비틀림 없는 모듈

추상 대수학에서 링 R 위에 있는 모듈 M은 그것이 어떤 직접 제품^I R에 내장될 수 있다면 비틀림리스라고 불린다.동등하게, M의 각 비영점 요소가 일부 R-선형 기능 f: 아래에서 비영점 영상을 갖는 경우 M은 비틀림이 없다.

${\displaystyle f\in M^{\ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M,R),\quad f(m)\neq 0.}$

이 개념은 Hyman Bass에 의해 소개되었다.^{[citation needed]}

속성 및 예제

모듈은 표준적 지도가 그것의 이중 이중으로 들어간 경우에만 비틀림이 없다.

${\displaystyle M\to M^{\ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M^{\ast }R),\quad m\mapsto(f\mapsto f(m)), m\in,f\in M^{\ast }}}$

주입하는 거야만약 이 지도가 비주사적이라면, 그 모듈을 반사적이라 부른다.이 때문에 비틀림 없는 모듈은 반반복성이라고도 한다.

• 무이탈 모듈은 비틀림이 없다.보다 일반적으로 비 비틀림 없는 모듈의 직접적인 합은 비틀림 없는 것이다.
• 자유 모듈은 정밀하게 생성되면 반사적이지만, 일부 링의 경우 반사적인 자유 모듈도 무한히 생성된다.예를 들어, 계수적으로 많은 정수의 복사본의 직접적인 합은 정수에 대한 반사적 모듈이다. 예를 들어,^[1]

• 비틀림 없는 모듈의 하위 모듈은 비틀림 없는 것이다.특히 R에 대한 투영 모듈은 비틀림이 없으며, R의 좌뇌 이상은 비틀림 없는 좌뇌 모듈이며, 이와 유사하게 오른쪽 이상이다.
• 도메인 위의 비틀림 없는 모듈은 비틀림 없는 모듈이지만, Q는 비틀림 없는 Z-모듈로 비틀림 없는 것이 아니기 때문에 그 반대는 사실이 아니다.
• R이 통합 영역인 정류 링이고 M이 정밀하게 생성된 비틀림 없는 모듈인 경우, M을 R에ⁿ 삽입할 수 있고 따라서 비틀림 없는 M이 된다.
• N이 우측 R-모듈이라고 가정하면, 이중 N은^∗ 좌측 R-모듈의 구조를 가진다.이러한 방식으로 발생하는 모든 좌측 R모듈은 비 비틀림(비슷하게 좌측 R모듈의 이중인 우측 R모듈은 비 비틀림)인 것으로 나타났다.
• 디데킨드 도메인에서 정밀하게 생성된 모듈은 비틀림이 없는 경우에만 반사적이다.^[2]
• R은 노메테리아 링이 되고 M은 R에 반사적으로 미세하게 생성된 모듈이 되게 하라.그렇다면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S}$는 S가 R 위에 평탄할 때마다 S에 대한 반사 모듈이다$$.^[3]

반연속 고리와의 관계

Stephen Chase는 비틀림 없는 모듈과 관련하여 반자동 링의 다음과 같은 특성화를 증명했다.

모든 링 R에 대해 다음 조건은 동일하다.^[4]

• R은 준계통으로 남는다.
• 비틀림 없는 우측 R-모듈은 모두 평평하다.
• 링 R은 일관성 있게 유지되며, 등가라고 알려진 네 가지 조건 중 하나를 만족한다.
  • R의 모든 올바른 이상은 평평하다.
  • R의 모든 왼쪽 이상은 평평하다.
  • 모든 평평한 R-모듈의 하위 모델은 평평하다.
  • 모든 좌측 플랫 R-모듈의 하위 모델은 평평하다.

(성명에 좌/우 형용사가 섞여 있는 것은 실수가 아니다.

참고 항목

• 프뤼페르 주
• 반사성 피복

참조

• 제7장Bourbaki, Nicolas (1998), Commutative algebra (2nd ed.), Springer Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294