카발리에리의 원리

기하학에서, Bonaventura Cavalieri의 이름을 딴 불가분법의 현대적인 구현인 Cavalieri의 원리는 다음과 같습니다.^[1]

2차원 케이스: 평면의 두 영역이 평면의 두 평행선 사이에 포함된다고 가정합니다. 이 두 선에 평행한 모든 선이 동일한 길이의 선분에서 두 영역을 모두 가로지르면 두 영역은 동일한 면적을 갖습니다.
3차원 케이스: 3-공간(고체)에 있는 두 영역이 두 평행 평면 사이에 포함된다고 가정합니다. 이 두 평면에 평행한 모든 평면이 동일한 면적의 단면에서 두 영역을 교차하면 두 영역은 동일한 부피를 갖습니다.

오늘날 카발리에리의 원리는 적분학을 향한 초기 단계로 간주되며, 푸비니의 정리와 레이어 케이크 표현에서의 일반화와 같은 일부 형태에서 사용되지만, 카발리에리의 원리를 사용한 결과는 종종 적분을 통해 더 직접적으로 보여질 수 있습니다. 반대로, 카발리에리의 원리는 한계를 사용하지만 무한소를 사용하지 않는 고대 그리스의 소진법에서 비롯되었습니다.

역사

카발리에리의 원리는 원래 불가분의 방법이라고 불렸는데, 이 방법은 르네상스 유럽에서 알려졌습니다.^[2] 카발리에리는 그의 기하학(Geometryia indivisibilibus continuum nova quadamatione proproma, 1635)과 그의 기하학적 성별(Geometryes geometry, continua의 불가분에 의해 새로운 방식으로 발전됨, 1647)에서 정교화된 완전한 불가분 이론을 개발했습니다.^[3] Cavalieri의 연구는 그 원리를 확립했지만, 그의 출판물에서 그는 연속체가 관련된 역설과 종교적 논쟁을 피하기 위해 불가분으로 구성되어 있다는 것을 부인했고, 그는 이전에 알려지지 않은 결과를 찾기 위해 그것을 사용하지 않았습니다.^[4]

기원전 3세기,^[5] 카발리에리의 원리와 유사한 방법을 사용한 아르키메데스는 그의 작품 '기계 정리의 방법'에서 원뿔과 원기둥의 부피를 고려할 때 구의 부피를 찾을 수 있었습니다. 서기 5세기에 Zu Chongzhi와 그의 아들 Zu Gengzhi는 구면의 부피를 구하는 비슷한 방법을 개발했습니다.^[2] 미적분학의 역사에서 카발리에리의 불가분성에서 에반젤리스타 토리첼리와 존 월리스의 무한소로의 전환은 큰 발전이었습니다. 나눌 수 없는 것들은 공차원 1의 실체였기 때문에 평면 도형은 무한히 많은 1차원 선들로 이루어진 것으로 생각되었습니다. 한편, 무한소는 그들이 구성하는 도형과 같은 차원의 실체였습니다. 따라서 평면 도형은 무한소 너비의 "평행그램"으로 만들어질 것입니다. 산술 진행의 합에 대한 공식을 적용하여 Wallis는 삼각형의 넓이를 너비 1/∞의 무한소 평행사변형으로 분할하여 계산했습니다.

2차원의

사이클로이드

N. 리드는 Cavalieri의 원리를 이용하여 사이클로이드로 경계지어지는 영역을 찾는 방법을^[6] 보여주었습니다. 반지름 r의 원은 그 아래의 선 위에서 시계 방향으로 굴리거나 그 위의 선 위에서 반시계 방향으로 굴릴 수 있습니다. 따라서 원 위의 한 점은 두 개의 사이클로이드를 추적합니다. 원이 특정 거리를 굴릴 때, 원이 시계 방향으로 돌았을 때와 반시계 방향으로 돌았을 때의 각도는 같습니다. 따라서 사이클로이드를 추적하는 두 점의 높이는 같습니다. 따라서 이들을 통과하는 선은 수평입니다(즉, 원이 굴러가는 두 선과 평행합니다). 결과적으로 원의 각 수평 단면은 사이클로이드의 두 개의 호로 경계를 이루는 영역의 해당 수평 단면과 동일한 길이를 갖습니다. 따라서 원은 카발리에리의 원리에 의해 그 지역과 같은 면적을 갖습니다.

단일 사이클로이드 아치를 경계로 하는 직사각형을 생각해 보십시오. 사이클로이드의 정의에서 볼 때 $폭$ 2 πr, 높이 2r을 가지므로 면적은 원의 4배입니다. 아치가 직사각형과 만나는 중간 지점에서 직사각형을 이등분하여 이 직사각형 내의 면적을 계산하고, 한 조각을 180° 회전시킨 후 나머지 절반을 직사각형과 겹칩니다. 원의 두 배 면적의 새로운 직사각형은 위에서 계산된 두 개의 사이클로이드 사이의 "렌즈" 영역과 원래 직사각형에서 사이클로이드 아치 위의 영역을 형성한 두 개의 영역으로 구성됩니다. 따라서 사이클로이드의 완전한 단일 아치 위에 직사각형으로 경계를 이루는 면적은 원의 면적과 같으므로 아치로 경계를 이루는 면적은 원의 면적의 3배입니다.

입체적인

원뿔과 피라미드

원뿔(원형 기저)를 포함한 기저의 형태에 관계없이 어떤 피라미드의 부피가 (1/3)×기저×높이라는 사실은 한 경우에만 사실이라는 것을 알면 카발리에리의 원리로 성립할 수 있습니다. 처음에는 삼각형 프리즘의 내부를 부피가 같은 세 개의 피라미드 성분으로 분할하여 하나의 경우에 확립할 수 있습니다. 어떤 사람은 카발리에리의 원리를 통해 이 세 권의 동등성을 보여줄 수 있습니다.

사실, 카발리에리의 원리나 이와 유사한 무한소 논법은 본질적으로 힐베르트의 세 번째 문제인 다면체 피라미드와 원뿔의 부피를 계산하는 데 필요합니다. 즉, 다면체 피라미드와 원뿔은 표준 모양으로 자르고 재배열할 수 없으며, 대신 무한대의 (무한소) 수단으로 비교되어야 합니다. 고대 그리스인들은 아르키메데스의 기계론적 논증이나 소진법 같은 여러 가지 전조 기법을 사용하여 이들 양을 계산했습니다.

포물선

반지름 $r$ $r$ 및 $h$ h ${\displaystyle$ h $}$ 의 실린더를 생각해 보십시오 $h$ $y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}$ $y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}$ = h $x$ r ) 2 {\displaystyle y = h\left ({\frac {x}{r}}\right)^{2}}의 정점이 실린더의 맨 아래 베이스에 있습니다.
크기는 같지만 꼭지점과 베이스가 플립된 포물선 $y=h-h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}$ = h $y=h-h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}$ - $y=h-h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}$ (x r ) 2 {\displaystyle y = h-h\left ({\frac {x}{r}\right)^{2}}도 고려해 보십시오.

$0\leq y\leq h$ $0\leq y\leq h$ $0\leq y\leq h$ $0\leq y\leq h$ $0\leq y\leq h$ ${\displaystyle 0\leqy\leqh$ 의 모든 높이에 대해 디스크 모양의 단면적은 $\pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}$ π( $\pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}$ - y $hr)$ 2 ${\displaystyle$ \pi \ $left({\sqrt {1-{\frac$ {y $}{$ h}}}\, $r\right)^{2}}$ 플립된 포물선의 단면적 $\pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}$ $π$ r 2 - $\pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}$ $π$ (y hr ) 2 ${\displaystyle \pi$ r $^{2}-\$ pi \ $left$ $({$ \ $sqrt {\frac {$ y}{h}}\,r\right)^{2}}}는 내접된 포물선 외부의 실린더 부분의 링 형상 단면적과 같습니다 $\pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}$

따라서 뒤집힌 포물선의 부피는 내접된 포물선 외부의 실린더 부분의 부피와 같습니다. 즉, 포물선의 부피는 π 2 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$ r 2 h ${\textstyle {\frac {\pi }{2$ r^{2}h}이며, 이는 원기둥의 부피의 절반입니다.

구

원뿔의 부피가 ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$ × ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}\times {\text{height}\right)}$ 라고 알고 있다면, ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$ 카발리에리의 원리를 이용하여 구의 부피가 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ π r3 {\ $textstyle {\frac {4$ }{ $3}\pir$ 3}}, $r$ 서 r ${\displaystyler}$ 은 $r$ (는) 반지름입니다.

이 작업은 다음과 같습니다. 반지름 $r$ ${\displaystyle$ r $}$ 의 $r$ 구와 반지름 r $r$ 및 높이 $r$ $r$ $r$ 의 원기둥을 생각해 보자 $r$ 원기둥 안에는 원뿔의 꼭지점이 원기둥의 한 밑면의 중앙에 있고 원뿔의 다른 밑면이 원기둥의 다른 밑면에 있습니다. 피타고라스 정리에 따르면, "방정식" 위의 $y$ ${\displaystyle$ y $}$ 단위는 반지름 r ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$ - ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}$ 및 면적 $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ π( $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ 2 - $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ y 2) ${\displaystyle \pi \left(r^{2$ }-y^{2 $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ right)}의 원에서 구와 교차합니다. 원뿔의 바깥쪽에 있는 원기둥의 부분과 평면의 교점의 면적 또한 $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ π( $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ 2 - $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ y 2) ${\displaystyle \pi \left(r^{2$ }-y^{2 $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ right)}입니다. 알 수 있듯이, $y$ 의 높이y {\ $displaystyle$ y}에 위치한 수평면의 구와 교점에 의해 정의된 원의 면적은 원뿔의 "외부"에 있는 원기둥의 부분과 해당 평면의 교점의 면적과 같습니다 $y$ . 따라서 Cavalieri의 원리를 적용하면, 반구의 부피는 원뿔을 "outside"하는 원기둥 부분의 부피와 같다고 말할 수 있습니다. 위에서 언급한 원뿔의 부피는 원기둥의 부피의 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ {\ $textstyle$ {\ $frac {1}{3}}$ 이므로 원뿔 외부의 부피는 원기둥의 ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ 의 ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\$ {\ $frac {2}{3}}$ 입니다. 따라서 구의 위쪽 절반의 부피는 원기둥 부피의 ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\$ 입니다. 실린더의 부피는

{\text{base}\text{height}\times {\text{height}}=\pir^{2}\cdotr=\pir^{3}

("베이스"는 면적 단위이고 "높이"는 거리 단위입니다. 면적×거리=볼륨)

따라서 상위 반구의 $부피$ 는 ${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$ π r3 ${\textstyle {\frac {$ 2}{ $3}}\$ pir^{3}}이고 전체 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 는 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ π r3 ${\textstyle {\frac$ {4 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 3}\pir^{3}}입니다.

냅킨링 문제.

일명 냅킨 링 문제라고 불리는 것에서 카발리에리의 원리는 남아 있는 띠의 높이가 $h$ $h$ 인 구의 중심을 직선으로 구멍을 뚫을 때 $h$ 남아 있는 물질의 부피가 구의 크기에 따라 달라지지 않는다는 것을 보여줍니다. 나머지 고리의 단면은 두 개의 원의 넓이의 차이인 평면환입니다. 피타고라스 정리에 따르면, 두 원 중 하나의 $\pi \times (r^{2}-y^{2})$ 은 $\pi \times (r^{2}-y^{2})$ π × ( $\pi \times (r^{2}-y^{2})$ 2 $\pi \times (r^{2}-y^{2})$ - y 2) ${\displaystyle \pi \times (r^{$ 2 $\pi \times (r^{2}-y^{2})$ y^{2}}이며 $,$ $r$ 서 r ${\displaystyle$ r}은 구의 $반지름$ 이고 y ${\displaystyle$ y}는 적도의 평면에서 절단면까지의 거리입니다. 그리고 다른 하나는 ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ π × ( ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ 2 ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ - ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ 2 ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ ) 2 ) ${\textstyle \pi \times \left(r$ ^{2 $}-\left$ ({\ $frac {h}{2$ right)^{2}\right)}입니다. 이 값들을 빼면 $r^{2}$ ${\$ r $^{2}}$ 가 취소되므로 $r^{2}$ ${\display r}$ 에 대한 최종 답변의 의존성이 부족합니다 $r$

참고 항목

푸비니 정리 (카발리에리의 원리는 푸비니 정리의 특별한 경우)

참고문헌

^ Eves, Howard (1991). "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence". The College Mathematics Journal. 22 (2): 118–124. doi:10.1080/07468342.1991.11973367.
^ ^a ^b Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2011). Calculus: Early Transcendentals (4th ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7.
^ Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison-Wesley. p. 477. ISBN 9780321016188.
^ Alexander, Amir (2015). Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. Great Britain: Oneworld. pp. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.
^ "Archimedes' Lost Method". Encyclopedia Britannica.
^ Reed, N. (December 1986). "70.40 Elementary proof of the area under a cycloid". The Mathematical Gazette. 70 (454): 290–291. doi:10.2307/3616189. JSTOR i285660.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Cavalieri's Principle". MathWorld.
(독일어로) 프린지프 폰 카발리에리
카발리에리 통합

[1] Eves, Howard (1991). "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence". The College Mathematics Journal. 22 (2): 118–124. doi:10.1080/07468342.1991.11973367.

[zill-wright-2] Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2011). Calculus: Early Transcendentals (4th ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7.

[3] Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison-Wesley. p. 477. ISBN 9780321016188.

[4] Alexander, Amir (2015). Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. Great Britain: Oneworld. pp. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.

[5] "Archimedes' Lost Method". Encyclopedia Britannica.

[6] Reed, N. (December 1986). "70.40 Elementary proof of the area under a cycloid". The Mathematical Gazette. 70 (454): 290–291. doi:10.2307/3616189. JSTOR i285660.

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v t 무한소
역사	적정성 라이프니츠 표기법 적분 기호 비표준 분석에 대한 비판 더 애널리틱스 기계적 정리의 방법 카발리에리의 원리
관련지점	비표준해석 비표준 미적분학 내부집합론 합성미분기하학 매끄러운 무한소 분석 건설적 비표준 분석 무한소변형이론(물리학)
형식화	미분 초실수 이중수 초현실적 숫자
개별개념	표준부품함수 전이원리 초정수 증가정리 모나드 내부집합 레비-시비타 필드 초무한 집합 연속법칙 오버스필 미세연속성 초월적 동질성 법칙
수학자	고트프리트 빌헬름 라이프니츠 에이브러햄 로빈슨 피에르 드 페르마 오거스틴-루이 코시 레온하르트 오일러
교재	무한정 쁘띠 분석 초등 미적분학 코스 디 애널리시

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