길리스의 추측

수 이론에서 길리스의 추측이란 메르센 수치의 소수점 분포에 대한 추측으로, 도널드 B가 만들었다. 길리스는 1964년 논문에서^[1] 메르세네 프리타임 3개를 발견했다고 발표하기도 했다.추측이란 소수 정리의 전문화로서 I. J. Good와^[2] Daniel Shanks로 인한 추측의 정교화다.^[3]그 추측은 아직 해결되지 않은 문제로 남아 있는데, 여러 논문이 실증적인 지지를 제공하지만 널리 받아들여지고 있는 렌스트라-포머런스-와그스태프 추측에도 동의하지 않는다.

추측

{\displaystyle {\text{}}인 경우

{\displaystyle A<{\sqrt{M_{p}}}{\text{}}{{}B/A{\text{} 및 }}}M_{p}\오른쪽 화살표 \infty{\text{}}, }}}}}M의 기본 구분자 수

{\text{ in the interval }}[A,B]{\text{poisson-distributioned with}}

{\displaystyle{\text}}}\심각 {\begin{case}\log(\log B/\log A)&{\text{{}}({}A\geq 2p\\\log(\log B/\log 2p)&}{\case}}

그는 자신의 추측이 다음과 같은 것을 암시할 것이라는 점에 주목했다.

$x$ $x$ 보다 작은 메르센느 $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ 는 2 log $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ log $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ 2 log $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ log $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$ ${\displaystyle ~{\frac {2}{\log$ 2 $.}\log$ \log \ $log x}$ 이다 $x$ $~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x$
$x\leq p\leq 2x$ $M_{p}$ ${\$ x $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ ${\displaystyle$ x $\leq p\leq$ p\leq $2x}$ 이 $M_{p}$ (가) 있을 것으로 예상되는 메르세네 프라임 수는 $\sim 2$ ~ $\sim 2$ $\sim 2$ 이다 $x\leq p\leq 2x$ $\sim 2$
$M_{p}$ ${\$ 이 prime일 $M_{p}$ 확률은 $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$ $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$ $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$ p $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$ $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$ $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$ ${\$ 2 $.}}$ 입니다 $~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}$

$x$ $x$ 보다 적은 메르센느 프라임 수는 $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ ⁡ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ ⁡ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$ x ${\displaystyle ~{\frac {e^{\gamma{}}{\log$ 2 $.}\log \log x}$ 이다 $x$ $~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x$
$M_{p}$ p ${\$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ $x\leq p\leq 2x$ ${\displaystyle x\leq p\leq 2x},$ ~ $\sim e^{\gamma }$ ${\$ e $^{\gamma$ $\sim e^{\gamma }$
$M_{p}$ $M_{p}$ ${\$ 이 $M_{p}$ $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ 확률은 $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ ${\$ 이며 $~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}$ , p = 3 mod 4 및 6인 경우에는 a = 2이다.

점증적으로 이 값들은 약 11% 더 작다.

길리의 추측이 여전한 가운데 에르만의 1964년 논문을 비롯해 여러 논문이 그 타당성에 실증적 지지를 더했다.^[6]

^ Donald B. Gillies (1964). "Three new Mersenne primes and a statistical theory". Mathematics of Computation. 18 (85): 93–97. doi:10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6.
^ I. J. Good (1955). "Conjectures concerning the Mersenne numbers". Mathematics of Computation. 9 (51): 120–121. doi:10.1090/S0025-5718-1955-0071444-6.
^ Shanks, Daniel (1962). Solved and Unsolved Problems in Number Theory. Washington: Spartan Books. p. 198.
^ Samuel S. Wagstaff (1983). "Divisors of Mersenne numbers". Mathematics of Computation. 40 (161): 385–397. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X.
^ 크리스 콜드웰 휴리스틱스: 와그스태프 메르세네 추측을 도출해냈지2017-07-26년에 회수됨.
^ John R. Ehrman (1967). "The number of prime divisors of certain Mersenne numbers". Mathematics of Computation. 21 (100): 700–704. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0223320-1.