르 이론의 양성 특성 아날로그다.아르틴과 슈라이어(1927년)는 프라임 도 p의 연장에 대해 아르틴-슈라이어 이론을 도입했고, 비트(1936년)는 프라임 도 p의ⁿ 연장에 대해 이를 일반화했다.

K가 특성 p, 소수, 형식의 모든 다항식 필드인 경우

${\displaystyle X^{p}-X-\alpha ,\,}$

K에서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해 Artin-Schreier 다항식이라고 한다.모든 β $\alpha {\displaystyle }$β ${\displaystyle p^{}}$- ${\displaystyle \beta }$ - β - β -$$\$displaystyle \alpha \neq \beta$^{$p}-\beta$}}이(가) $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystystyle \beta \in K}$일 때$$이 다항식은 K[X에서 해석할 수 없으며, K의 주기적 확장이다.이는 모든 루트 β에 대해 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ p$[\displaystyle 1\leq$ i$\leq p}$에 대한$$β + i는 모든 루트를 형성하므로, 페르마의 작은 정리로는 분할 장은 $K{\displaystyle }$ (${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle$ K$(\beta )}$이다$.$

반대로 K의 특성과 동일한 도 p의 갈루아 확장은 Artin-Schreier 다항식의 분할 영역이다.이것은 힐베르트의 정리 90이나 첨가제 갈루아 코호몰로지처럼 쿠메르 이론에 관련된 방법의 첨가제 반대편을 사용하여 증명할 수 있다.이러한 확장을 아르틴-슈라이어 확장이라고 한다.

Artin-Schreier 확장은 해결 가능한 체인에서 가능한 확장 종류 중 하나를 나타내는 특성 p에서 급진자에 의한 해결가능성 이론에 역할을 한다.

그들은 또한 아벨 품종 이론과 그들의 이등생성 이론에도 한 몫을 한다.특성 p에서, 아벨리아 품종 p의 등생성은 기능 분야에 대해 Artin-Schreier 확장 또는 순수하게 분리할 수 없는 확장을 제공해야 한다.

아르틴-슈라이어-위트 확장

Witt(1936년)가 개발한 Witt 벡터를 사용하여 p-power diages의 특성 p(도 p 그 자체가 아님)에 순환 확장을 기술한 Artin-Schreier 이론의 아날로그가 있다.

참조

• Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer Berlin / Heidelberg, 5: 225–231, doi:10.1007/BF02952522, ISSN 0025-5858
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 섹션 VI.6
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001 섹션 VI.1
• Witt, Ernst (1936), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pⁿ", Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German), 176: 126–140, doi:10.1515/crll.1937.176.126