모리타등가

추상대수학에서 모리타 동등성은 많은 고리-테오틱 특성을 보존하는 고리들 사이에 정의된 관계다.R, S와 같은 보다 정확하게 두 개의 링은 모리타 등가(R categories S ${\displaystyle$ ${\displaystyle {}_{}}$$\$약$S})$ 모듈 범주가 추가적으로 동일하다면$($${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}_{R}M\$약${}_{S}M}).$^[a][2]1958년 등가성과 이와 유사한 이중성의 개념을 정의한 일본의 수학자 키티 모리타의 이름을 따서 명명되었다.

동기

링은 모듈을 링의 표현으로 볼 수 있기 때문에 일반적으로 모듈의 측면에서 연구된다.모든 링 R은 모듈 작용이 링의 곱셈으로 정의되는 자연적인 R-모듈 구조를 가지고 있기 때문에 모듈을 통한 접근은 보다 일반적이며 유용한 정보를 제공한다.이 때문에, 사람들은 종종 그 링 위에 있는 모듈들의 범주를 연구함으로써 링을 연구한다.모리타 동등성은 링의 모듈 범주가 등가라면 모리타 등가라고 정의함으로써 이 관점을 자연스런 결론으로 가져간다.이 개념은 이형인 경우에만 두 개의 교환형 링이 모리타 등가임을 알 수 있기 때문에, 비 교환형 링을 다룰 때에만 관심을 갖는다.

정의

R, R-Mod에 대한 (좌)모듈의 범주 및 S, S-모드에 대한 (좌)모듈의 범주의 등가성이 있는 경우, R과 S-모드에 대한 (좌)모듈의 범주의 등가성이 있으면 (모리타) 등가라고 한다.오른쪽 모듈 범주 Mod-R과 Mod-S가 동등한 경우에만 왼쪽 모듈 범주 R-Mod와 S-Mod가 동등하다는 것을 보여줄 수 있다.또한 동등성을 산출하는 R-Mod에서 S-Mod까지의 모든 functor는 자동으로 첨가된다는 것을 보여줄 수 있다.

예

어떤 2개의 이형 고리는 모리타에 상당한다.

R(R_n)에 원소가 있는 n-by-n 행렬의 링은 어떤 n > 0에 대해서도 모리타(Morita)와 동등하다. 이를 통해 아르틴-이 부여한 단순한 아르티니아 반지의 분류를 일반화한다는 점에 유의한다.웨더번 이론.동등성을 보려면 X가 왼쪽 R-모듈인 경우 X는ⁿ M_n(R)-모듈이며, 여기서 X의 열 벡터 왼쪽에 있는 행렬 곱셈에 의해 모듈 구조가 지정된다.이를 통해 왼쪽 R-모듈의 범주에서 왼쪽_n M(R)-모듈의 범주에 이르는 펑터를 정의할 수 있다.역_n functor는 M(R)-모듈에 대해 M_n(R)-모듈이 위에서 설명한 대로 X에서 얻을 수 있도록 좌측 R-모듈 X가 있다는 것을 깨달음으로써 정의된다.

등가기준

만약 F:R-Mod →{\displaystyle \to}S-Mod과 G:S-Mod →{\displaystyle \to}R-Mod은 첨가물(공변)functors, F와 G등가성을 경우에만 균형 잡힌(S,R)-bimodule P가 핑크, PR은 유한하게 생성된 사영 발생되고 있으며 자연의 있Equivalences로 간주될 수 없다.lisomorphisms of the functors ${\displaystyle \operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-}$, and of the functors ${\displaystyle \operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).}$ Finitely generated projective generators are also sometimes called progenerators for their m결절 ^[3]범주

For every right-exact functor F from the category of left-R modules to the category of left-S modules that commutes with direct sums, a theorem of homological algebra shows that there is a (S,R)-bimodule E such that the functor ${\displaystyle \operatorname {F} (-)}$ is naturally isomorphic to the functor ${\display$스타일 E\otimes}. equivalences 필요하고 출근하는 직접적인 자금줄과 꼼꼼한 사람들, 이것은 R와 S는 누구 모리타와 맞먹는 것을 의미하 _{R}-고만 있다면 bimodules RMS와 SNR등 M⊗ SN≅ R{\displaystyle M\otimes_{S}N\cong R}로(R,R)bimodules와 N⊗ RM≅ S{\displaystyle N\otimes_{R}M\cong S}as(S,S) 바이모듈.더욱이 N과 M은 (S,R) 바이모듈 이형성을 통해 다음과 같이 연관된다.${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \mathrm{Home}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M_{}}$S ,${\displaystyle {}_{}{S}_{}}$ ) ${\displaystyle N\cong \operatorname {Hom}(M_{S},S_{S$

구체적으로는 프로제너레이터 모듈 P에_R $대해{\displaystyle }$ ^[4]S ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \mathrm{End}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (P_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle S\cong \operatorname {End}(P_{R})$을(를) 사용하는 경우에만 두 링 R과 S가 모리타 등가 된다.

${\displaystyle S\cong e\mathb {M} _{n}(R)e}$

(링의 이형성) 매트릭스 링 M_n(R)에 있는 일부 양의 정수 n 및 전체 idempotent e.

R이 S에 해당하는 모리타라면 링 C(R)는 링 C(S)와 이형성인 것으로 알려져 있는데, 여기서 C(-)는 링의 중심을 나타내고, 나아가 R/J(R)는 S/J(S)에 해당하는 모리타(J)이며, J(-)는 Jacobson 급진성을 나타낸다.

이형 고리는 모리타 등가지만 모리타 등가 링은 비이형일 수 있다.쉬운 예로 디비전 링 D는 모든 매트릭스 링 M_n(D)과 동등한 모리타이지만 n > 1일 때는 이형일 수 없다.특별한 교환 링의 경우 모리타 등가 링은 실제로 이형성이다.위의 설명에서 $R$이${\displaystyle }$S, ${\displaystyle R}$ = ${\displaystyle \mathrm{C})}$( ${\displaystyle R}$ ) ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=$$ {\$displaystyle R$=\operatorname ${C}(R)\cong$ \$operatorname$ {$C}(S)=S}$에 해당하는 경우 바로 뒤에 이 내용이 나온다$.$

등가성으로 보존되는 속성

많은 특성은 모듈 범주의 객체에 대한 동등성 펑터에 의해 보존된다.일반적으로 말해서, 모듈 및 모듈의 동형성(그들의 기본 요소나 링이 아닌) 측면에서 순수하게 정의된 모듈의 모든 속성은 동등성 펑터가 보존할 범주형 속성이다.예를 들어, F(-)가 R-Mod에서 S-Mod에 이르는 등가성 펑터인 경우, S 모듈 F(M)가 하는 경우에만 R 모듈 M은 주입, 투영, 플랫, 충실, 단순, 세미임플라이, 정밀하게 생성, 아르티니아, 노메테리아 등의 속성을 가진다.반드시 보존되지 않는 성질의 예로는 자유롭다는 것과 주기적인 것이 있다.

많은 이론적 성질들은 그들의 모듈의 측면에서 그리고 그렇게 이러한 속성 모리타 등가 고리 사이에 보존되어 있어 명시된 울리다특성과 동등한 고리 간의 공통된 모리타 고정 속성이라 불린다.만일 모든 모듈의semisimple 예를 들어, 반지 R그리고 이후semisimple 모듈 모리타 등가, S은 또한 모든 1모듈 semisimple 있어야 합니다 해당하는 링, 따라서 semisimple 반지 자체에 보존되어 있semisimple 있다.

왜 재산 보존되어야 한다 때때로 그것은 즉시 명백하지 않다.예를 들어, 폰 노이만 규칙적인 반지(모두 R에, R에서 x를 = axa 존재하)의 하나 이상의 표준 정의를 사용하여는 해당하는 링 또한 노이만 일반은 분명하지 않다.하지만 다른 제제:반지를 폰 노이만 만일 모든 모듈의 평평하고 있다.이후 평탄 모리타 등가성을 가로질러 보존된, 지금은 폰 노이만 규칙성 모리타 불변이다 분명하다.

다음 속성은 모리타:고정이 있다.

• ,semisimple 단순한
• 폰 노이만 정규
• 맞아(또는 왼쪽)Noetherian, 그렇(또는 왼쪽)Artinian.
• 오른쪽self-injective(또는 왼쪽)
• quasi-Frobenius
• 프라임은 오른쪽(또는 왼쪽)적semiprime,semiprimitive.
• 오른쪽(semi-)hereditary(또는 왼쪽)
• 옳은 비특이(또는 왼쪽)
• (또는 왼쪽)일관성 있는 올바른
• Semiprimary, 그렇(또는 왼쪽)완벽한,semiperfect.
• semilocal

는 모리타 고정이 아니다 속성의 예로는 머스칼린, 지역, 감소, 도메인, 올바른(또는 왼쪽)골디, 프로베니우스, 고정 기준 번호, 데데킨튼 플레이어와 한정되어 교환을 포함한다.

혹은 아닌 반지 재산 P{\displaystyle{{P\mathcal}여부}를 결정하기 위해 최소한 2명의 시험}Morita 불변이다 있다.반지를 R에서 한 요소 e는 idempotent 때 e2)e와 ReR)R.

• P{\displaystyle{{P\mathcal}}}은 모리타 고정 만일 때마다 반지 R가 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}, 그때는 멱등 e를 위해 모든 매트릭스 반지 Mn(R)모든 긍정적인 정수 n에, eRe는다.

또는

• ${\displaystyle \mathcal{P}}$ ${\$은(는) Morita 불변성인 경우: R의 모든 링 R 및 전체 IDempotent e에 대해, 링 eRe가 P ${\$을(를) 만족하는 경우에만$$ P ${\$ {\}을 만족한다$.$

추가 방향

동등성 이론에 대한 이중성은 모듈 범주 간의 이중성 이론으로, 여기서 사용되는 펑터는 공변량이 아닌 반비례적이다.이 이론은 형태는 비슷하지만, 어떤 링에 대한 모듈 범주 사이에 이중성이 없기 때문에 유의한 차이를 가지고 있다.즉, 무한차원^{[clarification needed]} 모듈은 일반적으로 반사적이지 않기 때문에, 이중성의 이론은 노에테리아 링을 통해 미세하게 생성된 알헤브라에 더 쉽게 적용된다.아마도 위의 기준은 이중성에 대한 아날로그를 가지고 있는데, 여기서 자연 이형성은 텐서 펑터가 아닌 홈 펑터의 관점에서 주어진다.

모리타 등가성은 또한 복합체 그룹오이드와 C*알게브라와 같은 더 구조화된 상황에서 정의될 수 있다.C*-알게브라의 경우, C*-알게브라의 추가 구조(비본질적인 *-작업에서 발생하는 구조)와 C*-알게브라가 반드시 신분적 요소를 가지고 있지 않기 때문에, 응용에 유용한 결과를 얻기 위해 강한 Morita 동등성이라고 불리는 더 강한 타입의 동등성이 필요하다.

K-이론의 중요성

두 링이 Morita 등가인 경우, Morita 등가치는 정확한 시퀀스(따라서 투사 모듈)를 보존하기 때문에 각각의 투사 모듈 범주의 유도 등가성이 있다.반지의 대수 K 이론은 (거의) 호모토피 그룹의 (거의) 링 위에 미세하게 생성된 투영 모듈의 (소) 범주의 신경 분류 공간에 대해 (퀼렌의 접근법에) 정의되므로, 모리타 등가 링은 이형 K-그룹을 가져야 한다.

메모들

인용구

참조

추가 읽기

• Reiner, I. (2003). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 28. Oxford University Press. pp. 154–169. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.