벡터 공간의 예

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이 페이지에는 벡터 공간의 몇 가지 예가 나열되어 있다.이 페이지에서 사용되는 용어의 정의는 벡터 공간을 참조하십시오.참고 항목: 치수, 기준.

표기법.F는 실제 숫자 R이나 복잡한 숫자 C와 같은 임의의 필드를 나타내도록 한다.

사소한 또는 제로 벡터 공간

벡터 공간의 가장 간단한 예는 제로 벡터만 포함하는 사소한 것: {0}이다(Vector space 기사 중 세 번째 공리 참조).벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 모두 사소한 것이다.이 벡터 공간의 기본은 빈 집합이므로 {0}은(는) F에 대한 0차원 벡터 공간이다.F 위에 있는 모든 벡터 공간은 이것과 같은 아공간 이형체를 포함한다.

제로 벡터 공간은 L의 커널인 선형 연산자 L의 null 공간과는 개념적으로 다르다(Incidentally L의 null 공간은 L이 주입된 경우에만 0 공간이다).

밭

다음으로 간단한 예는 필드 F 그 자체다.벡터 덧셈은 단지 필드 덧셈일 뿐이고, 스칼라 곱셈은 필드 곱셈일 뿐이다.이 속성은 장이 벡터 공간임을 증명하는 데 사용될 수 있다.F의 어떤 0이 아닌 원소도 기초가 되기 때문에 F는 그 자체로 1차원 벡터 공간이다.

그 장은 꽤 특별한 벡터 공간이다; 사실 그것은 F에 대한 역학 대수의 가장 간단한 예다.또한 F는 단지 {0}과(와) F의 두 개의 서브 스페이스만 가지고 있다.

좌표공간

벡터 공간의 원래 예는 다음과 같다.임의의 양의 정수 n에 대해, F의 원소들의 모든 n-tules 집합은 때때로 좌표 공간이라고 불리는 F 위에 n-차원 벡터 공간을 형성하고 F를ⁿ 나타낸다.^[1]F의ⁿ 요소가 쓰여 있다.

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}})}$

여기서 각 x는_i F의 요소다.F에ⁿ 대한 연산은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n}}}}}}$

${\displaystyle \cHB x=(\displaystyle x_{1},\display x_{n2},\dots ,\display x_{n}}}}}$

${\displaystyle 0=(0,0,\ldots,0)}$

${\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}}}}$

일반적으로 F는 실제 숫자의 영역이며, 이 경우 실제 좌표 공간 R을ⁿ 얻는다.복잡한 숫자의 필드는 복잡한 좌표 공간ⁿ C를 제공한다.복합수의 a + bi 형태는 C자체가 좌표(a,b)가 있는 2차원 리얼 벡터 공간임을 보여준다.마찬가지로 쿼터니언과 옥토니언은 각각 4차원, 8차원 리얼벡터 공간이며, C는ⁿ 2n차원 리얼벡터 공간이다.

벡터 공간 F는ⁿ 다음과 같은 표준 기준을 가지고 있다.

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots,0)}$

${\displaystyle e_{2}=(0,1,\ldots,0)}$

$\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,\ldots,1)}$

여기서 1은 F에서 승수 정체성을 나타낸다.

무한좌표공간

F는^∞ F로부터 원소들의 무한한 배열의 공간을 의미하며, 그렇게 해서 미세하게 많은 원소들만이 0이 아니다.즉, F의^∞ 요소를 다음과 같이 쓰면 된다.

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$

그런 다음 x의_i 한정된 숫자만 0이 아니다(즉, 특정 지점 이후 좌표가 모두 0이 된다).추가 및 스칼라 곱셈은 유한 좌표 공간에서와 같이 주어진다.F의^∞ 치수성은 셀 수 없이 무한하다.표준 기준은 i번째 슬롯에 1과 다른 곳에 0을 포함하는 벡터 e로_i 구성된다.이 벡터 공간은 벡터 공간 F의 셀 수 없이 많은 복사본의 결합물이다.

여기서 최종 조건의 역할을 기록해 두십시오.F에 있는 원소의 임의 시퀀스를 고려할 수 있는데, 이는 동일한 연산을 가진 벡터 공간을 구성하며, 종종 F에^N 의해 다음과 같이 표시된다.F는^N 아마도 F의 많은 복사본의 산물이다.

조른의 보조정리법에 의해 F는^N 근거가 있다(명확한 근거는 없다.기초에는 헤아릴 수 없이 무한한 요소가 있다.치수가 다르기 때문에 F와^N∞ 이형성이 없다.F에서^∞ F까지의 선형 지도 T는 F의^∞ 기초 요소에 기초하여 그 값 T(e_i)에 의해 고유하게 결정되며, 이러한 값들이 임의적일 수 있기 때문에 F는^N F의^∞ 이중 공간(이항형)이라는 점에 주목할 필요가 있다.따라서 벡터 공간이 유한 치수 사례와 대조적으로 무한 치수인 경우 이중 이중 이중으로 이형화될 필요는 없다고 본다.

벡터공간의 산물

각각 같은 필드를 가진 n개의 벡터 공간, 또는 셀 수 없이 무한히 수집된 공간으로부터 시작하여 위와 같은 제품 공간을 정의할 수 있다.

행렬

F는^m×n F에 입력된 m×n 행렬의 집합을 나타내도록 한다.그렇다면 F는^m×n F 위에 있는 벡터 공간이다.벡터 덧셈은 매트릭스 덧셈일 뿐이고 스칼라 곱셈은 명백한 방법으로 정의된다(각 항목에 동일한 스칼라를 곱함).제로 벡터는 단지 제로 매트릭스일 뿐이다.F의^m×n 치수는 mn이다.한 가지 가능한 기준은 단일 항목이 1이고 다른 모든 항목이 0인 행렬이다.

m = n 행렬이 정사각형이면 행렬이 두 행렬의 행렬 곱셈은 세 번째 행렬을 생성한다.차원 n의² 이 벡터 공간은 한 분야에 걸쳐 대수학을 형성한다.

다항 벡터 공간

한 변수

F에 계수가 있는 다항식 집합은 F[x]로 표시된 F에 대한 벡터 공간이다.벡터 덧셈과 스칼라 곱셈은 명백한 방법으로 정의된다.다항식의 정도가 제한되지 않으면 F[x]의 치수는 셀 수 없이 무한하다.그 대신 n보다 작거나 같은 도인 다항식에만 한정한다면, 우리는 n+1 치수를 가진 벡터 공간을 갖게 된다.

F[x]에 대해 가능한 한 가지 근거는 단항적 기초가 있는데, 이 기초에 관한 다항식의 좌표는 그 계수이고, 다항식을 그 계수들의 순서에 보내는 지도는 F[x]에서 무한 좌표 공간 F까지의^∞ 선형 이항형성이다.

실제 계수 및 n보다 작거나 같은 정도를 갖는 다항식들의 벡터 공간은 종종 P로_n 표시된다.

여러 변수

F에 계수가 있는 여러 변수의 다항식 집합은 F[x₁, x₂, ..., x_r]로 표시된 F에 대한 벡터 공간이다.여기서 r은 변수의 수입니다.

함수 공간

기능 공간의 주요 기사, 특히 기능 분석 섹션을 참조하십시오.

X를 비어 있지 않은 임의 집합으로 하고 V를 F 위에 임의 벡터 공간으로 두십시오.X에서 V까지의 모든 함수의 공간은 점적 덧셈과 곱셈 아래 F에 걸친 벡터 공간이다.즉 f : X → V, g : X → V는 두 가지 함수를 나타내고 α는 F로 한다.우리는 정의한다.

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

${\displaystyle (\displaystyle)(x)=\displayf(x)}$

오른쪽 수술은 V에 있는 수술이다.영 벡터는 V의 영 벡터로 모든 것을 보내는 상수함수에 의해 주어진다.X에서 V까지의 모든 기능의 공간은 일반적으로 V로^X 표시된다.

X가 유한하고 V가 유한하면 V는^X 차원 X(딤 V)를 가지며, 그렇지 않으면 공간은 무한 차원(X가 무한하면 헤아릴 수 없이)이다.

수학에서 발생하는 벡터공간의 많은 부분이 일부 함수공간의 하위공간이다.우리는 몇 가지 더 예를 든다.

일반화 좌표 공간

X를 임의의 집합으로 합시다.X에서 제한된 수의 점을 제외한 모든 점에서 사라지는 X에서 F까지의 모든 함수의 공간을 고려한다.이 공간은 F의^X 벡터 서브공간으로 X에서 F까지 가능한 모든 함수의 공간이다.이를 보려면 두 유한 집합의 결합이 유한하므로 이 공간에서의 두 함수의 합은 여전히 유한 집합 밖으로 사라지게 된다는 점에 유의한다.

위에서 설명한 공간은 일반적으로 (F^X)₀로 표시되며, 다음과 같은 이유로 일반화된 좌표 공간이라고 불린다.X가 1과 n 사이의 숫자 집합이라면 이 공간은 좌표 공간 F와ⁿ 동등한 것으로 쉽게 볼 수 있다.마찬가지로 X가 자연수의 집합인 N이라면 이 공간은 F에^∞ 불과하다.

(F^X)₀에 대한 표준적 근거는 다음과 같이 정의된 함수 {Δ_x x x X}의 집합이다.

${\displaystyle \protection_{x}(y)={\pase}1\pairs x=y\0\pairs x\neq y\end}}}}$

따라서 (F^X)₀의 치수는 X의 카디널리티와 동일하다.이런 방식으로 우리는 어떤 분야에든 어떤 차원의 벡터 공간을 구성할 수 있다.게다가, 모든 벡터 공간은 이 형태 중 하나에 이형이다.근거의 어떤 선택도 (F^X)에 대한 표준적인 것에 근거를 보내 이형성을 결정한다.₀

일반화된 좌표 공간은 F의 X 복사본(즉, X의 각 점당 1개)의 직접 합으로도 이해할 수 있다.

${\displaystyle(\mathbf {F}^{X})_{0}=\bigoplus _{x\in X}\mathbf {F}}}$

정밀도 조건은 직접 합계의 정의에 내장되어 있다.이를 전체 기능 공간 F를^X 제공하는 F의 X 복사본의 직접 제품과 대조한다.

선형지도

선형대수의 맥락에서 발생하는 중요한 예는 선형지도의 벡터공간이다.L(V,W)은 V에서 W까지의 모든 선형 지도 집합을 나타내도록 한다(둘 다 F 위의 벡터 공간임).그러면 L(V,W)은 덧셈과 스칼라 곱셈으로 닫혀 있기 때문에 W의^V 하위공간이다.

L(Fⁿ,F^m)은 행렬 F의^m×n 공간으로 자연적으로 식별할 수 있다는 점에 유의하십시오.실제로 유한차원 공간 V와 W에 대한 적절한 베이스를 선택함으로써 L(V,W)도^m×n F로 식별할 수 있다.이 식별은 일반적으로 기준 선택에 따라 달라진다.

연속함수

X가 단위 간격[0,1]과 같은 위상학적 공간이라면 X에서 R까지의 모든 연속 기능의 공간을 고려할 수 있다.이것은 R의^X 벡터 서브공간으로, 어떤 두 연속함수의 합은 연속이고, 스칼라 곱셈은 연속이기 때문이다.

미분 방정식

특정 미분 방정식을 만족시키는 (충분히 다른) 함수로 구성된 R에서 R까지의 모든 함수의 공간의 부분집합은 방정식이 선형인 경우^R R의 하위공간이다.이는 분화가 선형 연산, 즉 (a f + b g) = = f + + b g′이며 여기서 ′은 분화 연산자이기 때문이다.

필드 확장자

K가 F(cf. 필드 확장자)의 하위 필드라고 가정하십시오.그런 다음 K의 원소에 스칼라 곱셈을 제한함으로써 F는 K에 대한 벡터 공간으로 간주할 수 있다(벡터 덧셈은 정상으로 정의된다).이 벡터 공간의 치수는, 존재하는 경우,^[a] 연장의 정도라고 한다.예를 들어 복잡한 숫자 C는 실제 숫자 R 위에 2차원 벡터 공간을 형성한다.마찬가지로, Hamel 기초가 존재하는 경우, 실수 R은 무한한 차원을 갖는 합리적인 숫자 Q 위에 벡터 공간을 형성한다.^[b]

V가 F에 대한 벡터 공간인 경우 K에 대한 벡터 공간으로도 간주할 수 있다.치수는 공식에 의해 관련된다.

dim_KV = (dim_FV)(dim_KF)

예를 들어, 현실 위에 벡터 공간으로 간주되는 C는ⁿ 차원 2n을 가진다.

유한 벡터 공간

어떤 분야에 걸친 0차원 공간의 사소한 경우와는 별도로, 필드 F 위에 놓인 벡터 공간은 F가 유한한 필드이고 벡터 공간이 유한한 차원일 경우에만 한정된 수의 원소를 갖는다.따라서 우리는 q 원소를 가진 고유한 유한 분야(이소모르프까지)인 F를_q 가지고 있다.여기서 q는 prime(q = p^m p p prime)의 힘이 있어야 한다.그러면 어떤 n차원 벡터 공간인 V over F는_q qⁿ 원소를 가질 것이다.V에 있는 원소의 수 또한 프라임의 힘(Prime Power의 힘이 다시 프라임 강국이 되기 때문에)이라는 점에 유의한다.그러한 공간의 주요 예는 좌표 공간(F_q)이다.ⁿ

이러한 벡터 공간은 유한집단의 대표이론, 숫자이론, 암호론 등에서 매우 중요하다.

메모들

참조

• Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96412-6.