라메 함수

수학에서 라메 함수, 즉 타원화 조화 함수는 라메 방정식의 해법으로서, 2차차 일반 미분 방정식이다.신문에 소개되었다(가브리엘 라메 1837).라메의 방정식은 라플라스 방정식에 적용된 변수를 타원 좌표에서 분리하는 방법에 나타난다.어떤 특별한 경우, 해결책은 라메 다항식이라고 불리는 다항식 용어로 표현될 수 있다.

라메 방정식

라메의 방정식은

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}+(A+B\wp (x)y=0,}$

여기서 A와 B는 상수이고, $\{{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \wp$}은$$ Weierstrass 타원함수다.The most important case is when ${\displaystyle B\wp (x)=-\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x}$, where ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ is the elliptic sine function, and ${\displaystyle \kappa ^{2}=n(n+1)k^{2}}$ for an integer n and ${\displaystyle$$k}$ 타원형$$ 계수로, 이 경우 용액은 전체 복잡한 평면에 정의된 용적 함수로 확장된다.B의 다른 값에 대해 용액에는 분기점이 있다.

$t{\displaystyle }$ = sn${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{sn}}$ x $displaystyle t}$이(가) 있는 t {\displaystyle t=\$operatorname {sn}$을(를$)$ 사용하여 독립 변수를 $t{\displaystyle }$ ${\displaysty t}($으)로 변경함으로써 라메 방정식을 대수적 형태로 다시 작성할 수도 있다$.$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,}$

변수의 변화 후에 허은 방정식의 특별한 경우가 된다.

라메 방정식의 보다 일반적인 형태는 타원형 방정식 또는 타원형 파동 방정식이다(지금 우리는 위의 $것$과 같이$$ A ${\displaystyle A}$이 아니라 $da$ {\displaysty \Lambda $\}\}$을 쓴다).

${\dplaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}+(\Lambda -\kappa ^{2}\operatorname {sn}{2}x-\Oba ^{2}k^{4}\operatorname {sn}{4}x)y=0,},}$

여기서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은 Jacobian 타원함수의 타원함수이고 $and$ ${\displaystyle \kappa }$ 및 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은 상수다$$.For ${\displaystyle \Omega =0}$ the equation becomes the Lamé equation with ${\displaystyle \Lambda =A}$. For ${\displaystyle \Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda ,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}}$ the equation reduces to the Mathieu equation

${\dplaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}+(\data -2h^{2}}\cos 2z)y=0.}$

라메 방정식의 위어스트라스식 형식은 계산에 상당히 부적합하다(아르스코트도 언급하고 있듯이, 페이지 191).방정식의 가장 적절한 형태는 위와 같이 자코비안 형식이다.대수적 형식과 삼각형 형식도 사용하기 번거롭다.라메 방정식은 다양한 주기적 및 조화적 전위에 대한 슈뢰딩거 방정식의 고전적 해법(주기적 인스턴트온, 튕기거나 거품이라고 함)에 대한 작은 변동 방정식으로 양자역학에서 발생한다.^[1][2]

점근팽창

$뮐러$가 by ${\displaystyle \kappa }$의 큰 값에 대해 주기적인 타원파 함수와 더불어 라메 함수의 점증적 확장을 획득했다$$.^[3][4][5]고유값 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda }$에 대해 그가 얻은 점증적 팽창은 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 대략 홀수 정수(그리고 경계 조건에 의해 보다 정밀하게 결정됨 - 아래 참조)이다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (q)={}&q\kappa -{\frac {1}{2^{3}}}(1+k^{2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2}+3)-4k^{2}(q^{2}+5)\}\\[6pt]&{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{\Big \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)-4k^{2}(1+k^{2})(5q^{4}+34q^{2}+9)\\[6pt]&{}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\빅 \}-\cdots,\end{aigned}}$

(여기서 주어지지 않은 다른 (5번째) 용어는 뮐러가 계산했으며, 처음 세 용어는 Ince가^[6] 획득하기도 했다.)관측 용어는 $$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$과 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$에서 번갈아 가며 홀수(Mathieu 기능에 대한 해당 계산에서와 마찬가지로 spheroidal wave 함수 및 proprophate spherroidal wave 함수)를 지운다.다음 경계 조건($K{\displaystyle }$ (${\displaystyle k}$) ${\displaystyle K(k)}$이(가) 완전한 타원 적분으로 주어진 1/4 기간인$$ 경우)

${\displaystyle \operatorname {Ec}(2K)=\operatorname {Es}=0,\;\\operatorname {Es}(2K)=\operatorname {Es}(0)=0,}$

(파생적으로 가장 중요한 의미)뿐만 아니라

${\displaystyle(\operatorname {Ec})_{2K}^{'}=(\operatorname {Ec} )_{0}^{0}=0,\;\;(\\operatorname {Es} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Es} )_{0}^{'}=0,}$

각 타원파 함수 정의

${\displaystyle \operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}-1}}}}}}}}}$

기간 ${\displaystyle \mathrm{4K},}$ ${\displaystyle \mathrm{2K},}$ ${\displaystyle \mathrm{2K},}$ ${\displaystyle \mathrm{4K},}$ ${\displaystyle 4K, 2K, 2K,$ 4K, {\displaystyle 4K, 2K, $4K,}$ 및$$ $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,\ldots}$의 경우 획득함$$

${\displaystyle q-q_{0}=\mp 2{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}}}\{1-{\frac {3(q_{0}^{2}+1)(1+k^{2}}{2^{5}\}}{2^{5}\}}}}}}}}}+\cdots \right].}$

여기서 위쪽 기호는 ${\displaystyle \mathrm{Ec}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ec}$ 솔루션$$ ${\displaystyle \mathrm{Es}}$ ${\displaystyle \operatorname {Es}을($를) 가리킨다$.$ 마지막으로 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$${\displaystyle (q}$) ${\displaysty \Lambda($q) $0,$ ${\displaystyty q_{0}}$을(으)로$$ 확장한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\pm }(q)\simeq {}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\left({\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\[6pt]={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left[1-{\frac {q_{0}(1+k^{2})}{2^{2}\kappa }}-{\frac {1}{2^{6}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(q_{0}^{2}+1)-4k^{2}(q_{0}^{2}+2q_{0}+5)\}+\cdots \right]\\[6pt]\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}}{{}-{\frac {1}{2^{5}\kappa }}}}(1+k^{2}^{2}+8q_{0}+3)\\[6pt]&{}+{\frac {1}{3.2^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0}^{2}-88q_{0}-87)\\[6pt]&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0}+15)\}-\cdots {\Big ]}.\end{정렬}}}$

마티외 방정식의 한계(라메 방정식을 줄일 수 있는 범위)에서 이러한 표현은 마티외 사례의 해당 표현으로 감소한다(뮐러에서 나타낸 바와 같다).

메모들

참조

• Arscott, F. M. (1964), Periodic Differential Equations, Oxford: Pergamon Press, pp. 191–236.
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Higher transcendental functions (PDF), Bateman Manuscript Project, vol. III, New York–Toronto–London: McGraw-Hill, pp. XVII + 292, MR 0066496, Zbl 0064.06302.
• 갈리카에서 이용 가능Lamé, G. (1837), "Sur les surfaces isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température", Journal de mathématiques pures et appliquées, 2: 147–188.
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Lamé equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Lamé function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Volkmer, H. (2010), "Lamé function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Müller-Kirsten, Harald J. W. (2012), Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2nd ed., World Scientific