포지션 오퍼레이터

양자역학에서 위치 연산자는 입자가 관측할 수 있는 위치에 해당하는 연산자다.

위치 연산자를 충분히 넓은 영역(예: 강화 분포의 공간)으로 고려할 때, 고유값은 입자의 가능한 위치 벡터가 된다.^[1]

기호에 의한 경우 하나의 차원

} {\displaystyle x\rangele }

우리는

고유값

x

{\

displaystyle x

에 해당하는 위치 연산자의 단일 고유 벡터를 나타낸다. 그러면,

|x\rangle

|x\rangle

{\displaystyle

x

\rangele }

은(는)

위치

x

{\displaystyle x

}에서 입자 자체를 찾을 수 있는 확실한 입자의 상태를 나타낸다

|x\rangle

x

따라서 기호 $X$ $X$ 을( $X$ 를) 사용하여 위치 연산자를 나타내는 다른 기호(예: $Q$ ${\displaystyle$ Q $}($ 래그랑기 역학의 경우), ${\hat {\mathrm {x} }}$ ${\hat {\mathrm {x} }}$ ${\$ 등)도 ${\hat {\mathrm {x} }}$ 확인할 수 있다.

X\rangele =x x\rangele ,

모든 실제 위치

x

x

에 대해

x

위치 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 을(를) 가진 단일 상태의 실현 가능한 하나는 위치 $x$ $x$ 을(를) 중심으로 한 Dirac 델타(기능) 분포로 $x$ $x$ 흔히 $\delta _{x}$ $\delta _{x}$ ${\$ 로 표시된다 $\delta _{x}$

양자역학에서 모든 디락 분포의 순서(연속) 계열, 즉 패밀리

\delta =(\delta _{x})_{x\in \mathb {R}},

위치 연산자

X

{\displaystyle

X

}

의 (단일) 고유 베이시스라는 이유만으로 (단일) 위치 기반(한 차원)이라고 불린다

X

참고로 이 패밀리는 연속

좌표

x

{\displaystyle

x

}

에 의해 명령되지만,

x

이 기본 세트의 카디널리티는 알레프 원 대신 알레프 노우트(Aleph nought)이다.이는 이 계열의 Dirac 분포가 정사각형 통합(아래 관련 섹션 참조)이 요구되기 때문이며, 이는 이 기준으로 확장된 힐베르트 공간이 거의 무한히 많은 기본 상태를 가지고 있음을 의미한다.이를 이해하는 한 가지 방법은 Dirac 델타 함수를 연속 위치 공간의 매우 작은 격자 세그먼트의 한계로 취급하는 것이며, 따라서 격자 공간 기간이 0으로 가면서 이러한 격자 부위의 수는 셀 수 있는 무한대로 간다.

강화 분포의 공간에 다음과 $X$ 같은 선형 연속형 내형성 $X$ $X$ 만 존재함을 관찰하는 것이 기본이다.

X(\delta _{x}=x\delta _{x}}

모든 실제 지점

x

x

에 대해

x

상기의 고유한 내형성이 반드시 에 의해 정의된다는 것을 증명할 수 있다.

X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,

모든 강화 분포

\psi

{\displaystyle \

mathrm {x

}

에

\psi

대해 여기서

\mathrm {x}

{\

\mathrm {x}은

(

는) 위치 선의 좌표 함수를 나타냄

\mathrm {x}

- 실제 선에서 복잡한 평면으로 정의됨

\mathrm {x} :\mathb {R} \to \mathb {C} :x\mapsto x.

소개

일차원에서 - 직선으로 제한된 입자의 경우 - 제곱 계량

\filename ^{2}=\filename ^{*}\filename ,

표준화된 사각형 통합 파동 기능의

\psi :\mathb {R} \to \mathb {C},

특정 시간에 실제 라인의 특정

x

위치

x

x

에서 입자를 찾을 확률 밀도를 나타낸다.

즉, 특정 순간에 입자가 사각 통합형 파형 함수 ${\displaystyle \psi$ }로 $\psi$ 대표되는 상태에 있고 파형 $\psi$ 함수 $\psi$ $\psi$ 이 $\psi$ (가) $L^{2}$ 2 ${\$ L $^{2$ }} $L^{2}$ - 보통 $L^{2}$ 1이라고 가정할 때,

\ \{2}=\int_{-\infit }^{+\\infit } \property ^{2}d\mathrm {x} =1,

그러면 위치 범위 [

[a,b]

a ,

[a,b]

[a,b]

[a,b]

에서

[a,b]

입자를 찾을 확률은

\pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b} \cHB ^{2}d\mathrm {x} .

따라서 입자에 대한 $X$ 위치 $X$ $X$ 의 측정 예상 값은 값이다.

\langle X\langle _{\psi }=\int _{\mathb {R}\x}\psi ^{2}d\mathrman {x}\int _{\mathb {R}}\psi ^{*}\x}\psirmathrmathrmatmartmartmartmartrmat {x}, {x}, \x}

여기서:

입자는 상태 $\psi$ ${\displaystyle \psi$ \psi $}$ $\psi$ 인 것으로 가정한다.
함수 $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ ${\$ class $L^{1}$ 1 $L^{1}$ {\ $displaystyle$ L $1$ } ;
$\mathrm {x}$ 축의 좌표 $\mathrm {x}$ $함수$ 를 x ${\$ displaystyle $\mathrm$ { $x}로$ 표시한다 $.$

또한 관측 가능한 위치 $X$ $X$ 에 해당하는 양자역학 연산자도 다음과 같이 표시된다 $X$ .

X={\hat {\mathrm {x}}},

정의한

{\displaystyle \left \hat {x}}}}}\mathrm {x}\mathrm \mathrm \reason \right)(x)=x\reason

\psi

라인의 모든

x

포인트

x

{\

displaystyle \displaystyle \

displaystyle } 및 모든

\psi

포인트 x {\

displaystyle x}

에 대해.

왼쪽의 $\mathrm {x}$ 함수 $\mathrm {x}$ ${\$ 에 대한 곡선은 연산자의 존재를 나타내므로 이 방정식을 읽을 수 있다.

위치 연산자 $X$ ${\displaystyle$ $\psi }$ 이 $($ 가) 파형 함수 function ${\displaystyle$ \psi }에 대해 작용한 $X$ 결과는 좌표 함수 $\mathrm {x}$ ${\$ 에 파장 함수 $\psi$ {\ $displaystystyle \psi$ }을 $\mathrm {x}$ 곱한 것과 같다 $\psi$ $\psi$

또는 보다 간단하게:

연산자 $X$ $X$ 은(는) 모든 파형 함수 $\psi$ $\psi$ 을 $X$ $\psi$ (를) 좌표 함수 $\mathrm {x}$ ${\$ 에 곱한다 $\mathrm {x}$

참고 1. 보다 명확히 하기 위해 좌표함수를 도입했다.

\mathrm {x} :\mathb {R} \to \mathb {C} :x\mapsto x,

복잡한 평면에 위치선을 삽입할 뿐이지그것은 실선이 복잡한 평면에 표준적으로 내장되어 있는 것에 지나지 않는다.

참고 2. 파장 함수(상태) $\psi$ $\psi$ 에 대한 위치 연산자의 예상 값은 스칼라 제품으로 재해석할 수 있다 $\psi$ .

\langle X\langle _{\psi }=\int _{\mathb {R}\x}\x}\psi ^{2}=\int \\\mathb {R}{}}}\psi ^{*}(\langle) \psi X(\langle ,

assuming the particle in the state

\psi \in L^{2}

and assuming the function

\mathrm {x} \psi

be of class

L^{2}

– which immediately implies that the function

\mathrm {x}  \psi  ^{2}

Is integrable, i.e. of class

L^{1}

L^{1}

{\

L

^{1

주 3. 엄밀히 말하면 관측 가능한 위치 $X$ $X$ 은(는) 점으로 정의할 수 있다 $X$ .

{\displaystyle \left \hat {x}}}}}\mathrm {x}\mathrm \mathrm \reason \right)(x)=x\reason

정밀하게 포인트로 정의된 기능인 파동-다이렉트 위에 있는 실제

\psi

x

라인의

\psi

모든

\psi

x

{\displaystyle

x

}

및 모든 포인트에 대해.동등성 등급의 경우

\psi \in L^{2}

\psi \in L^{2}

\psi \in L^{2}

{\

정의는

\psi \in L^{2}

다음과 같이 직접 읽는다.

{\hat {x}}}}\mathrm {x}\mathrm {x}\mathrm {x} \mathrm,

모든 파동 기능

\psi \in L^{2}

L

\psi \in L^{2}

{\

L

^{2

기본 속성

위의 정의에서, 신중한 독자가 즉시 언급할 수 있듯이, 위치 운영자에 대한 영역과 공동 영역의 명확한 명세는 존재하지 않는다(라인에 국한된 입자의 경우).문학에서, 다소 명백하게, 우리는 본질적으로 이 근본적인 문제에 대한 세 가지 주요 방향을 발견한다.

$\psi$ 연산자는 L $L^{2}$ ${\$ L $^{$ $X}}$ 의 $D_{X}$ 하위 $D_{X}$ D $D_{X}$ ${\displaystyle$ $L$ $^{{X}$ 에 정의되며, 임베딩 $\mathrm {x}$ ${\$ 에 의해 제품이 $L^{2}$ $\psi$ $L^{2}$ 2 ${\$ L $^{2}}$ 에도 $\mathrm {x}$ $L^{2}$ 존재한다.이 경우 위치 운영자는 $[\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}:\psi \mapsto \mapsto \mathrm {x} \psi }$ 연속적이지 않은 ( $L^{2}$ $L^{2}$ ${\$ L $^{2$ }} $L^{2}$ }의 표준 스칼라 제품에 의해 유도된 위상에 대해 경계되지 않음), $L^{2}$ 고유 벡터도 없고 고유값도 없으며, 결과적으로 빈 아이겐스펙트럼(그 고유값의 집합)이 있다.
위치 연산자는 복합 가치의 슈워츠 기능(실제 라인에 정의되고 모든 파생상품과 함께 무한대로 급격히 감소하는 부드러운 복합 기능)의 ${\mathcal {S}}_{1}$ 공간 S ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\$ }에 대해 정의된다.임베딩 $\mathrm {x}$ ${\$ 에 의한 Schwartz 함수의 산물은 $L^{2}$ L 2 ${\$ {\ $mathcal{S}_{1$ }의 부분 집합인 ${\mathcal {S}}_{1}$ S ${\mathcal {S}}_{1}$ 에서 산다 $\mathrm {x}$ $L^{2}$ 이 경우 위치 연산자는 L $L^{2}$ ${\$ L $^{2}}.$ $X:{\mathcal {S}_{1}\to {\mathcal {S}_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$ 연속적인 ( ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\$ }의 표준적 위상에 대하여), ${\mathcal {S}}_{1}$ 주입, 고유 벡터 및 고유값 없음, 결과적으로 보이드 아이겐스펙트럼(유전자값의 집합)을 나타낸다.L $L^{2}$ ${\$ 의 스칼라 제품에 대해 (완전히) 자기 적응이다. $\displaystyle \langle X(\psi ) \phi \langle =\langle \psi X(\phi )\rangle ,}$ 도메인 ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\$ $\psi }$ 과 $\psi$ ( $\phi$ ) $\pi$ 에 속하는 $\phi$ 매 $\psi$ {\displaystyle ${\mathcal{S}_{1$
이것은 실제로 양자역학 문헌에서 가장 널리 채택된 선택이지만, 명시적으로 밑줄을 긋지는 않았다.위치 연산자는 복합 가치 강화 분포의 공간 ${\mathcal {S}}'_{1}$ ${\mathcal {S}}'_{1}$ ${\mathcal {S}}'_{1}$ ′{\ $displaystyle {\mathcal{S}_{$ 1}에 $대해$ 정의된다(슈워츠 함수 공간 ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\$ }의 위상 이중). ${\mathcal {S}}_{1}$ 임베딩 $\mathrm {x}$ ${\$ 에 의한 온대 분포의 산물은 $L^{2}$ 2 $L^{2}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{S}_{1}:{$ $2}}.$ 이 경우 포지션 오퍼레이터는 $L^{2}$ S $\mathrm {x}$ ${\mathcal {S}}'_{1}$ ${\$ $displaystyle$ L $^{2$ }}. $X:{\mathcal {S}_{1}\to {\mathcal {S}_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$ 연속적인 ( ${\mathcal {S}}'_{1}$ $′{\$ 의 표준적 위상에 대하여), ${\mathcal {S}}'_{1}$ 실선과 동일한 고유 벡터의 완전한 패밀리, 실제 고유값 및 Eigenspectrum(그 고유값의 집합)을 부여한 돌출적인. $L^{2}$ 2 {\ $displaystyle L^{2}}$ 의 스칼라 제품에 대하여 전치 연산자라는 의미에서 $L^{2}$ 자가 부착한다 $.$ ${}^{t}X:{\mathcal {S}_{1}\to {\mathcal {S}{1}:\mapsto \mathrm {x} \phi ,$ 슈워츠 기능 공간의 위치 연산자는 다음과 같이 스스로 적응한다. $\left\langle \left.\,{}^{t}X(\langle \langle \langle \langle \pright.\langle ,$ 공간 ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\mathcal {S}}_{1}$ ${\$ {\ $pi}$ 및 $\phi$ 공간 S 1 {\displaystyle ${\mathcal{S}_{1}$ 에 속하는 $\psi$ $\psi$ (테스트) 함수 $\phi$ $\psi$ 에 대해 ${\mathcal {S}}_{1}$

아이겐스타테스

위치 공간에 표현되는 위치 연산자(강화 분포 공간에 대한)의 고유 기능은 Dirac 델타 함수다.

비공식적인 증거.위치 연산자의 가능한 고유 벡터가 반드시 Dirac 델타 분포여야 함을 보여주기 위해, $\psi$ $\psi$ 이(가) 고유값 $x_{0}$ $x_{0}$ ${\$ 을(를) 가진 위치 연산자의 고유 상태라고 $\psi$ 가정한다 $x_{0}$ 고유값 방정식을 위치 좌표로 작성하면

{\hat {x} }}\mathrm (x)=\mathrm {x} \mathrm (x)=x_{0}\mathrm (x)

${\hat {\mathrm {x} }}$ ${\hat {\mathrm {x} }}$ ${\$ 을(를) 상기하면 위치 표현에서 단순히 파형 발생을 $\mathrm {x}$ ${\$ 함수로 곱할 뿐이다 ${\hat {\mathrm {x} }}$ .함수 $\mathrm {x}$ ${\$ 는) 가변이고 $\mathrm {x}$ x $x_{0}$ ${\$ 은(는) 상수이므로 $x_{0}$ $\psi$ ${\displaystyle \$ $psi}$ 은(는 $)$ 점 x $x_{0}$ ${\$ x_{0 $}$ 을 제외한 모든 곳에 0이어야 $\psi$ 한다 $x_{0}$ 분명히, wave-funio를 정의할 수는 없다.n의 L $L^{2}$ ${\$ }} $L^{2}$ - 보통은 $L^{2}$ 1이 아니라 0이기 때문에 이 시점에서 복잡한 숫자가 된다.이는 x $x_{0}$ ${\$ 지점에 집중되어 있고 $x_{0}$ 0과 다른 적분: x 0 ${\$ Q.E.D.에 중심을 둔 Dirac 델타 배수의 필요성을 시사한다.

방정식의 정규화된 해법

\mathrm {x} \cHB =x_{0}\cHB

이다

\property(x)=\properties(x-x_{0}),

또는 그 이상

\property =\filename _{x_{0}}

증거. 여기서 우리는 엄밀하게 증명한다.

\mathrm {x} \cHB_{0}=x_{0}\cHB_{x_{0}}}

실제로 한 점을 중심으로 한 Dirac 분포에 의한 어떤 함수의 산출물이 Dirac 분포 자체의 그 시점의 함수의 값이라는 것을 상기하면서 우리는 즉시 얻는다.

\mathrm {x} \mathrm _{0}=\mathrm {x}(x_{0})\mathrm _{0}\math _{0}}

Q.E.D.

디락 델타 파동의 의미.그러한 Dirac 상태는 물리적으로 실현 불가능하며, 엄밀히 말하면 기능이 아니지만, $x_{0}$ 0 ${\$ 에 집중된 Dirac 분포는 위치가 정확히 알려진 "이상적 상태"라고 생각할 수 있다 $x_{0}$ (입장의 어떠한 측정도 항상 고유값 x ${\$ 따라서 불확실성 원리에 의해 그러한 상태의 모멘텀에 대해서는 아무것도 알려져 있지 않다.

삼차원

3차원의 일반화는 간단하다.

공간 시간 파동 함수는 이제 $\psi (\mathbf {r} ,t)$ ( r $\psi (\mathbf {r} ,t)$ , $\psi (\mathbf {r} ,t)$ ) $\psi (\mathbf {r} ,t)$ 이며 $\psi (\mathbf {r} ,t)$ , 상태 $\psi$ {\ $displaystyle {\hat {\mathbf {r$ $}}}}}$ 에서 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 위치 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 의 기대값은 ${\hat {\mathbf {r} }}$ {\ $displaystystylement \psypsieci$ }이다 $\psi$ .

\left\langle {\mathbf {r}}}}}}\\mathbf {r}\int \mathbf {r}\{2}d^{3}\mathbf {r}}}}}}

모든 공간을 장악하는 곳이지포지션 오퍼레이터는

\mathbf {\hat {r} \mathbf {r} \mathbf {r} \mathbf .

모멘텀 스페이스페이스

일반적으로 양자역학에서, 모멘텀 공간에서의 표현에 의해 우리는 표준적인 단일 모멘텀 기반에 관한 상태와 관측 가능성의 표현을 의도한다.

\eta =\left(\pi \hbar )^{-{\frac {1}{1}{2}}:e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x}p)\right]\right)_{p\in \mathb {R}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

모멘텀 공간에서 한 차원에서의 위치 연산자는 다음과 같은 미분 연산자로 표현된다.

\left({\hat {\mathrm {x}}}}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p}}}}}}}=i{\frac {d}{d\mathrm {k}}},

여기서:

모멘텀 베이스에서 위치 연산자의 표현은 자연스럽게 $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ ) $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ ( $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ ) $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ = $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ ( $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ ) P $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ = ( x $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$ ^ $display$ ) P ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm$ { $x}}}}}\psi \right)$ 에 의해 $정의된다.$ $P$ 모든 파동 함수(성분 분포)에 대해 $\psi$ ;
$\mathrm {p}$ ${\$ 는) 모멘텀 라인의 좌표 함수를 나타내며 $\mathrm {p}$ , $\mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar$ 파동 조절 함수 $\mathrm {k}$ ${\$ $displaystyle \mathrm$ $\mathrm {k}$ { $k} =\mathrm {p} /\hbar }$ 에 $\mathrm {k}$ $\mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar$ 정의된다 $\mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar$

L²(R, C)에서의 형식주의

예를 들어, 스핀리스 입자가 하나의 공간 차원(즉, 선)에서 움직이는 경우를 생각해 보자.그러한 입자의 상태 공간은 실제 라인에 복잡하고 정사각형 통합 가능한 기능(레베그 측정에 관한)의 $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ L-공간²(Hilbert space) $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ( $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ , $){\displaystyle$ L $^{2}(\mathb {R} ,\mathb {C})$ 을 포함한다.

$L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ 2 ( $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ , C $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ) ${\displaystyle$ L $^{2}(\mathb {R},\mathb {C})$ 의 위치 연산자 $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$

[\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathb {R},\mathb {C}):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}

점으로 정의되는 것은:^[2]^[3]

Q(\psi )=x\psi(x)=\mathrm {q}(x)\psi(x),

포인트로 정의된 각 정사각형 통합 클래스

\psi \in D_{Q}

D

\psi \in D_{Q}

{\

및

\psi \in D_{Q}

도메인을 포함한 각 실제 번호

x

에 대해

D_{Q}=\왼쪽\{\\psi \in L^2}(\mathb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathb {R} )\right\}},

여기서

\mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C}

:

\mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C}

→ C

{\

\to

\

mathb

{

C}

은

\mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C}

(

는) 각 점을

x\in \mathbb {R}

로 보내는

x\in \mathbb {R}

다.

컴팩트 서포트 기능이 있는 모든 연속 기능은 D(Q)에 있기 때문에 Q가 촘촘하게 정의된다.단순히 x에 의한 곱하기인 Q는 자가 적응 연산자여서 관측 가능한 양자역학 요건을 충족한다.

정의에서 즉시 스펙트럼은 전체 실선으로 구성되며 Q는 순수하게 연속된 스펙트럼을 가지고 있으므로 이산 고유값은 없다고 추론할 수 있다.

3차원 케이스는 유사하게 정의된다.우리는 다음의 논의에서 1차원적 가정을 유지할 것이다.

L²(R, C)에서의 측정 이론

관측 가능한 모든 양자 역학적 경우와 마찬가지로, 위치 측정을 논의하기 위해서는 위치 연산자의 스펙트럼 분해능을 계산해야 한다.

[\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathb {R},\mathb {C}):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }

어느 것이

X=\int _{\mathb {R}}\\lambda \,d\mu_{X}}\int _{\mathb {R}}}\mathrm {x}\, _{X}=\mathrm {x}, {x}}, }}, },

여기서

\mu _{X}

\mu _{X}

{\

는

\mu _{X}

위치 연산자의 소위 스펙트럼 측정이다.

$X$ $X$ 연산자는 내장 $\mathrm {x}$ x ${\$ 에 의한 곱셈 연산자일 $X$ 뿐이므로 스펙트럼 분해능은 간단하다 $\mathrm {x}$

실제 라인의 $B$ Borel 부분 $집합$ B $B$ 의 경우 $\chi _{B}$ B ${\$ 에 $B$ $B$ 의 표시기 함수를 표시하도록 $\chi _{B}$ 하십시오 $B$ 우리는 투영 값 측정값을 확인하십시오.

\mathb _{X}:{B}(\mathb {R})\mathrm {Pr}^{\perp }\왼쪽(\mathb {R},\mathb {C}\오른쪽)

에 의해 주어지다

\mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,

즉, 직교 투영

\mu _{X}(B)

\mu _{X}(B)

( B

\mu _{X}(B)

)

\mu _{X}(B)

은

B

B

의 지표 함수에 의한 곱셈 연산자다

\mu _{X}(B)

B

따라서 시스템이 상태 $\psi$ ${\displaystyle \psi$ $\psi$ 에서 준비되면 Borel 세트 $B$ $B$ 에 속하는 입자의 측정된 위치의 확률은 다음과 같다 $B$ .

\mu \{X}(B)(\psi )\{2}=\chi _{B}\psi \ ^{2}=\int_{B} \psi \{X}\pi}(B),

여기서

[\displaystyle \mu }

은(는) 실제 라인의 르베그 측정값이다

\mu

.

부분집합 B 내의 입자를 검출하기 위한 어떤 측정 후, 파동 함수는 다음 중 하나로 축소된다.

{\mu _{X}(B)\psi }{\mu _{X}(B)\psi \}}}={\frac {\chi _{B}\psi \}}}}}}}}}}

또는,

{\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\(1-\chi _{B}\psi \}},

여기서

\|\cdot \|

\|\cdot \|

\|\cdot \|

{\displaystyle \cdot

\}은

(

는)

L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )

L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )

( R

L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )

, C

L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )

)

L^{2}(\mathbb {R},\mathb {C} )

의 Hilbert 공간 규범이다

\|\cdot \|

L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )

참고 항목

참조

^ Atkins, P.W. (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
^ McMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 0 07 145546 9.
^ Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Quantum Mechanics (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0071623582.

[1] Atkins, P.W. (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.

[2] McMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 0 07 145546 9.

[3] Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Quantum Mechanics (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0071623582.

[1]

[2]

[3]

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목차

소개

기본 속성

아이겐스타테스

삼차원

모멘텀 스페이스페이스

L²(R, C)에서의 형식주의

L²(R, C)에서의 측정 이론

참고 항목

참조

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L²(R, C)에서의 형식주의

L²(R, C)에서의 측정 이론