등각 기하 대수

등각 기하 대수(CGA)는 n차원 기준 공간 ℝ의^p,q 점부터 ℝ의^p+1,q+1 null 벡터까지 지도의 결과 공간 위에 구성된 기하 대수다.이를 통해 반사, 회전 및 번역을 포함한 기저 공간에서의 연산을 기하 대수학의 다양성을 이용하여 나타낼 수 있으며, 점, 선, 평면, 원 및 구는 특히 자연스럽고 계산적으로 순응 가능한 표현을 얻을 수 있다는 것이 밝혀졌다.

매핑의 효과는 기본 공간 맵에서 (k + 2)-블레이드에 일반화(즉, 곡률 제로 포함) k-spres가 되고, 따라서 기본 공간의 변환(또는 모든 정합성 매핑)의 효과는 고차원 공간에서의 회전과 일치한다.벡터의 기하학적 산물에 근거한 이 공간의 대수학에서 그러한 변환은 대수학의 특징적인 샌드위치 연산에 해당하는데, 3D의 공간 회전에 쿼터니온을 사용하는 것과 유사하며, 매우 효율적으로 결합된다.변형을 나타내는 로터의 결과는 구체, 평면, 원 및 기타 기하학적 물체의 표현과 이들을 연결하는 방정식 모두가 공변적으로 변한다는 것이다.기하학적 객체(k-sphere)는 객체의 점을 나타내는 k + 2 선형 독립 벡터의 쐐기 곱으로 합성될 수 있으며, 반대로 객체는 표면에서 k + 2 구별되는 점을 나타내는 벡터의 반복된 쐐기 곱으로 분해될 수 있다.일부 교차로 운영은 또한 깔끔한 대수적 형태를 취한다. 예를 들어, 유클리드 기초 공간 Ⅱ의³ 경우, 두 구를 나타내는 4차 벡터의 이중에 쐐기 제품을 적용하면 교차로 원의 3차 표상이 이중으로 생성된다.

이 대수적 구조는 효과적인 연산에 직접적으로 도움이 되기 때문에, 구체적이고 조작하기 쉬운 환경에서 투영적 기하학과 반전적 기하학의 고전적 방법의 탐구를 용이하게 한다.나사 이론에서 계산을 나타내고 용이하게 하기 위한 효율적인 구조로도 이용되어 왔다.CGA는 특히 일상적 유클리드 공간 Ⅱ를³ 5차원 벡터 공간 Ⅱ에^4,1 대한 투사적 매핑과 연계하여 적용하였으며, 이는 로봇과 컴퓨터 비전에서의 적용에 대해 조사되어 왔다.일반적으로 어떤 사이비 유클리드 공간에도 적용할 수 있으며, owski 공간에^4,2 대한 민코프스키 공간 ℝ의^3,1 매핑은 상대론적 물리학에 적용하기 위해 조사되고 있다.

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CGA 건설

표기 및 용어

${\displaystyle \mathrm{이}}$ 글에서는 시간 경과에 따라 가장 주목해 온 것이 바로 이 특별한 대수기 때문에$$ $대수{\displaystyle \mathcal{}}$ G${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle }$1$){\displaystyle {\mathcal{G}(4,1$)에 초점을 맞추고 있으며, 그 밖의 경우는 별도의 절에서 간략히 다루고 있다.모델링 대상 물체를 포함하는 공간을 기준 공간이라고 하며, 이러한 물체를 표현 또는 정합 공간으로서 모델링하는 데 사용되는 대수적 공간이라고 한다.동질 하위공간은 대수공간의 선형 하위공간을 말한다.

객체: 점, 선, 원, 구, 준-sphere 등의 용어는 기본 공간에 있는 기하학적 객체 또는 그 객체를 나타내는 표현 공간의 동질적 하위 공간을 의미하는데 사용되며, 후자는 달리 명시되지 않는 한 일반적으로 의도된다.^[a]대수적으로, 동질 하위 공간의 0이 아닌 null 요소가 사용되며, 한 요소는 일부 기준에 의해 정규화된 것으로 언급된다.

굵은체 소문자 라틴 문자를 사용하여 원점에서 기준 공간의 점까지의 위치 벡터를 나타낸다.이탤릭체 기호는 표현 공간의 다른 요소에 사용된다.

기준 및 표현 공간

기준 공간 ℝ은³ 선택된 원점에서부터 변위 근거를 확장하고 기준 공간과 서로₋ 직교하는 두₊ 개의 기본 벡터를 e₋² = -1과 e₊² = +${\displaystyle 1}$로 추가함으로써 표현 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ G${\displaystyle }$(${\displaystyle 4}$,${\displaystyle }$1 $){\displaystyle{\mathcal{G}}{\$mathcal$}}$를 생성한다$.$

e와₊ e₋ 대신 null₊ 벡터 n과 n을 기본₋ 벡터로₊ 사용하는 것이 편리하다. 여기서_o n = (e_∞ - e)/2와 n = (e_o = (e₋ - e)/2 및 n_∞ = e + ex가 기본 공간에 있는 경우 다음을 검증할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}}$

이러한 특성은 다른 모든 기본 원소와_i 직교하는 원소를 갖는 기초에 대한 표현 공간에서 일반 벡터 r의 기본 벡터 계수에 대한 다음과 같은 공식으로 이어진다.

r에 대한 n의_o 계수는 -n_∞ ⋅ r이다.

r에 대한 n의_∞ 계수는 -n_o ⋅ r이다.

r에 대한 e의_i 계수는 e_i⁻¹ ⋅ r이다.

기본 공간과 표현 공간 간의 매핑

기본 공간의 벡터에서 매핑(원점에서 표시된 부속 공간의 점까지의 매핑)은 다음과 같은 공식으로 제공된다.^[b]

${\displaystyle F:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{1}:{2}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }}}}}}}}}}$

0이 아닌 스칼라 인자에 의해서만 다른 점들과 다른 다른 물체들은 모두 기본 공간의 동일한 물체에 매핑된다.표현 공간에서 기준 공간까지의 점의 단순한 역지도를 생성하거나 거리를 결정하는 경우, 조건 F(x) ⋅n_∞ = -1을 사용할 수 있다.

전진 매핑은 다음과 같다.

• 첫째 conformallye123에서 단위에 3-sphere은 우주 e+ ∧ e123에)쑥 내민(5-D에 이것은 부분 공간 r⋅(−no−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-o에 있다.Utput.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2n∞)=0;.
• 그런 다음 e_– = 1에 인접하고 동일한 광선의 모든 점을 원점에서 식별하여 투영 공간으로 끌어올린다(5-D에서 이 점은 하위 공간 r ⋅(-n_o - 1/2n_∞) = 1);
• 그런 다음 정규화를 변경하여 균질 투영 평면이 값 1을 갖는 n 공동_o 순서에 의해 제공되도록 한다(예: r ⋅ n = -1_∞).

역 매핑

null 원뿔의 X에 대한 역방향 매핑(Perwass eqn 4.37)은 다음에 의해 제공된다.

${\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}_{n_{\inflt}\wedge n_{\text{o}^{\perp }}\왼쪽({\frac {X}{-X\cdot n_{\inflight)}}$

이것은 먼저 라이트콘에서 평면 r ⋅n_∞ = -1로 입체 투영한 다음, n과_o n_∞ 부분을 던져, 전체적인 결과는 모든 등가점 αX = α(n_o + x + 1/2xn²_∞)를 x에 매핑한다.

무한대의 기원 및 점

ℝ에서^p,q x = 0은 ℝ에서^p+1,q+1 n에_o 매핑되므로 n은_o 원점에서 점의 (표현) 벡터로 식별된다.

0이 아닌 n_∞ 계수가 0인_o ℝ의^p+1,q+1 벡터, 그러나 0 n 계수는 (역지도를^p,q 고려) ℝ의 무한 벡터의 이미지여야 한다.따라서_∞ n 방향은 무한대의 (적합) 지점을 나타낸다.이것은 첨자와 null basis 벡터를 식별하는 동기를 부여한다.

기원의 선택은 임의적이다: 표현은 부속 공간의 표현이기 때문에 다른 어떤 지점도 선택할 수 있다.기원은 단지 기준점을 나타낼 뿐이고, 대수학적으로 다른 점들과 동등하다.다른 번역과 마찬가지로, 원점을 변경하는 것은 표현 공간의 회전에 해당한다.

기하학적 객체

기본

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {123}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{5}=e_{123}E$$}$ 및 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$과(와) 함께$,$ 이것들은 대수학의 32 베이시스 블레이드다.플랫 포인트 오리진(Flat Point Origin)은 기하학적 제품이 혼용 등급이기 때문에 외부 제품으로 표기한다(${\displaystyle }$= e${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- ${\$

$G{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 1}$)의 기본 블레이드 ${\displaystyle {\mathcal {G}(4,1$)

요소들	기하학적 개념
포인트와 듀얼 스피어
${\displaystyle e_{i},n_{0},n_{\puty }}}$	$n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$이 없는 경우 ${\$은(는) 이중 평면임
점 쌍
${\displaystyle e_{ij}}$	바이벡터
${\displaystyle e_{i}n_{0}}}$	접선 벡터
${\displaystyle e_{i}n_{\nft}}}}$	방향 벡터(및 Bivector는 이중 선)
${\displaystyle E=n_{o}\wedge n_{\fty}}}}$	플랫 포인트 원점 *
원
${\displaystyle e_{1}e_{2}e_{3}=I_{3}}$	3D Philoscalar
${\displaystyle e_{ij}n_{0}}}$	접선 바이벡터
${\displaystyle e_{ij}n_{\nft}}}}$	방향 벡터(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ E ${\displaystyle e_{i}E}$이(가$$) 선)
${\displaystyle e_{i}E}$
구
${\displaystyle e_{ij}E}$
${\displaystyle e_{i}n_{0}}}$	$e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$이 없는 경우 ${\$은(는) 평면이 된다$$.
${\displaystyle e_{i}n_{\nft}}}}$

방정식 한 쌍의 해법으로

대표 공간의 0이 아닌 블레이드 A가 주어진 경우, 폼의^[3] 동질 방정식 쌍에 대한 해법인 벡터 집합

${\displaystyle X^{2}=0}$

$(\displaystaystyle X\wedge A=0}$

null 벡터의 균일한 1-d 서브스페이스의 결합이며, 따라서 기본 공간의 점 집합을 나타낸다.이것은 특정한 종류의 기하학적 물체를 나타내는 유용한 방법으로서 블레이드 A를 선택하게 한다.기본 공간이 유클리드 공간인 경우 블레이드 A(공간 치수 수와 무관)의 구체적인 사례는 다음과 같다.

• 스칼라: 빈 세트
• 벡터: 단점
• 이벡터: 한 쌍의 점.
• 삼단자: 일반화된 원
• 4각형: 일반화된 구체
• 등

이들 각각은 A가² 양수인지, 영(0)인지 음수인지에 따라 (어떤 경우에는 역순으로) 열거된 물체에 해당하는지, 단일 점의 퇴보한 경우 또는 무점(X ∧ A의 0이 아닌 용액에서 null 벡터가 제외된 경우)에 따라 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

열거된 기하학적 물체(일반화된 n-spres)는 사이비 유클리드인 베이스 공간이 보다 일반적인 경우에서 준공간이 된다.^[4]

평탄한 물체는 솔루션에 포함된 무한대의 점으로 식별할 수 있다.따라서 n_∞ ∧ A = 0이면 물체는 각각 3등급, 4등급의 블레이드 A에 대해 선, 평면 등이 된다.

객체의 점으로부터 파생된 것과 같이

이 등급의 물체 중 하나를 나타내는 블레이드 A는 물체의 점을 나타내는 선형 독립 벡터의 외부 산물로 발견될 수 있다.기본 공간에서 이 선형 독립성은 다른 점에 의해 정의된 객체 외부에 놓여 있는 각 점으로 나타난다.그래서 예를 들어 세 개의 구별되는 점으로 정의되는 일반화된 원 위에 놓여 있는 네 번째 점을 구를 정의하는 네 번째 점으로 사용할 수 없다.

승산

e맵의₁₂₃ 점들은 null 원뿔(r . n_∞ = -1을 설정한 경우 null 포물선)에 표시된다.

다양한 유형의 기하학적 객체 A에 대해 등각 공간 g(x)에서 e.t₁₂₃.의 점의 위치를 고려할 수 있다.

${\displaystyle g\mathbf{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. g (${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \Vert }$ a${\displaystyle }$- ${\displaystyle b\mathbf{}}$ ‖ ${\displaystyle a\mathbf{}}$ - b ${\displaystyle \Vert {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\${1$}{1$}{1}2$}}\mathbf {b}$ - {$b}$\{b} $\{v$} ^2$}}:$

비교:

• x. a = 0 => perp a; x.(aab) = 0 => x perp a와 x perp b
• x∧a = 0 => a에 평행; x;(a∧b) = 0 => x a 또는 b에 평행(또는 일부 선형 조합)

내부 제품 및 외부 제품 표현은 이중화에 의해 관련된다.

x∧A = 0 <=> x . A* = 0 (확인—x가 1-dim이면 작동하고, a가 n-1 dim이면 작동)

g(x) . A = 0

• 점: R에서³ x의 로쿠스는 R에서^4,1 A가 null 원뿔의 벡터인 경우 점이다.

(N.B.는 균일한 투영 공간이기 때문에 원점을 통과하는 광선의 어떤 길이의 벡터는 동등하므로 g(x)이다.A =0은 g(x).g(a) = 0)과 같다.

*** 경고: 분명히 잘못된 코드인 것 같아—일반적인 경우로 구체로 이동한 다음, 크기가 0인 구로 제한.방정식의 이중성이 null con에 있는 것에 의해 영향을 받는가?

• 구체: x의 중심은 A = S일 경우 구체, null 콘에서 벡터.

만약

${\displaystyle \mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\frac {1}{1}:{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\inflt }}}}}}}$

그러면 S.X = 0 => -${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2\mathbf{}}$( ${\displaystyle a\frac{\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle x\mathbf{}{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \rho {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 0 ${\displaystyle -{\frac {1}{$1}:{$2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{1}{$2}}\$rho{2}=0}$

이것들은 구에 해당하는 점들이다.

Null-con에서 벡터 S에 대한 쌍곡직교성 -->을 보여주기 위해 사진을 만드십시오. 어떤 방향이 고압직교인가?(cf 로렌츠 변환 픽스)

2+1 D에서 S가 (1,a,b)인 경우(co-ords e-, {e+, e_i} 사용), S에 직교하는 점은 (-1,a,b)-즉, 평면; 또는 n 치수에서 원점을 통과하는 하이퍼플레인이다.이렇게 하면 다른 평면이 선(n-2 표면의 초외면)에서 원점을 통과하지 않고 원뿔을 두 점(일종의 n-3 원뿔 표면)으로 절단할 수 있다.그래서 아마 일종의 원뿔처럼 보일 겁니다.이것은 g 밑에 있는 구의 이미지인 표면이다.

• 평면: x의 중심은 A = P인 경우 평면이며, 벡터는_o 0 n 성분이다.균일한 투영 공간에서 그러한 벡터 P는 원점으로부터 무한히 멀리 떨어져 있을 평면 n_o=1의 벡터를 나타낸다(즉, null con 바깥쪽은 무한히 멀리), 그래서 g(x).P =0은 무한 반경의 구인 평면에서 x에 해당한다.

특히:

• ${\displaystyle P\stackrel{}{\mathbf{}}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{}}$$$+${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$$hatsbf$${a}}}}+\alpha \$$mathbf$$${$e} _{\$$infty}}}}$은 원점에서 직교 거리 α}인${\displaystyle \stackrel{}{}}$평면에서$$x에 해당한다$$.
• ${\displaystyle \mathbf{P}}$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle a\mathbf{}}$ )${\displaystyle }$- ${\displaystyle g\mathbf{}}$ (${\displaystyle }$b${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {P} =g(\mathbf {a})-g(\mathbf {b} )$는 a와 b 사이의 반쪽 평면에 해당하며$$, 정규 a - b.

• 빙글빙글 돌다
• 접선면
• 줄들
• 무한대의 선
• 점 쌍

변형

• 성찰

P g(x) P 형성이 null-cone, g(x')에 새로운 방향을 부여한다는 것을 확인할 수 있는데, 여기서 x'는 g(p) . P = 0을 만족하는 R의³ p 지점 평면의 반사에 해당한다.

G()). A=0=>/&Pg()). P=0=>/&Pg())P.PAP(와 비슷하게에 쐐기를 제품), 그래서 A는 부분 위에서 유사하게)지점의 상응하는 궤적을 반영한 양에, 해당 서클, 구형, 라인, 비행기 한 촉의 특정 유형에 해당하는 그래서 Psandwich-fashion을 적용하는 효과이다.ereflg(x)에 P를 적용하는 것과 정확히 동일한 방법으로 점 x를 반영한다.

이 반사 작업은 일반 번역과 회전을 구축하는 데 사용할 수 있다.

• 번역.

두 개의 평행 평면으로 반사가 번역을 한다.

${\displaystyle g(\mathbf {x}^{\mathbf {P}=\mathbf {P} _{\beta }\{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\\\mathbf {P} _{\mathbf {P} _{\\\beta}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

If ${\displaystyle \mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$ and ${\displaystyle \mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }}$ then ${\displaystyle \ma$$thbf {x} ^{\premy }=\mathbf {x} +2(\mathbf -\mathbf {a}}}}$

• 회전

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}}$ corresponds to an x' that is rotated about the origin by an angle 2 θ where θ is the angle between a and b -- the same x에 직접 적용할 경우 이 로터가 갖는 효과.

• 일반 회전

일반 포인트에 대한 회전은 먼저 점을 원점으로 변환한 다음 원점을 중심으로 회전한 다음, 원점을 원래 위치로 되돌리는 것, 즉 연산자 $T{\displaystyle \mathbf{}}$ R ${\displaystyle T\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}$~ ${\$ 이렇게 하여 달성할$$ 수 있다$.$

${\displaystyle g({\mathcal {G}x)=\mathbf {TR{\tilde{T}}\;\g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T}{{R}{\tilde {T}}}}}}}}}}}}}}$

• 나사

the effect a screw, or motor, (a rotation about a general point, followed by a translation parallel to the axis of rotation) can be achieved by sandwiching g(x) by the operator ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}} }$.

M은 파라메트레이션 $M{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle T{\mathbf{}}^{\mathrm{}}}$′ ${\displaystyle {}^{}{\mathbf{}}^{\mathrm{}}}$′ ${\$ {$M} =\mathbf$ {$T^{\prime$ }R$^{\prime }}}}($Chasles 정리)도 될 수 있다.

• 반역

반전(version)은 구체에 대한 반영이다. 이러한 반전(version)을 사용하여 달성할 수 있는 다양한 연산은 반전 기하학에서 논의된다.특히, 유클리드 변환 번역 및 회전과 함께 뒤집기를 결합하면 모든 일치 매핑, 즉 보편적으로 각도를 보존하는 모든 매핑을 표현하기에 충분하다.(리우빌의 정리).

• 팽창

같은 중심을 가진 두 개의 뒤집힘이 확장을 생성한다.

일반화

이 구간은 비어 있다.덧셈으로 도움도 된다(2021년 2월)

역사

이 구간은 비어 있다.덧셈으로 도움도 된다(2021년 2월)

컨퍼런스 및 저널

클리포드와 기하학적 알제브라를 중심으로 응용 범위가 넓은 활기차고 학제적인 공동체가 형성되어 있다.이 과목의 주요 컨퍼런스로는 클리포드 알헤브라스 국제회의와 수학물리학 응용(ICCA) 시리즈와 컴퓨터공학 기하대수학 응용(AGACSE) 시리즈가 있다.주요 출판물은 응용 클리퍼드 알제브라스에서의 스프링거 저널 진보다.

메모들

참조

참고 문헌 목록