다항식의 정도

수학에서 다항식의 정도는 0이 아닌 계수를 갖는 다항식의 단항(개별항)의 정도 중 가장 높다. 항의 정도는 항에 나타나는 변수의 지수를 합한 것이므로 음이 아닌 정수다. 일변량 다항식의 경우 다항식의 정도는 단순히 다항식에서 발생하는 가장 높은 지수일 뿐이다.^[1][2] 순서는 정도의 동의어로 사용되었지만, 오늘날에는 몇 가지 다른 개념들을 언급할 수 있다(다항식의 순서(동음이의) 참조).

For example, the polynomial ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$ which can also be written as ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$ has three terms. 첫 번째 학기는 5(권력 2, 3의 합), 두 번째 학기는 1, 마지막 학기는 0이다. 따라서 다항식의 학위는 5로, 어떤 용어의 학위가 가장 높은 학위라고 할 수 있다.

To determine the degree of a polynomial that is not in standard form, such as ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$, one can put it in standard form by expanding the products (by distributivity) and combining the like terms; for example, ${\displaystyle (x+1)^{2}-($$x-1)^{2}=4x}$은(는) 각 합계가 2도를 가지고 있음에도 불구하고 1등급이다$$. 단, 다항식을 표준형태의 다항식의 산물로 기재하는 경우에는 제품의 정도가 인자의 정도를 합한 것이기 때문에 이것이 필요하지 않다.

정도별 다항식 이름

부록 조회:무료사전인 위키리노마리의 영어 다항식 학위.

다항식에는 그 정도에 따라 다음과 같은 이름이 할당된다.^[3][4][5][2]

• 특수 케이스 – 0(아래의 § 다항식 0도 참조)
• 도 0 – 0이 아닌 상수^[6]
• 도 1 – 선형
• 2급 – 2급
• 도 3 – 세제곱
• 등급 4 – 사분위수(또는 모든 항에 균일한 등급이 있는 경우 2분위수)
• 도 5 – 5분위수
• 도 6 – 육분의 (또는 덜 일반적으로, 난독성)
• 7 – 패혈증(또는 덜 일반적으로, heptic)

더 높은 수준의 경우, 때때로 이름이 제안되었지만,^[7] 거의 사용되지 않는다.

• 도 8 – 8진법
• 9급 – 비닉
• 도 10 – 데시크

3도 이상의 학위 명칭은 라틴어 서수(서수)를 기준으로 하며 -ic로 끝난다. 이것은 변수의 수에 사용되는 이름, 라틴어의 분포수에 기초한 아리티와 구별되어야 하며 -ary로 끝나야 한다. 예를 들어, ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle x}$y + y + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{2}+xy+y^{$2}}과 같은 두 변수의 도 2 다항식을 "이항 2차"라고 한다$.$ 두 변수에 의한 이항, 즉 도 2에 의한 이항이다.^[a] 또한 라틴어의 분포 숫자를 기초로 하여 -nomial로 끝나는 용어 수도 있다. 일반적인 용어는 단수, 이항수, (낮은 공통) 삼항수, 따라서 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$2} + y^{2}{2$}+y^{2}}:$ "$2차$ 2차 이항수"이다$$.

예

The polynomial ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ is a cubic polynomial: after multiplying out and collecting terms of the same degree, it becomes ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$, with highest exponent 3.

The polynomial ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ is a quintic polynomial: upon combining like terms, the two terms of degree 8 cancel, leaving ${\displaystyle$$z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$ 가장 높은 지수 5를 가진.

다항식 연산에서의 동작

합계의 정도, 제품 또는 두 다항식의 구성은 입력 다항식의 정도와 강하게 관련되어 있다.^[8]

덧셈

두 다항식의 합(또는 차이)의 정도가 그 정도보다 작거나 같다. 즉,

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$ and ${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$.

예를 들어${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- (${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ x ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2}=-x^{2}+x}$의 정도는 2이고$$ 2 ≤ max{3, 3}이다.

다항식의 정도가 다를 때 평등은 항상 유지된다. 예를 들어${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ (${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ + $1 {\$displaystyle (x$^{3}+x)+++(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+$1}의 정도는 3이고$$ 3 = max{3, 2}

곱하기

0이 아닌 스칼라에 의한 다항식의 곱은 다항식의 정도와 같다. 즉,

${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$C ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{deg}}$⁡${\displaystyle }$( P${\displaystyle }$) ${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P$ .

예를 들어 $2{\displaystyle \mathrm{}({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 3 ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 6 ${\displaystyle \mathrm{x}}$- 4 ${\displaystyle$ 2$(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$는 2로$$, $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 3}$ - ${\displaystyle 2}$ $displaystyle$ x$^{2}+3x-2}$의 정도와 같다$.$

따라서 각도가 지정된 숫자 n보다 작거나 같은 다항식(특정 필드 F의 계수를 갖는) 집합은 벡터 공간을 형성한다. 자세한 내용은 벡터 공간의 예를 참조하십시오.

보다 일반적으로 필드 또는 통합 영역에 대한 두 다항식 곱의 정도는 각 곱의 합이다.

${\displaystyle \mathrm{deg}(}$ ( ${\displaystyle P}$Q${\displaystyle }$) = ${\displaystyle \mathrm{deg}+}$ (${\displaystyle }$P ) + ${\displaystyle \mathrm{deg}(}$ (${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q$

예를 들어${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle {}^{}}$+ x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$의 정도는 5 = 3 + 2이다$$.

임의 링을 통한 다항식의 경우, 0이 아닌 두 개의 상수를 곱할 때 발생할 수 있는 취소 때문에 위의 규칙이 유효하지 않을 수 있다. For example, in the ring ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$ of integers modulo 4, one has that ${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$, but ${\displaystyle \deg(2x(1+2x))$$=\cHB(2x)=1$ 인자의 정도 합과 같지 않음.

구성

필드 또는 통합 도메인에 대한$$ 두 개의 비정규 $다항식{\displaystyle }$ P$${\$displaystyle$P} $및$ Q$${\$displaystyle$Q}의 구성 정도는 해당 수준의 산물이다.

${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle P}$) ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ deg ( Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle \deg(P\circle$ Q$)=\deg(P)\deg(Q$

예를 들면 다음과 같다.

• If ${\displaystyle P=(x^{3}+x)}$, ${\displaystyle Q=(x^{2}+1)}$, then ${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2}$, which has degree 6.

임의의 링을 통한 다항식의 경우, 이것이 반드시 참인 것은 아니라는 점에 유의하십시오. For example, in ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$, ${\displaystyle \deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1}$, but ${\displaystyle \deg(2x\circ (1+2x))$$=\cHB(2+4x)=\cHB(2)=0}$.

0 다항식의 정도

0 다항식의 정도는 정의되지 않은 채로 두거나 음수로 정의된다(보통 -1 또는 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\inful$}).$$^[9]

다른 상수 값과 마찬가지로 값 0은 0 다항식이라고 하는 (정수) 다항식이라고 할 수 있다. 0이 아닌 조건도 없고, 따라서 엄밀히 말하면 학위도 없다. 이와 같이, 그것의 정도는 대개 정의되지 않는다. 관련된 다항식 중 하나가 0 다항식인 경우, 위 절의 다항식 총합 정도 및 곱에 대한 제안은 적용되지 않는다.^[10]

그러나 0 다항식의 정도를 -${\displaystyle \mathrm{}}$infinity${\displaystyle }$, ${\displaystyle -\infit ,}($으)로 정의하고$$ 산술규칙을^[11] 도입하는 것이 편리하다.

$\displaystyle \max(a,-\fty )=a,}$

그리고

$a+(-\fty)=-\fty.}$

이러한 예는 이 확장이 위의 행동 규칙을 어떻게 충족하는지 예시한다.

• 합$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$+ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ (${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$+ x ${\displaystyle (x^{3}+x)++(0)=x^{3}+x}$의 정도는 3이다$$. 이는 최대 ${\displaystyle 3}$㎛(${\displaystyle 3,}$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle 3\leq \max(3,-\fty )}$의 예상 동작을 만족시킨다$.$
• 차이$({\displaystyle x}$) -${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (x)-(x)=0}$은(는) -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\polty$ $}$이며$,$ 이는 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \le max}$(${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1}$)${\displaysty$ style -$\leq \max(1,$1)를 만족한다$.$
• 제품의 정도${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$은 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\infit }$이며$,$ 이는 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$= -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystystyle -\inft$ = --$\inft$+2}을 만족한다$.$

함수 값으로 계산됨

다항함수 f의 정도를 평가하는 많은 공식들이 존재한다. 무증상 분석에 근거한 하나는

${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ x →${\displaystyle \underset{}{}\frac{\infty }{}}$ ${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{로그}}{}}$ x ${\$ x$}}$;

이것은 로그 그림에서 기울기를 추정하는 방법과 정확히 반대되는 것이다.

이 공식은 다항식이 아닌 일부 함수에 대한 정도 개념을 일반화한다. 예를 들면 다음과 같다.

• 승법 역의 정도, ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$\$$1$/x}$는 -1이다.
• 제곱근, $x{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$의 정도는 1/2이다.
• 로그의 정도, ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ x ${\displaystyle \log$ x$}$은$($는) 0이다.
• 지수함수의 ${\displaystyle \mathrm{정도}}$인 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \exp x}$은(는$)$${\displaystyle \mathrm{}\infty .}$ ${\displaystyle \infit.}$이다.

공식은 또한 그러한 기능의 많은 조합에 대해 합리적인 결과를 제공한다. 예를 들어, $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{x\sqrt{}}{}}$ ${\${1$+{\sqrt{x}}{x$}}{x$}}}$은$({\displaystyle }$는) - ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle -1/2}$이다$.$

값에서 f의 정도를 계산하는 또 다른 공식은

${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ x →${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{f}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$x${\displaystyle \frac{}{}}$) f ${\$ ;

이 두 번째 공식은 첫 번째 공식에 L'H'Pital의 규칙을 적용한 것에서 유래한다. 그러나 직관적으로 x ${\displaystyle d^{}}$ ${\$의 d x ${\displaystyle d^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$ 파생상품 d x $d{\displaystyle }$ - 1의 ${\displaystyle {\mathrm{추가}}^{}}$ 상수 인자로 d를 표시하는 것이 더 중요하다$.$

함수의 점증상학에 대한 더 미세한 설명(단순 숫자 도보다)은 큰 O 표기법을 사용하여 얻을 수 있다. 알고리즘 분석에서, 예를 들어, 위의 공식에 따라 동일한 정도를 가지는 $것$으로 나타날 x$${\$displaystyle x}$와 x ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle \log }$x ${\displaystyle x\log x}$의 증가율을 구별하는 것은 종종 관련이 있다$.$

둘 이상의 변수가 있는 다항식으로 확장

두 개 이상의 변수에 있는 다항식의 경우 항 정도는 항에 있는 변수의 지수의 합이고, 다항식의 정도(때로는 전체 도라고 함)는 다시 다항식의 모든 항들의 도에 대한 최대치가 된다. 예를 들어, 다항식 xy²² + 3x³ + 4y는 xy라는²² 용어와 같은 도 4를 가지고 있다.

그러나 변수 x와 y의 다항식은 y의 다항식인 계수를 가진 x의 다항식이며, x의 다항식인 계수를 가진 y의 다항식이기도 하다. 다항식

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+{3}+(y^{2})x^{2}+(4)=(x^{2})y^{2}+(4)y^{3}}$

x는 3도, y는 2도.

추상대수학에서의 학위함수

링 R이 주어지면, 다항 링 R[x]은 R에 계수가 있는 x의 모든 다항식의 집합이다. R도 필드인 특별한 경우, 다항 링 R[x]은 주요 이상 영역이며, 여기서 논의한 것보다 더 중요한 것은 유클리드 영역이다.

한 필드에 대한 다항식의 정도가 유클리드 영역의 표준 함수의 모든 요건을 만족한다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, 두 개의 다항식 f(x)와 g(x)가 주어진 경우 제품 f(x)g(x)의 정도는 개별적으로 f와 g의 도보다 커야 한다. 사실 더 강한 무언가가 다음을 지탱하고 있다.

${\displaystyle \property(f(x))=\properties(f(x))+\cHB(g(x))}$

학위 함수가 필드가 아닌 링에서 고장날 수 있는 예를 들어, 다음 예를 들어보자. R = $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ 정수$$모듈로 4의 링. 이 링은 필드(그리고 통합 영역도 아니다)가 아니다. 왜냐하면 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4)이기 때문이다. 따라서 f(x) = g(x) = 2x + 1로 한다. 그런 다음 f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1. 따라서 deg(ffg) = 0은 f와 g(각각 1도)의 도보다 크지 않다.

링의 0 요소에 대해 표준 함수가 정의되어 있지 않기 때문에, 우리는 다항식 f(x) = 0의 정도도 정의되지 않은 것으로 간주하여 유클리드 영역의 표준 규칙을 따른다.

참고 항목

• 아벨-루피니 정리
• 대수학의 기본 정리

메모들

참조

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
• Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

외부 링크

• 다항식 순서; Wolfram MathWorld