구조주의 (수학의 철학)

Structuralism (philosophy of mathematics)
구조주의(과학의 철학)와혼동해서는 안 된다.

구조주의는 수학 이론이 수학적 사물의 구조를 기술한다고 주장하는 수학철학의 이론이다. 수학적 물체는 그러한 구조에서 그 위치에 의해 완전히 정의된다. 결과적으로, 구조주의는 수학적인 물체는 본질적인 성질을 가지고 있지 않지만, 시스템에서의 그들의 외부 관계에 의해 정의된다고 주장한다. 예를 들어, 구조주의는 숫자 1이 자연수 이론의 구조에서 0의 후계자가 됨으로써 철저하게 정의된다고 주장한다. 이 예를 일반화함으로써, 자연수는 숫자 선의 이 구조에서 각각의 위치에 의해 정의된다. 수학적 객체의 다른 예로는 기하학의 선과 평면 또는 추상 대수학의 원소와 연산을 포함할 수 있다.

구조주의는 수학적 진술이 객관적 진리 값을 갖는다는 점에서 인식론적으로 현실적인 견해다. 그러나, 그것의 중심 주장은 수학적인 물체가 어떤 종류의 실체인지에 관한 것일 뿐, 존재 수학적 물체나 구조가 어떤 종류의 실체를 가지고 있는지는 관련이 없다(다시 말해, 그들의 존재론에 관한 것이 아니다). 존재 수학적 객체의 종류는 분명히 그것들이 내재된 구조물의 그것들에 의존할 것이다; 구조주의의 다른 하위 영역들은 이와 관련하여 다른 존재론적 주장을 한다.[1]

수학 철학의 구조주의는 특히 폴 베나레이프라프, 제프리 헬먼, 마이클 레스닉, 스튜어트 샤피로, 제임스 프랭클린과 연관되어 있다.

역사적 동기

구조주의 발전의 역사적 동기는 온톨로지라는 근본적인 문제에서 비롯된다. 중세 이래로 철학자들은 수학의 존재론이 추상적인 대상을 포함하고 있는지에 대해 논쟁해왔다. 수학 철학에서 추상적인 물체는 전통적으로 다음과 같은 실체로 정의된다: (1) 마음과 독립적으로 존재하며, (2) 경험적 세계와는 독립적으로 존재하며, (3) 영원하고 변화할 수 없는 속성을 가지고 있다. 전통적인 수학 플라톤주의는 자연수, 실수, 함수, 관계, 시스템 등 수학적인 요소들이 그러한 추상적인 객체라는 것을 주장한다. 반대로 수학 명목주의는 수학의 존재론에서 그러한 추상적인 물체의 존재를 부정한다.

19세기 후반과 20세기 초반에, 많은 반 플라톤주의 프로그램들이 인기를 얻었다. 여기에는 직관주의, 형식주의, 약탈주의가 포함되어 있었다. 그러나 20세기 중반까지 이러한 반플라톤주의 이론들은 그들 자신의 여러 가지 문제를 안고 있었다. 이것은 결과적으로 플라톤주의에 대한 관심의 부활을 가져왔다. 구조주의의 동기가 발달한 것은 이 역사적 맥락에서였다. 1965년 폴 베나케라프는 "What Numbers Cannot Be"라는 제목의 패러다임 변화 기사를 발표했다.[2] 베나케라프는 두 가지 주요 논거에 대해 이론적 플라톤주의는 수학의 철학 이론으로서 성공할 수 없다고 결론지었다.

첫째로, Benacerraf는 플라토닉 접근법이 존재론적 테스트를 통과하지 못한다고 주장했다.[2] 그는 현재 역사적으로 베나케라프라프의 식별 문제로 언급되고 있는 세트테오틱 플라톤주의의 존재론에 반대하는 주장을 전개했다. Benacerraf는 자연수를 순수 집합과 연관시키는 원소 등가, 세트이탈적 방법이 있다고 지적했다. 그러나 만약 누군가가 자연수를 순수한 집합과 연관시키기 위해 "진정한" 정체성 문을 요구한다면, 이러한 요소적으로 동등한 집합들이 함께 연관되어 있을 때 서로 다른 세트의 이론적 방법은 모순된 정체성 문을 산출한다.[2] 이것은 이론적 거짓을 낳는다. 결과적으로, 베나케라프는 이 이론적 거짓이 어떤 추상적인 물체를 드러내는 집합으로 숫자를 줄이는 플라토닉 방법이 있을 수 없음을 증명한다고 추론했다.

둘째로, 베나케라프는 플라토닉 접근법이 인식론적 테스트를 통과하지 못한다고 주장했다. Benacerraf는 추상적인 물체에 접근하기 위한 경험적이거나 합리적인 방법은 존재하지 않는다고 주장했다. 만약 수학적인 물체가 공간적이거나 시간적인 것이 아니라면, 베나케라프는 그러한 물체는 지식의 인과 이론을 통해 접근할 수 없다고 주입한다.[3] 따라서 근본적인 인식론적 문제는 플라톤학자가 한정되고 경험적인 사고를 가진 수학자가 어떻게 정신에 독립적이고, 세계 독립적이며, 영원한 진리에 정확하게 접근할 수 있는지에 대한 그럴듯한 설명을 제공하는 데 발생한다. 베나케라프의 반 플라토닉적 비평이 수학철학의 구조주의 발전에 동기를 부여한 것은 이러한 고려, 존재론적 주장과 인식론적 주장에서 비롯되었다.

품종

스튜어트 샤피로는 구조주의를 3개의 주요 사상학교로 나눈다.[4] 이 학교들은 렘, 렘, 렘, 그리고 렘으로 불린다.

ante rem 구조주의[5]("사물 앞에") 또는 추상 구조주의[4] 또는[6][7] 추상적 구조주의(특히 마이클 레스닉, 스튜어트 [4][4]샤피로, 에드워드 N.잘타,[8] 외이스테인 린네보와 관련됨)[9]는 플라톤주의(모달 신논리주의 참조)와 유사한 존재론을 가지고 있다. 구조물은 실재하지만 추상적이고 중요하지 않은 존재를 가지기 위해 보유된다. 이와 같이, 그것은 그러한 추상적인 구조와 육혈 수학자들 사이의 상호작용을 설명하는 베나케라프라프가 지적한 표준 인식론적 문제에 직면해 있다.[3]

in re 구조주의[5]("thing")[5] 또는 모달 구조주의[4]([4]특히 Geoffrey Hellman과 관련됨)는 아리스토텔레스적 현실주의[10](진리학적 가치로는 현실주의, 존재론에서는 추상적 객체에 대한 반현실주의)와 동등하다. 구조물은 어떤 콘크리트 시스템이 그것을 예시하기 때문에 그 속에 존재하도록 유지된다. 이것은 완전히 합법적인 일부 구조물은 우연히 존재하지 않을 수도 있고, 유한한 물리적 세계는 다른 합법적인 구조물을 수용할 만큼 충분히 "크지" 않을 수도 있다는 일반적인 문제를 야기한다. 제임스 프랭클린의 아리스토텔레스적 현실주의 역시 재구조주의로, 대칭과 같은 구조적 성질은 물리적 세계에서 인스턴스화되고 인지될 수 있다고 주장한다.[11] 물리적 세계에 너무 큰 비인기적 구조의 문제에 대한 응답으로, 프랭클린은 다른 과학자들도 비인기적 보편성을 다룰 수 있다고 답한다. 예를 들어, 색의 과학은 어떤 실제 물체에서도 일어나지 않는 푸른 색조를 다룰 수 있다.[12]

사후 렘 구조주의[13]("사물 뒤에") 또는 제거적 구조주의[4](특히 폴 베나세라프와 연관됨)[4]는 명목주의와 유사한 방식으로 구조에 대한 반현실주의다. 명목론과 마찬가지로 사후 렘 접근법은 관계 구조에서 그들의 위치 이외의 속성을 가진 추상적인 수학 개체의 존재를 부정한다. 이 견해에 따르면, 수학적 시스템이 존재하며, 구조적인 특징을 공통으로 가지고 있다. 만약 어떤 구조가 사실이라면, 그것은 그 구조를 예시하는 모든 시스템들이 사실일 것이다. 그러나, 시스템들 사이에 "공통적으로 유지"되고 있는 구조들에 대해 말하는 것은 단지 중요한 것일 뿐이다: 그것들은 사실 독립된 존재를 가지고 있지 않다.

참고 항목

전구체

참조

  1. ^ Brown, James (2008). Philosophy of Mathematics. New York: Routledge. p. 62. ISBN 978-0-415-96047-2.
  2. ^ a b c Benacerraf, Paul (1965), "What Numbers Cannot Be", 철학적 리뷰 74, 페이지 47–73.
  3. ^ a b 베나세라프, 바울(1973년). "수학적 진실", Benacerraf & Putnam, 수학철학: Selected Readings, Cambridge: 케임브리지 대학 출판부, 제2판 1983, 페이지 403–1998.
  4. ^ a b c d e f g h 샤피로, 스튜어트, "수학적 구조주의", 철학 매스매티카, 4(2), 1996년 5월, 페이지 81–2.
  5. ^ a b c 샤피로, 스튜어트(1997), 수학 철학: Structure and Ontology, New York, Oxford University Press. 9. ISBN 0195139305.
  6. ^ 논리주의와 신학주의 (스탠포드 철학 백과사전)
  7. ^ 추상주의 플라톤주의와 혼동하지 말자.
  8. ^ Edward N. Zalta와 Uri Nodelman, "A 논리적으로 일관성 있는 Ante Rem Structuralism" , 온톨로지 의존 워크숍, 2011년 2월.
  9. ^ 외이스테인 린네보, 얇은 물체: 옥스포드 대학 출판부의 2018년 추상주의자 계정.
  10. ^ Jairo José da Silva, 수학과 그것의 응용: 초월주의-이상주의자의 관점, 스프링거, 2017, 페이지 265.
  11. ^ Franklin, James (2014). An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the Science of Quantity and Structure. Basingstoke: Palgrave Macmillan. p. 48-59. ISBN 9781137400727.
  12. ^ Franklin, James (2015). "Uninstantiated properties and semi-Platonist Aristotelianism". Review of Metaphysics. 69: 25–45. Retrieved 29 June 2021.
  13. ^ 네프트, 라이언 M. (2018). "추상주의와 구조주의: 두 이론의 이야기" PhilSci 프리프린트.

참고 문헌 목록

외부 링크