논리주의

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수학의 철학에서 논리주의는 논리의 연장선상에 있는 논리학, 수학의 일부 또는 전부가 논리로 축소될 수 있거나 수학의 일부 또는 전부를 논리로 모델링할 수 있는 논제들 중 하나 또는 그 이상으로 구성된 프로그램이다.^[1] 버트런드 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드는 고틀롭 프레지에 의해 시작되었고 이후 리차드 데데킨드와 주세페 페아노가 개발한 이 프로그램을 옹호했다.

개요

데데킨드의 논리주의의 길은 그가 어떤 이성적인 숫자의 집합을 사용하여 실수의 특징을 나타내는 공리를 만족시키는 모델을 구축할 수 있을 때 전환점이 있었다. 이것과 관련된 생각들은 산술, 대수학, 분석이 자연수에 클래스의 "논리학"을 더한 값으로 축소될 수 있다는 것을 그에게 납득시켰다. 게다가 1872년까지 그는 자연인 그 자체가 세트와 매핑으로 축소될 수 있다고 결론지었다. 1872년에 발표된 실수의 새로운 이론에 의해 다른 논리학자, 가장 중요한 프리지가 지도받았을 가능성이 높다.

그룬들라겐 데어 산술화 이후 프레게의 논리학 프로그램 이면에 나타난 철학적인 자극은 부분적으로 자연수에 대한 당시의 연장적 설명에 대한 인식론적 및 존재론적 약속에 대한 불만과, 그리고 칸트가 자연수에 대한 진실을 합성 ai 진리의 예로서 사용한 것에 대한 확신에 있었다. 그릇된

이것은 데데킨드와 프레지를 주요 지수로 하여 논리주의의 팽창기를 시작하였다. 그러나 논리학 프로그램의 이 초기 단계는 집합론(Cantor 1896, Zermelo, Russell 1900–1901)의 고전적 역설의 발견과 함께 위기에 처했다. 프레지는 러셀이 그룬지셋 데어 산티아틱에 설정된 프레지의 시스템에서 모순을 식별하는 자신의 역설적인 점을 인지하고 전달하자 이 프로젝트를 포기했다. 순진한 집합론도 이러한 어려움을 겪는다는 점에 유의하십시오.

반면 러셀은 1903년 주세페 페아노의 기하학파의 역설과 발전을 이용해 수학의 원리를 저술했다. 기하학과 세트 이론에서 원시적 관념의 주제를 다루었기 때문에, 이 텍스트는 논리주의의 발전의 분수령이 된다. 논리주의의 주장에 대한 증거는 그들의 프린세스 매티카에서 러셀과 화이트헤드에 의해 수집되었다.^[2]

오늘날, 현존하는 수학의 대부분은 아직 비일관성이 도출되지 않은 제르멜로-프라엔켈 집합 이론(또는 그 확장명 ZFC)의 공리와 같은 소수의 외부 이론적 공리에서 논리적으로 도출될 수 있다고 생각된다. 그러므로 논리학 프로그램들의 요소들은 실행 가능한 것으로 증명되었지만, 계급, 집합, 매핑의 과정 이론과 헨킨 의미론 이외의 고차원의 논리학에서는, 부분적으로 콰인의 후기 사상의 영향을 받아, 본질적으로 외사적인 것으로 간주되어 왔다.

커트 괴델의 불완전성 이론은 PM의 러셀의 시스템과 같이 자연수에 대한 페아노 공리가 도출될 수 있는 공식적인 시스템은 그 시스템의 모든 잘 구성된 문장을 결정할 수 없다는 것을 보여준다.^[3] 이 결과는 힐버트의 수학 기초 프로그램에 손상을 입혔고, '비위생적인 방법'에 대해 불안정한 사람들은 그들의 사용이 모순의 발생을 초래하지 않아야 한다고 확신할 수 있다는 목적으로, PM의 이론과 같은 '비위생적인' 이론에 의해 일관성이 입증되어야 한다. 괴델의 결과는 논리학자의 위치를 유지하기 위해서는, 고전 수학의 가능한 한 많은 부분을 유지하면서도, 논리의 일부로서 무한의 어떤 공리를 받아들여야 한다는 것을 암시한다. 표면적으로는, 비록 '비위생적인 방법'에 대해 이미 의심스러운 사람들에게만 해당되기는 하지만, 이것은 논리학 프로그램에도 피해를 준다. 그럼에도 불구하고, 괴델의 결과가 발표된 이후 논리주의와 힐베르트의 친유대주의에서 도출된 입장은 계속해서 제기되어 왔다.

논리주의에서 도출된 프로그램이 여전히 유효하다는 한 가지 주장은 불완전성 이론이 '다른 이론들과 마찬가지로 논리로 증명된다'는 것일 수 있다. 그러나, 그 주장은 1차 논리학의 이론과 고차 논리학의 이론의 차이를 인정하지 않는 것으로 보인다. 전자는 미완성 방법을 사용하여 증명될 수 있는 반면 후자는 일반적으로 증명할 수 없다. 타르스키의 정의하기 어려운 정리는 괴델 번호 매기기가 구문 구조를 증명하는 데 사용될 수 있지만 의미론적 주장을 증명하는 데는 사용할 수 없다는 것을 보여준다. 따라서 논리주의가 여전히 유효한 프로그램으로 남아 있다는 주장은 자연수의 존재와 특성에 기초한 증명 시스템이 어떤 특정한 형식적인 시스템에 근거한 시스템보다 덜 설득력이 있다는 것을 주장할 수 있다.^[4]

논리주의는 특히 러셀과 비트겐슈타인^[5] 그리고 후에 더밋에 대한 프레지의 영향을 통해 20세기 동안 분석철학의 발전에 중요한 기여를 했다.

'논리주의'라는 이름의 유래

Ivor Grattan-Guinness는 프랑스어 '로기스티크'는 "1904년 국제철학대회에서 쿠투라트 등이 도입했으며, 그때부터 러셀 등이 다양한 언어에 적합한 버전으로 사용했다."(G-G 2000:501)고 기술하고 있다.

분명히 러셀이 1919년에 쓴 첫 번째 (그리고 유일한) 용법은 다음과 같다: "러셀은 프레게에게 여러 번 [sic]을 언급하면서, 그를 '논리화' 수학에 처음 성공한 사람 (p.7)이라고 소개했다. (러셀이 수학에서 산수의 역할에 대한 자신의 견해를 설명함으로써 부분적으로 수정한) 잘못된 표현과는 별개로, 이 구절은 그가 인용 부호를 넣은 단어로 주목할 만하지만, 그들의 존재는 초조함을 암시하고, 그 단어를 다시는 사용하지 않았기 때문에 1920년대 후반까지 '논리주의'가 등장하지 않았다.(G-G 2002:434).^[6]

카르나프(1929년)와 거의 비슷한 시기지만 분명히 독자적으로 프라운켈(1928년)은 "코멘트 없이 '논리주의'라는 이름을 사용해 화이트헤드/러셀(p. 244년 섹션 제목, p. 263에 대한 설명)"이라는 단어를 사용했다. (G-G 2002:269) 카르납은 약간 다른 단어인 '로지스틱'을 사용했는데, 베만은 카르납의 원고에 그 용도에 대해 불평을 해서 카르납은 '로지스미스투스'라는 단어를 제안했지만, 결국 단어선택인 '로지스틱'(G-G 2002:501)을 고수했다. 결국 "주요하게 확산된 것은 1930년부터 카르나프 때문이었다."(G-G 2000:502)

논리주의의 의도 또는 목표

기호 논리: 논리주의의 공공연한 의도는 상징적 논리(프레지, 데데킨드, 페아노, 러셀)에서 수학의 모든 것을 도출하는 것이다. 산술적 개념을 채택한 대수 논리(부울 논리)와 대조적으로, 상징논리는 매우 감소된 마크 집합(비산술적 기호), "사상 법칙"을 구현하는 몇 개의 "논리적" 공리, 그리고 마크를 어떻게 조립하고 조작해야 하는지를 지시하는 추론 규칙(예: 치환과 모듀스 p)으로 시작한다.onens (즉 [1] A에서 B와 [2] A를 의미하며, B를 도출할 수 있다.) 논리주의는 또한 "주체적 술어"에서 "일반화"의 명제적 "atoms" 또는 "일반화"의 "주장적" 또는 "전체", "일부", "클래스"(집합, 집계)와 "관계"라는 개념으로 자연어 문구를 축소하는 것을 프레지의 기초에서 채택한다.

자연수와 자연수의 성질을 논리학적으로 도출할 때, 어떤 수의 "직관적"도 공리로서든 우연히든 "침입"되어서는 안 된다. 목표는 "이전"과 "이후" 또는 "더 적게" 또는 "더 많이"라는 암묵적인 가정 없이, 또는 "수치사"와 "처치사"라는 점까지, 몇몇 선택된 "생각의 법칙"에서 시작하여 실제 숫자로 시작하는 모든 수학을 도출하는 것이다. 괴델 1944는 직관주의와 형식주의(Hilbert School)의 기초체계에 있는 "구축"과 비교했을 때 러셀의 논리주의적 "구축"을 다음과 같이 요약했다: "이 두 학교 모두 그들의 건설은 러셀의 구성주의의 주 목적 중 정확히 하나인 수학적인 직관에 기초하고 있다."(괴드)1944년 수집된 작품 1990:119).

역사: 괴델 1944는 라이프니츠의 특성화 우니베르니스에서 프레게와 페이노를 거쳐 러셀에 이르기까지 역사적 배경을 요약하였다: "프레지는 주로 사상 분석에 관심이 많았고, 그의 미적분을 순수한 논리로부터 산수를 도출하는 데 사용했다." 반면, 페아노는 "수학 내에서의 응용에 더 관심이 있었다.ics" 그러나 "수학의 많은 부분을 실제로 극히 소수의 논리적 개념과 공리로부터 도출하는 새로운 방법의 완전한 사용이 이루어진 것은 [Russell's]공주의 수학뿐이었다. 게다가 젊은 과학은 새로운 기구인 추상적인 관계 이론에 의해 풍요로워졌다." (p. 120-121.

클레인 1952는 다음과 같이 말하고 있다: "라이브니즈 (1666)는 다른 모든 과학의 기초가 되는 사상과 원리를 포함하는 과학으로서 논리를 처음 구상했다. 데데킨드(1888)와 프레게(1884, 1893, 1903)는 논리적인 개념의 관점에서 수학적 개념을 정의하고, 페아노(1889, 1894–1908)는 수학 이론을 논리적인 상징으로 표현하는 데 관여하고 있었다."(43쪽) 앞 단락에서는 러셀과 화이트헤드를 "논리학 학교"의 예로서, 다른 두 개의 "창론적" 슈우(Foundary)의 예로서 포함시켰다.그것은 직관적이고 "직관주의적인 또는 자명한 학교"가 된다. (p. 43).

프레게 1879년 그의 1879년 베그리프슈리프트 서문에 자신의 의도를 다음과 같이 기술하고 있다. 그는 산술에 대한 고려로 시작했다: 산술은 "논리학"에서 비롯되었는가 아니면 "경험의 사실"에서 유래되었는가?

"나는 우선 모든 세부 사항을 초월하는 그 사상 법칙들의 단독적인 지지로 추론만으로 산술적으로 어디까지 나아갈 수 있는지 확인해야 했다. 나의 초기 단계는 순서에 따라 순서를 매기는 개념을 논리적인 결과의 개념으로 축소하여 거기서 숫자의 개념으로 진행하려고 하는 것이었다. 직관적인 것이 눈에 띄지 않게 여기를 파고드는 것을 막기 위해 나는 추론의 사슬에 빈틈이 없도록 모든 노력을 기울여야 했다…. 나는 언어의 불충분함이 장애물이 된다는 것을 알았다; 아무리 받아들일 준비가 되어 있던 표현을 풀어도, 관계가 점점 복잡해짐에 따라, 선험을 성취하기 위해 나는 점점 더 능력이 떨어졌다.내 목적이 요구하는 이온이야 이러한 결핍은 현재의 관념론에까지 이르게 했다. 그러므로 그것의 첫 번째 목적은 추론 체인의 타당성에 대한 가장 신뢰할 수 있는 테스트를 우리에게 제공하고, 눈에 띄지 않게 몰래 들어가려는 모든 전제를 지적하는 것이다."(반 헤이제노르트 1967:5의 프레지 1879).

드데킨드 1887년 그의 의도를 1887년 <숫자의 본질과 의미> 제1판 서문에서 설명한다. 그는 "가장 단순한 과학의 창안; viz, 숫자 이론을 다루는 논리의 그 부분은 제대로 주장되지 않았다 - "증거 없이는 어떤 증거도 받아들여서는 안 된다":

논리학의 한 부분으로서 산술(알지브라, 분석)을 말함에 있어서 나는 숫자의 개념을 공간과 시간의 직관에 대한 관념과는 완전히 독립적으로 생각한다는 뜻으로, 생각의 법칙으로부터 나온 즉각적인 결과라고 생각한다는 것을 암시한다. 숫자들은 인간의 마음의 자유로운 창조물이다. [] 그리고 오직 순수한 논리적인 프로슈즈를 통해서만.숫자의 과학을 쌓는 것. . . 우리는 그것을 우리의 마음 속에 창조된 이 숫자의 영역과 연관시켜 공간과 시간의 개념을 정확하게 조사할 준비가 되어 있는가." (Dedekind 1887 Dover Republication 1963:31)

Peano 1889는 그의 1889년 산술 원리 서문에서 그의 의도를 다음과 같이 말하고 있다.

수학의 기초와 관련된 문제들은 최근 많은 사람들에 의해 다루어졌지만, 여전히 만족스러운 해결책이 부족하다. 그 어려움은 언어의 애매함에 주된 원인이 있다. 그렇기 때문에 우리가 사용하는 바로 그 단어들을 주의 깊게 살펴보는 것이 가장 중요한 것이다. 나의 목표는 이 시험을 치르는 것이었다."(반 헤이제노르트 1967:85의 페아노 1889).

러셀 1903은 1903년 수학 원리 서문에서 자신의 의도를 다음과 같이 설명한다.

"현작품은 크게 두 가지 물건을 가지고 있다. 그 중 하나는, 모든 순수 수학이 극히 적은 수의 기본 논리 개념으로 정의 가능한 개념을 독점적으로 다루고 있으며, 그 모든 명제는 극히 적은 수의 기본 논리 원리에서 추론할 수 있다는 증거다.(사전 1903:vi)

"현재의 작품의 기원에 대해 몇 마디를 하면 논의된 질문의 중요성을 알 수 있을 것이다. 약 6년 전, 나는 다이나믹스의 철학에 대한 조사를 시작했다. [두 가지 질문으로부터 - '우주 관계 이론'에서의 가속과 절대 운동] 나는 기하학의 원리에 대한 재검토로 이어졌고, 그 다음 연속성과 무한성의 철학으로 이어졌고, 그 말의 의미를 발견하려는 시선으로 이어졌다. 임의의, 심볼 로직으로" (사전 1903:vi-vii).

인식론, 존재론 및 논리론

데데킨드와 프레지: 데데킨드와 프레지의 서론은 러셀에 비해 덜 정립된 것처럼 보이지만, 둘 다 단순한 명제적 진술에 관한 관습적인 "사상 법칙"을 선험적으로 받아들이는 것 같다(보통 믿음의); 이러한 법칙들은 개인들 사이의 계급과 관계 이론(예: x R Y)으로 강화된다면 그 자체로도 충분할 것이다. 일반화 R에 의해 연결된 x와 y.

크로네커의 "강제함"과 대조되는 데데킨드의 "자유로운 인간 정신의 형성"은 다음과 같다. 디데킨드의 주장은 "1"로 시작한다. 뒤에 오는 내용에서 나는 우리 생각의 모든 대상을 사물로 이해한다."; 우리 인간들은 심볼을 사용하여 우리 마음의 이러한 "사물"을 논한다; "사물은 확인되거나 그것에 대해 생각할 수 있는 모든 것에 의해 완전히 결정된다."(44 페이지) 후속 단락에서 Dedekind는 "시스템 S: 종합, 다지관, 관련 요소(things) a, b, c의 총체성"이 무엇인지 논한다. 그는 "우리 생각의 대상으로서 그러한 시스템 S.가 마찬가지로 하나의 사물 (1)이며, 모든 사물의 요소인지 아닌지를 결정할 때 완전히 결정된다. S냐 아니냐.*" (45 페이지, 이탤릭체 추가). *는 다음과 같은 각주를 나타낸다.

"크론커(Kronecker)는 얼마 전 (Crelle's Journal, 페이지 99, 페이지 334-336)는 내가 정당하다고 생각하지 않는 수학의 개념의 자유로운 형성에 일정한 제한을 두려고 노력했다."(45)

실제로 그는 크로네커의 "필요성에 대한 이유 또는 단지 이러한 제한의 편의성에 대한 이유 발표"(45 페이지)를 기다리고 있다.

"신은 정수를 만들었고, 다른 것은 모두 인간의 일"^[7]이라는 그의 주장으로 유명한 레오폴드 크로네커는 힐베르트를 가지고 있었다. 힐베르트 크로네커는"그 정도로 독단론자인 도그마 그 필수적인 속성을 가지고 뒤돌아 보지 말고 그 정수를 받아들인다."[8]고 브라우어의 직관 주의의와 함께"주관 주의"의 비난하고 그의 극단적인 constructivist 입장하였다:"과학의 독단적 결정, 정서와 h.에서 우리에게 자유를 가져다 주의 일부이다라고 불리는AB그리고 이미 크로네커의 견해에서 자신을 느끼게 한 주관주의로부터 우리를 보호하기 위해 그리고 내가 보기에 그것은 직관주의에서 그 절정을 발견한다."^[9] 힐버트는 "수학은 전제 없는 과학이다. 그것을 발견하기 위해서 나는 크론커와 마찬가지로 신이 필요하지 않다."(479 페이지)

현실주의자 러셀: 러셀의 리얼리즘은 그를 유럽 합리주의와 영국 경험주의에서 일부 차용한 영국 이상주의의 해독제 역할을 했다.^[10][11] 결론부터 말하자면, "Russell은 우주와 물질적 물체라는 두 가지 핵심 이슈에 대한 현실주의자였다."(Russell 1912:xi). 러셀에게 있어서 테이블은 관찰자 러셀과는 무관하게 존재하는 실제적인 것이다. 합리주의는 선험적 지식의 개념에 기여하는 반면 경험주의는 경험적 지식의 역할(경험에서 유도)에 기여할 것이다.^[12][13] 러셀은 칸트에게 "선험적인" 지식의 개념을 믿겠지만, 그가 "치명적인" 것으로 간주하는 칸트에게 반대 의견을 제시한다: "세계의 사실들은 항상 논리와 산수에 부합해야 한다. 논리와 산수가 우리에 의해 기여된다고 말하는 것은 이것을 설명하지 않는다."(1912:87); 러셀은 우리가 가지고 있는 선험적 지식은 "사물에 관한 것이지, 단지 생각에 관한 것이 아니다"(1912:89)라고 결론짓는다. 그리고 이 러셀의 인식론에서는 "숫자는 인간의 마음의 자유로운 창조물"이라는 데데킨드의 믿음과는 다른 것 같다(^[14]데데드킨드 1887:31)

그러나 선천적인 것에 대한 그의 인식론(논리 원리에 적용할 때 priori라는 단어를 선호한다, cf. 1912:74)은 복잡하다. 그는 플라토닉 "유니버설" (cf. 1912:91-118)에 대한 지지를 강하고 분명하게 표현하고 진실과 거짓은 "저 밖에 있다"고 결론내릴 것이다. 정신은 믿음을 창조하고 믿음을 만드는 것은 사실이다. "그리고 이 사실은 (예외적인 경우를 제외하고) 그 믿음을 가진 사람의 마음을 포함하지 않는다."(1912:130)

러셀은 어디서 이런 인식론들을 이끌어냈을까? 그는 1903년 수학 원리 서문에서 우리에게 말한다. 그는 "에밀리는 토끼"라는 믿음은 존재하지 않는다고 주장하지만, 이 존재하지 않는 명제의 진실은 아는 어떤 마음과도 무관하다. 만약 에밀리가 정말로 토끼라면, 이 진실의 사실은 러셀이나 다른 마음이 살아있든 죽든 간에 존재하며, 에밀리와 토끼의 성행과의 관계는 "초기후"이다.

"철학의 근본적인 질문에 대해, 그 모든 주요 특징에서, 나의 입장은 Mr. G. E. Moore로부터 파생된 것이다. 나는 그에게서 명제의 비존재성(존재를 주장하게 되는 일 등 제외)과 그 어떤 아는 정신의 독립성, 또한 상호 독립성이 있는 무한한 수의 상호 독립적인 실체로 구성된 세계를 바라보는 다원주의, 그리고 궁극적인 관계를 받아들였다.그리고 그것들의 조건이나 그것들이 구성하는 전체의 형용사들로 축소할 수 없다…. 방금 언급한 교리는, 내가 생각하기에, 다음 페이지들이 보여주기를 바라는 것처럼, 수학의 어떤 만족스러운 철학에도 상당히 불가결한 것이다.…. 형식적으로는, 나의 전제는 간단히 가정되지만, 수학을 허용한다는 사실. 대부분의 현재 철학은 그렇지 않지만 진실이라는 것은 확실히 그들에게 유리한 강력한 주장이다."(사전 1903:viii)

러셀의 역설: 1902년 러셀은 프레게의 기본법 5에서 파생된 프레게의 그룬지셋제 데어 산술틱에서 "악의 원"(러셀의 역설)을 발견했고, 1903년 수학 원리에서는 그것을 반복하지 않기로 결심했다. 마지막 순간에 추가된 두 부록에서 그는 프리지의 이론과 대조되는 상세한 분석과 역설의 해결책 모두에 28페이지를 할애했다. 그러나 그는 그 결과에 대해 낙관적이지 않았다.

"수업의 경우, 나는 계급의 개념에 필요한 조건을 충족시키는 어떤 개념도 인식하지 못하고 있다. 그리고 x장에서 논의된 모순은 무엇인가 잘못되었다는 것을 증명하지만, 지금까지 내가 발견하지 못한 것은 바로 이것이다. (러셀 1903:vi에 대한 서신)."

"Fictionalism"과 러셀의 무계층 이론: 1944년 괴델은 1903년의 젊은 러셀([나의 전제는 수학이 진실되게 허용])에 동의하지 않을 것이지만 아마도 러셀의 진술("뭔가 이즈")에 동의할 것이다; 러셀의 이론은 수학의 만족스러운 기초에 도달하지 못했다: 결과는 "의식"이었다.일리적으로 부정적이다. 즉, 이와 같이 도입된 수업과 개념은 수학의 사용에 필요한 모든 속성을 가지고 있지 않다."(Gödel 1944:132).

러셀은 어떻게 이런 상황에 도달했을까? 괴델은 러셀이 놀라운 '현실주의자'라고 보고 있다. 그는 러셀의 1919년:169를 인용한다. "로직은 동물학만큼이나 진짜 세계를 걱정한다." (괴델 1944:120) 그러나 그는 "구체적인 문제에 대해 시작했을 때, 곧 분석될 대상(예: 계급이나 명제)은 대부분 "논리적 소설"로 변했다. []그들에 대한 직접적인 인식이 없다는 것만을 의미한다."(Gödel 1944:120)

러셀의 논리주의 브랜드와 관련된 관찰에서, 페리는 러셀이 극단적, 온건적, 건설적인 세 단계의 현실주의를 거쳤다고 말한다. 1903년에 그는 그의 극단적인 단계에 있었다; 1905년에 그는 그의 중간 단계에 있을 것이다. 몇 년 안에 그는 "물적 또는 물질적 물체를 세계의 기본 가구로 사용할 수 있게 될 것"이라고 말했다. 그는 그의 다음 책인 "외부 세계에 대한 우리의 지식" (Perry 1997:xxvi)에서 감각 데이터로 그것들을 구성하려고 시도했다."

괴델 1944가 "명목론적 구성주의"라고 부르는 이러한 구성들은 러셀의 "더 급진적인 사상, 무계층 이론"에서 유래한 허구주의라고 부르는 것이 더 나을지도 모른다. (p. 125)

"어떤 계급이나 개념은 결코 실제 물건으로 존재하지 않으며, 이러한 용어를 포함하는 문장은 . . . . 다른 것에 대해 말하는 방법으로 해석될 수 있을 때에만 의미가 있다." (p. 125)

자세한 내용은 아래의 비평 섹션을 참조하십시오.

자연수에 대한 논리학자의 구성의 예: 러셀의 공국 건설

프레게와 데데킨드의 논리주의는 러셀의 논리주의와 비슷하지만 세부사항의 차이점이 있다(아래 비평 참조). 전체적으로 자연수의 논리학자의 파생은 예를 들어, 세트 이론에 대한 제르멜로의 공리('Z')로부터의 파생과는 다르다. 반면, Z로부터의 파생에서, "숫자"의 정의는 "순서된 쌍"의 정의로 이어지는 그 시스템의 공리 즉, 쌍의 공리를 사용하는데 반해, 자연수의 추이를 허용하는 다양한 논리론적 공리 시스템에는 명백한 수의 공리가 존재하지 않는다. 숫자의 정의를 도출하는 데 필요한 공리는 어떤 경우에도 집합 이론에 대한 공리 시스템 간에 다를 수 있다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, ZF와 ZFC에서는 페어링의 공리와 궁극적으로 순서 쌍의 개념은 인피니티 공리와 대체 공리에서 도출할 수 있으며, 폰 노이만 숫자(제르멜로 숫자 제외)의 정의에 필요한 반면, NFU에서는 프레지 숫자가 파생된 것과 유사한 방법으로 도출될 수 있다.그룬지세츠에 있는 아티온

프린키아는 그것의 선구자인 그룬지세제트와 마찬가지로, "계급", "제안함수"와 같은 원시적 명제로부터 숫자의 구축을 시작하고, 특히 "동일성" ("동일성": 컬렉션의 요소들을 일대일 대응으로 배치)와 "주문" (orde와의 관계에서 "후계자"를 사용)의 관계를 시작한다.r 등분류의 집합)."^[15] 논리적인 파생은 이런 방식으로 구성된 추기경 숫자들을 자연 숫자와 동일시하고, 이 숫자들은 모두 같은 "유형" 즉, 클래스의 등급으로 끝나는 반면, 어떤 정해진 이론적 구성(예: 폰 네움만과 제르멜로 숫자)에서는 각각의 숫자들이 하위집합으로 전형을 가지고 있다. Kleene은 다음을 관찰한다. (Kleene의 가정 (1)과 (2) n은 속성 P를 가질 때마다 0은 속성 P를 가지고 있고 n+1은 속성 P를 가지고 있다는 것을 명시한다.)

"여기에서의 관점은 '신은 정수를 만들었다'는 [Kronecker]의 격언과 숫자와 수학적 유도의 피아노의 공리를 합한 것과 매우 다르다." 여기서 우리는 자연수열의 직관적인 개념을 전제로 하고, 자연수열의 특정 속성 P가 주어질 때마다 그 원리를 도출해냈다. (1).)와 (2) 그 다음 주어진 자연수는 반드시 P를 가져야 한다.(Kleene 1952:44)

자연수 구성의 논리학 프로그램에 대한 중요성은 "모든 전통적인 순수 수학이 자연수에서 파생될 수 있다는 것은 오래 전부터 의심을 받아 왔지만 상당히 최근의 발견이다"(19:4)라는 러셀의 주장에서 비롯된다. 실수의 한 가지 유래는 데데킨드의 이론이 이성적인 숫자들을 잘라내고, 차례로 자연적인 숫자들로부터 파생되는 이론에서 유래한다. 이것이 어떻게 이루어지는지에 대한 예는 유용하지만, 그것은 먼저 자연수의 유래에 의존한다. 따라서 철학적인 어려움이 자연수의 논리론적 도출에 나타난다면, 이러한 문제들이 해결될 때까지 프로그램을 중단시키기에 충분해야 한다(아래 비평 참조).

자연수를 구성하려는 한 가지 시도는 버네이즈 1930-1931에 의해 요약된다.^[16] 그러나 어떤 디테일에 불완전한 베르네이스의 프레시스를 사용하기보다는, 일부 유한한 삽화를 통합한 러셀의 건설을 비유하려는 시도가 아래에 제시되어 있다.

예선

러셀에게 컬렉션(클래스)은 적절한 이름으로 지정된 "사물"의 집합체로서, 명제의 결과(사물이나 사물에 대한 사실의 주장)로 나타난다. 러셀은 이 일반적인 개념을 분석했다. 그는 문장에서 "단어"로 시작하는데, 이 문장은 다음과 같이 분석했다.

용어: 러셀에게 있어서, "단어"는 "사상의 대상" 또는 "개념" 중 하나이다: "무엇이든 사상의 대상이 될 수 있거나, 진실 또는 거짓 명제에서 일어날 수 있거나, 또는 하나로 셀 수 있는 경우, 나는 용어를 부른다. 그렇다면 이 말은 철학적 어휘 중에서 가장 넓은 말이다. 나는 그것과 동의어로 단어, 단위, 개인, 실체를 사용할 것이다. 첫 번째 두 가지는 모든 용어가 하나라는 사실을 강조하는 반면, 세 번째 용어는 모든 용어가 존재해 왔다는 사실, 즉 어떤 의미에서라는 사실에서 파생된 것이다. 남자, 순간, 숫자, 계급, 관계, 치마에라, 그 밖에 언급할 수 있는 것은 모두 용어일 것이 확실하며, 그런 저런 것이 용어라는 것을 부정하는 것은 항상 거짓이어야 한다.(러셀 1903:43)

사물은 적절한 이름으로 표시되고, 개념은 형용사나 동사로 표시된다: "용어 중에서는 두 가지 종류를 구분할 수 있는데, 나는 이것을 각각 사물 및 개념으로 부른다; 전자는 적절한 이름으로 표시되고 후자는 다른 모든 단어로 표시된다. . 개념 중에서, 다시 말해, 적어도 두 가지 종류는 구분되어야 한다.구구체, 즉 형용사로 표시된 것과 동사로 표시된 것(":44.

개념-거부자는 "명제"이고 개념-거부자는 "관계"이다: "전자의 종류는 종종 술어 또는 계급-개념으로 불리며, 후자는 항상 또는 거의 항상 관계"(1903:44)

"변수" 주제의 개념: "나는 제안의 조건을 제안에서 발생하며 제안이 어떤 주제인지에 대한 주제로 간주될 수 있는, 아무리 많더라도 그러한 용어로서 제안이 개념은 제안의 주체로 간주될 수 있다. 우리가 제안을 계속하지 않고 그들 중 누구라도 다른 어떤 단체로 대체될 수 있다는 것은 제안 조건의 특징이다. 그러므로 우리는 "소크라테스는 인간이다"는 단 하나의 용어만을 가진 명제라고 말할 것이다; 명제의 나머지 구성 요소 중 하나는 동사, 다른 하나는 술어다. 그렇다면 술어는 하나의 용어나 주제만을 가진 명제에서 발생하는 동사 이외의 개념이다."(1903:45)

진실과 거짓: 어떤 대상을 가리키며 이렇게 말한다면, "내 앞에 있는 '에밀리'라는 이름의 이 물체는 여자다. 이것은 화자의 신념의 주장인 명제로서, 외계의 '사실'에 대항하여 시험해야 할 것이다: "마음은 진실도 거짓도 만들지 않는다. 그들은 믿음을 만들어낸다…. 믿음을 진실되게 만드는 것은 사실이며, 이 사실은 어떤 식으로든 그 믿음을 가진 사람의 마음을 포함하지 않는다(1912:130). 만약 "사실"과의 언행과 서신을 조사함으로써, 러셀이 에밀리가 토끼라는 것을 알게 되면, 그의 언행은 "거짓말"로 간주되고, 만약 에밀리가 인간이라고 부르기를 좋아하는 여성(러셀이 좋아하는 것처럼 "무쌍한" 여성)이라면, 플라톤에 대한 디오게네스 라에르티우스의 일화에 이어 그의 언행은 "진"으로 간주된다.

클래스(aggregate, complex): "클래스 개념과는 반대로, 클래스는 주어진 술어가 있는 모든 용어의 합계 또는 결합이다."(1903 페이지 55). 클래스는 확장(구성원 목록) 또는 장력(예: "x is u" 또는 "x is v"와 같은 "propositional function")으로 지정할 수 있다. 그러나 "연장을 순수하게 받아들이면 우리 계급은 그 조건의 열거에 의해 정의되며, 이 방법은 상징논리가 그러하듯이 무한계급을 취급하는 것을 허용하지 않을 것이다. 따라서 우리 계급은 일반적으로 개념에 의해 지적되는 사물들로 간주되어야 하며, 이 정도까지는 장력에 대한 관점이 필수적이다."(1909 페이지 66)

발의안함수 : "일반적으로 용어와 구별되는 계급개념의 특징은 "x는 u"라는 것이 명제적 함수로서 u는 class-concept일 때, 그리고 오직 u가 class-concept일 때라는 것이다."(1903:56)

클래스의 확장 대 강도의 정의: "71. 클래스는 확장 또는 장력 중 하나로 정의할 수 있다. 즉, 우리는 계급인 사물의 종류나 계급을 나타내는 개념의 종류를 정의할 수 있다: 이것은 이 연결에서 연장 및 억양의 반대라는 정확한 뜻이다. 그러나 일반적인 개념은 이 두 가지 방식으로 정의될 수 있지만, 특정 등급은 유한한 경우를 제외하고, 단지 내적으로만 정의할 수 있다. 즉, 그러한 개념과 그러한 개념에 의해 지적되는 개체로서. 논리적으로, 확장적 정의는 무한정 세분류에 동일하게 적용 가능한 것처럼 보이지만, 실질적으로, 만약 우리가 다음과 같이 정의한다면,그것을 유혹하면, 죽음은 그 목적을 달성하기 전에 우리의 칭찬할 만한 노력을 단축시킬 것이다."(1903:69)

자연수의 정의

프리네티아의 경우, 자연수는 모든 실체 집합에 대해 주장할 수 있는 모든 명제에서 도출된다. 러셀은 아래의 두 번째 문장에서 이것을 분명히 한다.

"처음에는 숫자 자체가 무한의 수집을 형성하고, 따라서 열거로 정의할 수 없다. 둘째로, 주어진 수의 용어를 가진 수집품들 자체가 무한한 수집을 형성한다고 가정할 수 있다. 예를 들어, 세상에 무한한 트리오의 수집이 있다고 가정할 수 있다. 만약 그렇지 않다면, 세상의 총 개체수는 한정되어 있을 것이기 때문이다. 가능한 한 그럴 것 같지는 않다. 셋째로, 무한히 많은 수가 가능한 방식으로 "숫자"를 정의하고자 한다. 따라서 우리는 무한히 많은 수의 용어들을 말할 수 있어야 하며, 그러한 수집은 모든 구성원이 공통적으로 그리고 그들 고유의 재산에 의해 인트로 정의되어야 한다."(19:13)

예를 들어 다음과 같은 유한한 예를 들어보자. 한 거리에 12가족이 있다고 가정해보자. 어떤 사람들은 아이를 가지고 있고, 어떤 사람들은 아이를 가지고 있지 않다. 이들 가정의 아이들의 이름을 논의하기 위해서는 F1, F2, F12라는 이름을 가진 가족의 특정 거리에 있는 이 가구집단에 적용되는 "Fn 가족의 아이 이름"을 주장하는 12개의 명제가 필요하다. 12가지 명제는 각각 '주장' 자녀명이 특정 가정의 자녀에게 적용되는지 여부를 고려한다. 아이들의 이름(Childname)은 명제 함수 f(x)에서 x라고 생각할 수 있는데, 여기서 함수는 "Fn이라는 이름을 가진 집안의 아이의 이름"^{[17][original research?]}이다.

1단계: 모든 클래스 조립: 앞의 예는 유한한 수의 가족의 유한한 거리에 있는 유한한 명제 함수 "Fn 가족의 아이 이름"에 대해 유한한 반면, 러셀은 모든 수의 생성을 허용하기 위해 무한 영역으로 확장되는 모든 명제적 함수로 확장하기 위해 다음과 같은 것을 의도한 것으로 보인다.

클린은 러셀이 자신이 해결해야 할 충동적인 정의를 내렸거나 러셀의 역설과 같은 것을 도출하는 위험을 감수했다고 생각한다. "여기서 우리는 자연수열의 정의에 앞서 논리적으로 존재하는 추기경 숫자의 모든 성질의 총체성을 전제한다."(Kleene 1952:44) 문제는 러셀이 유닛 클래스(cf)를 다룰 때, 여기에 제시된 유한한 예에서도 나타날 것이다. 러셀 1903:517).

정확히 '클래스'가 무엇인지, 아니면 무엇이 되어야 하는지에 대한 의문이 생긴다. 데데킨드와 프레게에게 클래스는 그 자체로 구별되는 실체, 즉 어떤 명제적 함수 F를 만족시키는 모든 실체 x와 구별될 수 있는 '유일성'(이 상징성은 러셀에서 나타나며, 프레게에 귀속된다: "함수의 본질은 위의 예, 2( ³) + ( )에서 x가 빼앗겼을 때 남는 것이다. x 인수는 함수에 속하지 않지만, 두 사람이 함께 전체(ib. 페이지 6 [즉, ])를 만든다. 프레지의 1891 Function und Begriff]" (Russell 1903:505) 예를 들어, 특정한 "유일성"에 이름을 붙일 수 있다; Fα 가족이 애니, 바비, 찰스라는 이름을 가진 아이들을 데리고 있다고 가정하자:

{ a, b, c }_Fα

제한 없이 사용할 경우, 수집 또는 클래스를 개체로 사용한다는 이러한 개념은 러셀의 역설로 귀결된다; 충동적인 정의에 대한 자세한 내용은 아래를 참조하십시오. 러셀의 해결책은 어떤 계급의 개념을 그 명제를 만족시키는 요소들로만 규정하는 것이었는데, 실제로 그의 주장은 x가 그 함수에 의해 만들어진 소위 "계급"이라고 불리는 명제적 함수에 속하지 않는다는 것이다. 계급 자체는 그 자체로 하나의 단일 개체로 간주되지 않고, 일종의 유용한 허구로서만 존재한다. "우리는 한 종류의 사물이 어떤 의미에서 하나의 개체로서 존재하는지 여부에 대한 결정을 피했다. 어느 쪽이든 이 문제의 결정은 우리의 논리에 무관심하다."(프린키니아 수학자 제1판 1927:24.

러셀은 1919년에 이 의견을 계속 고수하고 있다; "심벌적 소설"^{[original research?]}이라는 단어를 관찰하라.

그는 "수업이 구성원과 같은 부류의 것이 될 수 없고, 단순히 무더기나 집합체일 수 없으며, 또한 제안적 기능과 동일할 수 없다고 결정했을 때, 상징적 소설 이상의 것이 될 수 있다면, 그들이 무엇이 될 수 있는지 보는 것은 매우 어려워진다"고 말했다. 그리고 그것을 상징적인 허구로서 다룰 수 있는 어떤 방법을 찾을 수 있다면, 우리는 계급이 없다는 정반대의 가정을 강요받지 않고 계급이 있다고 가정할 필요를 피하기 때문에, 우리 지위의 논리적 안전성을 높인다. 우리는 단지 두 가지 가정을 모두 회피할 뿐이다…. 그러나 계급이 있다고 주장하기를 거부할 때, 우리는 없다고 독단적으로 주장해서는 안 된다. 우리는 그것들에 대해 불가지론자일 뿐이다."(1919:184)

그리고 PM (1927년) 제2판에서 러셀은 "기능은 오직 그 가치를 통해서만 발생한다, . . 모든 기능의 기능은 확장적이다, . . . 그리고 결과적으로 기능과 클래스를 구별할 이유가 없다 . 따라서 클래스는 *20" (p. xx)에 그들이 유지하고 있는 그 그늘진 존재조차 잃는다.xix). 즉 별개의 개념으로서의 계급은 완전히 사라졌다.

2단계: "비슷한" 클래스를 '번들'로 수집: 위의 컬렉션들은 여기서 ≈으로 상징되는 "동등성"에 의해 "이진 관계" (비교) 유사성에 넣을 수 있으며,^[18] 즉 원소들의 일대일 대응으로 인해 러셀의 클래스나 러셀이 "번들"이라고 부르는 클래스를 만들 수 있다. "우리는 모든 부부가 한 묶음, 모든 삼쌍둥이가 다른 묶음, 등등으로 추측할 수 있다. 이렇게 해서 우리는 다양한 수집품 묶음을 얻는데, 각각의 묶음은 일정한 수의 용어를 가진 모든 수집품들로 구성되어 있다. 각 보따리는 회원들이 수집품, 즉 계급인 계층이다. 따라서 각 보따리는 계급이다."(1919:14)

3단계: null 클래스 정의: 특정 클래스의 클래스는 요소를 포함하지 않기 때문에, 즉, 어떤 요소도 이 특정 클래스/컬렉션을 정의한 술어를 만족시키지 못하기 때문에 특별하다는 점에 유의하십시오.

그 결과로 생긴 실체를 "null class" 또는 "빈 class"라고 부를 수 있다. 러셀은 null으로 null/empty 클래스를 상징했다. 그렇다면 러셀의 null 클래스는 정확히 무엇인가? 러셀 총리는 PM에서 "한 클래스는 적어도 한 명의 멤버가 있을 때 존재한다고 한다." "null class"라고 한다. "α는 null class이다."는 "α는 존재하지 않는다. null 클래스 자체가 '엑시스트(exists)'하는 것인지에 대한 의문이 자연스레 생긴다. 이 문제와 관련된 어려움은 러셀의 1903년 작품에서 발생한다.^[19] 프레게의 그룬게세체에서 역설적인 점을 발견한 후, 그는 1903년 자신의 부록 A에 null과 단위계급의 성질을 분석함으로써 "유형의 독트린"이 필요하다는 것을 알게 되었다; 단위계급, 충동적 정의의 문제, 러셀의 "악의적인 원리"에 대해 더 자세히 보라.^[19]

4단계: 각 번들에 "숫자" 할당: 약어와 식별을 위해 각 번들에 고유한 기호("숫자"라고 함)를 할당한다. 이 기호들은 임의적이다.

5단계: 프레지에 이어 "0"을 정의하십시오. 러셀은 이 역할을 채우기 위한 적절한 클래스로 빈 클래스 또는 null 클래스를 선택했습니다, 이것은 멤버가 없는 클래스의 클래스입니다. 이 null 클래스의 라벨은 "0"으로 표시될 수 있다.

6단계: "서커스처"의 개념 정의: 러셀은 새로운 특성인 "서열체"(cf Frege의 '고정체')를 정의했는데, 이는 다른 클래스(계급일 수 있음)의 특성을 "상속할 수 있는 능력을 가진 특정 클래스의 속성이다. 즉, "특성은 만일 그것이 어떤 클래스에 속할 때마다 자연수 시리즈에 "서열체"라고 한다. n번, 또한 n"의 후속인 n+1에 속한다. (1998:21). 그는 "의 직접적인 전임자" (1919:23)의 관계에 대해 "자연수는 후세인 - "자녀" 즉, "자녀"의 계승자 - 0"이라고 주장한다.

러셀은 여기서 몇 개의 단어를 정의 없이 사용했는데, 특히 "숫자 시리즈", "number" 및 "successor"이다. 그는 이것들을 적절한 시기에 정의할 것이다. 특히 러셀은 후계자를 구성하기 위해 클래스 "1"의 단위 클래스를 사용하지 않는다는 것을 관찰한다. 그 이유는 러셀의 상세한 분석에서 ^[20]단위계급이 그 자체의 권리로 실체가 된다면 그것 역시 그 자체의 명제에 하나의 요소가 될 수 있기 때문이다; 이는 명제를 "충분히" 만들고 "악의적인 원"으로 귀결시킨다. 오히려 그는 다음과 같이 말하고 있다. "우리는 제2장에서 추기경 숫자를 계급으로 정의하고, 제3장에서 숫자 1을 모든 단위계급의 계급으로 규정하는 것을 보았다. 우리가 말해야만 하는 것처럼, 악순환을 위해서. 물론 숫자 1이 모든 단위 클래스의 등급으로 정의될 때, 1이 의미하는 바를 알고 있다고 가정하지 않도록 단위 클래스를 정의해야 한다(1919:181).

후계자에 대한 그의 정의를 위해 러셀은 다음과 같이 단일 실체 또는 "임기"를 사용할 것이다.

"처리기"를 정의하는 것은 남아있다. 임의의 숫자로 주어지는 n α는 n 멤버가 있는 등급이 되게 하고, x는 α의 멤버가 아닌 용어가 되게 한다. 그러면 x가 추가된 α로 구성된 클래스는 +1 멤버가 된다. 따라서 우리는 다음과 같은 정의를 가지고 있다.

α 등급의 항 수의 후속은 x와 함께 α로 구성된 등급의 항 수입니다. 여기서 x는 등급에 속하지 않는 항이다."(1911:23)

러셀의 정의는 묶음 안의 컬렉션에 "추가"되는 새로운 "용어"를 필요로 한다.

7단계: null 클래스의 후속 클래스를 구성하십시오.

8단계: 모든 계급의 동일 계층에 대해 그 후계자를 만드십시오.

9단계: 숫자 정렬: 후계자를 만드는 과정에는 다양한 "숫자" 사이에 "S"로 표기될 수 있는 "...는...의 후계자"라는 관계가 필요하다. "우리는 이제 자연수의 일련번호를 0, 1, 2, 3, . 순서로 생각해야 한다. 우리는 통상적으로 숫자를 이 순서와 같이 생각하고, 논리적인 용어로 "순서"나 "계열"의 정의를 추구하는 것은 데이터를 분석하는 작업의 필수적인 부분이다. . 순서는 용어의 등급이 아니라 t 사이의 관계에 있다.그 반의 멤버들, 그 중 일부는 일찍 나오고 일부는 나중에 나타난다." (1996:31)

러셀은 "주문관계"라는 개념에 다음과 같은 세 가지 기준에 적용된다. 첫째, 그는 "대칭성"의 개념을 정의한다. 즉, 두 용어 x와 y: x S, y, z: if x S, y, z: 3자리 x, if x S, 그 다음 x S z에 대한 "변환성"의 개념을 정의한다. 셋째, 그는 "연결"의 개념을 정의한다: "명령할 클래스의 어떤 두 가지 조건을 감안할 때, 한 가지 조건이 선행되어야 하고 또 다른 한 가지 조건이 뒤따라야 한다. . . 관계라는 두 가지 다른 분야 조건이 주어졌을 때 [예: 결혼한 관계의 남편 대 아내 관계] 관계가 연결된다. 첫 번째와 두 번째 또는 두 번째와 첫 번째 사이의 관계는 유지된다(비대칭 관계인 경우 둘 다 발생할 수 없지만 둘 다 발생할 수 있는 가능성을 배제하지 않음).(1919:32)

그는 다음과 같이 결론짓는다: ". . . 자연수 m은 n이 m의 후계자가 소유하고 있는 모든 유전적 재산을 소유할 때 다른 숫자 n보다 작다고 한다. 관계가 "보다 작다"고 정의되고, 비대칭적이고, 전이적이며, 연결되어 있으며, [즉, 도메인 및 컨버스 영역은 모두 숫자다](19:35)라는 것을 쉽게 알 수 있다.

비판

반복에 대한 '추상론적' 개념의 추정: 클레네는 "논리가 이미 그것의 공식화에서 수학적 사상을 전제하고 있다는 이유로 논리론적 논문이 최종적으로 의문시될 수 있다"고 지적한다. 직관론적 관점에서는 본질적인 수학적 커널이 반복의 개념에 포함되어 있다."(Kleene 1952:46)

버네이즈 1930~1931은 이 개념 "두 가지"가 이미 두 가지 존재의 주장 없이, 그리고 또한 두 가지에 적용되는 술어에 대한 언급 없이 어떤 것을 전제하고 있다고 관찰한다; 그것은 간단히, "한 가지와 한 가지 더……. 이 간단한 정의에 관하여 숫자 개념은 하나의 일조(一朝)로 판명된다.난해한 구조 개념. . 수학은 순전히 논리적인 지식이라는 논리학자들의 주장은 이론적 논리의 보다 면밀한 관찰에 의해 흐릿하고 오해의 소지가 있는 것으로 판명된다. . . [논리적]의 정의를 확장할 수 있지만, 이러한 정의를 통해 인식적으로 필수적인 것은 은폐되고, ma에 특유한 것은 은폐된다.주제학은 간과되고 있다."(1998:243)

힐버트 1931:266-7은 버네이스와 마찬가지로 수학에도 "지나치게 논리적인 것"이 있다고 생각한다: "경험과 생각 외에도, 아직 제3의 지식원이 있다. 비록 오늘날 우리가 더 이상 세부사항에서 칸트와 동의할 수 없다고 하더라도 그럼에도 불구하고 칸트 인식론의 가장 일반적이고 근본적인 관념은 직관적인 선험적 사고방식을 확인하여 모든 지식의 가능성의 상태를 조사한다는 그 중요성을 간직하고 있다. 내 생각에 이것은 본질적으로 수학의 원리에 대한 나의 연구에서 일어나는 일이다. 선험적 사고방식은 여기에 기본적 사고방식에 지나지 않으며, 나는 또한 유한적 사고방식이라고 부르는데, 그것은 우리의 대표성 능력에서는 이미 어떤 것이 우리에게 주어진 것이다: 모든 생각 이전의 즉각적인 경험으로서 직관적으로 존재하는 특정한 초논리적 구체적 사물들이다. 논리적 추론이 확실하다면, 이 물체들은 그들의 모든 부분에서 완전히 측량할 수 있어야 하며, 그들의 표현, 차이점, 그들의 계승 또는 그들의 배열은 그 물체들과 함께 즉시 그리고 직관적으로 우리에게 주어진다. 그 어떤 것도 다른 것으로 축소될 수 없는 것으로. 그런 감축도 필요 없다.(만코수 1998년 힐버트 1931: 266, 267).

간단히 말해 힐베르트와 버네이스에 따르면, "시퀀스" 또는 "서커스처"의 개념은 상징적 논리 밖에 놓여 있는 선행 개념이다.

힐버트는 논리주의를 '허위 경로'라고 일축했다. "어떤 이들은 숫자를 순수하게 논리적으로 정의하려 했고, 다른 이들은 단순히 숫자-이론적 추론 방식을 자기증명적으로 받아들였다. 두 길 모두 극복할 수 없는 장애물과 마주쳤다.(만코소 힐버트 1931:267) 불완전성 이론은 힐베르트의 순수주의에도 비슷한 장애물이 된다.

만코수는 브루워가 다음과 같이 결론을 내렸다고 말한다: "논리의 고전 법칙이나 원칙은 [기호적 표현에서] 인식된 규칙성의 일부분이다; 그것들은 수학구조의 사후 사실 기록에서 파생된다. . 이론 논리학 . . . . [] 경험과학이며 수학의 응용이다." (만크에서 인용한 브루워는 인용한 것이다.오수 1998:9).

괴델 1944: 쾨델은 프린키마티카(ei edition)에 나타나는 러셀 논리주의의 기술적 측면에 대해 다음과 같이 실망했다.

"이번에 처음으로 포괄적이고 철저한 수학적 논리의 제시와 그것으로부터 수학의 파생이 [??] 기초(프린키아의 *1~*21에 포함)에 있어서 형식적 정밀성이 크게 결여되어 있어서, 이 점에서 프레지와 비교했을 때 상당히 뒤처지는 것을 보여주는 것은 유감스러운 일이다. 무엇보다 빠진 것은 형식주의 구문에 대한 정확한 진술이다."(Gödel 1944 Collected Works 1990:120의 cf. 각주 1).

특히 그는 "이 문제는 대체의 법칙과 정의된 기호에 의한 대체의 법칙이 특히 의심스럽다"(Russell 1944:120)고 지적했다.

이러한 토대를 형성할 수 있는 철학에 관해서, 괴델은 러셀의 "무계층 이론"을 "명목주의적인 종류의 구성주의 . . . 허구주의" (괴델 1944:119의 cf. 각주 1) 즉 결함이 있다고 생각했다. 자세한 내용은 아래의 "괴델의 비판 및 제안"을 참조하십시오.

Gratan-Guinness: 복잡한 관계 이론이 러셀의 설명 1919년 수학 철학 입문서와 1927년 2판 프린키아의 목을 졸라댔다. 한편 세트 이론은 주문된 세트 쌍에 대한 관계 축소를 진행했었다. Grattan-Guinness는 프린키아의 제2판에서 러셀이 자신의 제자인 Norbert Wiener (1914년)에 의해 달성된 이러한 감소를 무시했다고 관찰한다. 아마도 "지속적인 짜증 때문에 러셀은 전혀 반응하지 않았다."^[21] 1914년까지 하우스도르프는 또 다른 동등한 정의를 제공할 것이고 1921년 쿠라토프스키는 오늘날 사용되고 있는 정의를 제공할 것이다.^[22]

단위계급, 귀납성, 악순환원리

양성적 충동적 정의: 사서가 자신의 수집품을 하나의 책으로 색인화하려고 한다고 가정하자("색인"을 위해서는 Ⅱ라고 부른다). 그녀의 색인은 도서관의 모든 책과 위치를 나열할 것이다. 밝혀진 바와 같이, 책은 3권뿐이며, 이 책들은 제목이 and, β, γ이다. 색인 I을 형성하기 위해 그녀는 나가서 200페이지의 책을 사서 "나"라고 라벨을 붙인다. 이제 그녀는 I, ά, β, γ의 네 권의 책을 가지고 있다. 그녀의 일은 어렵지 않다. 완성되면 그녀의 색인 I의 내용은 각각 고유한 제목과 고유한 위치(각 항목은 제목이라고 약칭함)를 가진 4페이지가 된다.위치_T:

I ← { I.L_I, ά.L_Ά, β.L_β, γ.L_Γ}.

푸앵카레에 의해 나에 대한 이런 정의는 "충격적인" 것으로 간주되었다. 그는 수학에서는 서술적 정의만이 허용될 수 있다는 점을 고려한 것 같다.

"정의는 '복제적'이며, 정의된 개념에 의존하는 모든 개체, 즉 어떤 식으로든 그것에 의해 결정될 수 있는 개체들을 배제한 경우에만 논리적으로 허용된다.^[23]

푸앵카레의 정의에 의하면, 사서의 인덱스북은 "충격적"으로 되어 있는데, 이는 I의 정의가 토탈리티 I, ά, β, γ의 정의에 좌우되기 때문이다. 아래에서 언급한 바와 같이, 일부 의견제출자들은 상식적인 버전의 귀속성은 해롭지 않다고 주장하지만, 아래의 사례에서 알 수 있듯이 해롭지 않은 버전도 있다. 이러한 어려움에 대응하여 러셀은 자신의 "악의적인 원리"인 강력한 금지를 주장했다.

"전체성에는 이러한 전체성 또는 전체성을 포함하거나 전제할 수 있는 구성원이 포함될 수 없다."(악성원리) (Gödel 1944년 수집된 작품 볼륨에 표시됨) II 1990:125).^[24]

위독성 임파타티비티: α = NOT-α: 위독성 인스턴스(instance of imficativity)가 무엇인지 설명하기 위해 Ω = 1 – α로 함수 f에 인수 α를 입력하는 결과를 고려한다. 이는 진리 값 1과 0을 갖는 '기호 논리' 표현식 Ω = NOT-α에 해당하는 '알제브라식 논리' 표현으로 볼 수 있다. 입력 α = 0일 경우 출력 Ω = 1, 입력 α = 1, 출력 Ω = 0.

함수를 "인상적"으로 설정하려면 출력으로 α = 1-α를 산출하여 입력을 식별하십시오.

예를 들어, 합리적인 숫자의 대수 내에서 방정식은 α = 0.5일 때 충족된다. 그러나 예를 들어, 부울 대수에서는 "진리 값" 0과 1만 허용되며, 그러면 동등성은 충족될 수 없다.

단위 클래스의 정의에서 치명적 충동성: 논리학 프로그램의 어려움 중 일부는 프레지의 1879년 베그리프슈리프트에서^[26] 발견한 α = NOT-α 역설에서^[25] 프레지가 어떤 물체(무엇, 용어)로부터뿐만 아니라 함수 자체의 출력으로부터도 입력 "기능적"(변수의 값)을 도출할 수 있도록 함수를 허용한 것에서 비롯될 수 있다.^[27]

위에서 기술한 바와 같이, 프레게와 러셀의 자연수구조는 모두 계급의 등분계급("번들")의 형성으로부터 시작하여, 각 묶음에 고유한 "숫자"를 할당하고, 그 다음에 비대칭인 관계 S: x S ≠ y x. 그러나 Frege를 통한 순서에 묶음들을 배치하는 것으로, 러셀과는 달리,l, 장치 클래스의 클래스를 장치 자체로 식별할 수 있도록 허용:

그러나 숫자 1이 있는 클래스는 그 자체로 하나의 객체나 단위이므로, 그것 역시 단위 클래스에 포함되어야 한다. 이러한 포함은 '유형'을 증가시키고 콘텐츠를 증가시키는 '무한 퇴행'(괴델이 말한 대로)을 초래한다.

러셀은 어떤 수업이 더 많거나 "소설"이 될 것이라고 선언함으로써 이 문제를 피했다. 이것에 의해 그는 클래스가 그것의 제안적 기능을 만족하는 요소들만을 지정하고 다른 어떤 것도 지정할 수 없다는 것을 의미했다. "소설"으로서 클래스는 사물이라고 볼 수 없다: 실체, 용어, 특이점, 단위. 이것은 조립품이지만 러셀의 관점에서는 "사물성 있는 것"은 아니다.

"그 반만큼 많은 . . . . 반은 단 한 개도 없으나, 한 개도 아니고 여러 개다. 만약 우리가 선택한다면, 이것을 하나의 기호로 나타낼 수 있다: 따라서 x u u는 "x는 us의 하나이다"를 의미할 것이다. 이것은 x와 u라는 두 용어의 관계로 보아서는 안 된다. 왜냐하면 숫자 접속사 u는 단일 용어가 아니기 때문이다. 따라서 클래스의 종류는 많은 것이 될 것이다. 클래스의 구성원은 각각 많을 뿐이고, 따라서 어떤 의미에서도 단일 구성원이 될 수 없을 것이다.[etc]" (1998:516).

이는 모든 클래스, 모든 클래스, 클래스, 클래스 등 모든 클래스에 대해 "하단에" 모든 단일 "단어"를 나열할 수 있다고 가정하지만, 새로운 문제, 즉 클래스 "유형"의 계층 구조를 도입한다.

충동성에 대한 해결책: 유형의 계층 구조

비개체로서의 클래스, 유용한 소설로서의 클래스: 괴델 1944:131은 "루셀은 클래스의 확장적 견해, 즉 모음일 수 없는 (1) null 클래스의 존재와 (2) 단일 요소와 동일해야 하는 장치 클래스의 존재에 대해 두 가지 이유를 제시한다"고 본다. 그는 러셀이 이러한 것들을 허구적인 것으로 간주했어야 했지만, 모든 계급(숫자 2, 3을 정의하는 계급 등)이 허구라는 추가적인 결론을 이끌어내지는 못했다고 제안한다.

그러나 러셀은 이것을 하지 않았다. 1903년 부록 A: 프레지의 논리적 및 산술적 교리 분석 후 러셀은 다음과 같이 결론짓는다.

"따라서 우리에게 강요되는 논리적인 교리는 다음과 같다. 명제의 주제는 단일 용어가 아니라 본질적으로 많은 용어일 수 있다. 이는 모든 명제가 0과 1"(1903:516) 이외의 숫자를 주장하는 경우에 해당한다.

다음 공지사항에서 "수만큼의 클래스"라는 문구—클래스는 제안적 함수를 만족시키는 용어(사물)의 집합체지만 클래스는 그 자체가 아니다.

"그러므로 최종 결론은 올바른 계급 이론이 6장의 계급 이론보다 훨씬 더 확장적이다; 많은 계급이 항상 명제적 함수에 의해 정의되는 유일한 개체이며, 이것이 형식적 목적에 적합하다는 것이다."(1903:518)

마치 목장이 자신의 가공된 목장에 있는 모든 가축(양, 소, 말)을 세 개의 가공 산호(양, 소, 말)로 둥글게 하는 것과 같다. 실제로 존재하는 것은 양, 소, 말(연장)이지만 가공의 "개념" 산호와 목장은 아니다.^{[original research?]}

유형: 함수의 순서 및 인수 유형, 사전 함수: 러셀이 모든 계급이 유용한 소설이라고 선언했을 때, 그는 "유닛" 계급의 문제를 해결했지만, 전체적인 문제는 사라지지 않았다; 오히려 새로운 형태로 도착했다; "이제 (1) 용어, (2) 계급, (3) 계급 등을 구별할 필요가 있을 것이다; 우리는 어느 한 집단의 멤버도 멤버가 아니라는 것을 받아들여야 한다. x ε u는 x가 u가 속한 세트보다 1도 더 낮은 한 세트의 도이어야 한다는 것을 요구한다. 따라서 x ε x는 무의미한 명제가 될 것이며, 이런 식으로 모순은 피한다."(1903:517).

이것은 러셀의 "유형의 교감"이다. 러셀은 x such x와 같은 충동적인 표현이 자신의 논리에서 다뤄질 수 있음을 보장하기 위해, 일종의 작업 가설로서, 그러한 충동적인 정의는 모두 사전적 정의를 가지고 있다고 제안했다. 이 가정은 함수-'주문'과 주장-'유형'의 개념을 요구한다. 첫째, 함수(및 그 클래스-as-extension, 즉 "매트릭스")는 "순서"에 의해 분류된다. 여기서 개인의 함수는 순서 1이고, 함수(클래스)는 순서 2이다. 다음으로, 그는 함수 인수(함수의 "입력")의 "유형"을 그들의 "의미 범위"로 정의한다. 즉, 그러한 입력 α(개별자)는 무엇인가? 수업은? 학급의? 등) f(x)에 연결되었을 때 의미 있는 출력 Ω을 산출한다. 이는 다음 예에서 알 수 있듯이 "유형"이 혼합 순서가 될 수 있음을 의미한다는 점에 유의하십시오.

"Joe DiMaggio와 Yankees가 1947년 월드시리즈에서 우승했다."

이 문장은 "x가 1947년 월드시리즈에서 우승했다" + "y가 1947년 월드시리즈에서 우승했다"의 두 절로 분해될 수 있다. 첫 번째 문장은 x 개인 "Joe DiMaggio"를 입력으로, 다른 문장은 집합 "Yankees"를 입력으로 사용한다. 따라서 복합 스텐스는 (혼합) 타입 2로, 주문(1과 2)과 혼합된다.

"predicative"에 의해, Russell은 함수가 변수의 "유형"보다 높은 순서여야 한다는 것을 의미했다. 따라서 클래스의 클래스를 만드는 함수(순서 2)는 클래스(유형 1)와 개인(유형 0)의 변수에 대해서만 논쟁을 즐길 수 있다. 3타입은 2타입, 1타입, 0타입만 접대할 수 있다. 그러나 이러한 유형은 혼합될 수 있다(예를 들어 이 문장이 사실인 경우: "z가 1947년 월드시리즈에서 우승했다"는 개인(0타입) "Joe DiMaggio" 및/또는 다른 동료들의 이름을 받아들일 수 있고, 개인 선수 "양키스"의 클래스(1타입)를 받아들일 수 있다.

환원성의 공리: 환원성의 공리는 모든 순서의 함수를 적절한 순서의 등가 사전 함수로 축소(또는 교체)할 수 있다는 가설이다.^[28] 초판을 주의 깊게 읽으면 n 순서^th 서술 함수를 거대한 "매트릭스" 또는 개별 원자 명제의 집합으로 "전방 아래로" 표현할 필요가 없다는 것을 나타낸다. "실제에서는 상대적인 유형의 변수만 관련되므로 주어진 맥락에서 발생하는 가장 낮은 유형을 개인의 유형이라고 할 수 있다."(161 페이지) 그러나 환원성의 공리는 이론적으로 "모든 하향"이 가능하다는 것을 제안한다.

Russell 1927은 환원성의 공리를 포기한다. 그러나 1927년 PM 2판이 되자, 러셀은 환원성의 공리를 포기하고 논리 연산자와 연계된 그것의 기본적인 명제에 어떤 순서의 "모든" 기능을 강요할 것이라는 결론을 내렸다.

"순서가 어떻든 모든 명제는 뇌졸중을 통해 결합된 기본적인 명제로 구성된 행렬에서 파생된다."(PM 1927 부록 A, 페이지 385)

("스트로크"는 셰퍼의 스트로크 - PM 제2판에 채택된 - 다른 모든 논리적 기능이 정의될 수 있는 단일 두 개의 인수 논리 함수)

그러나 최종 결과는 그의 이론의 붕괴였다. 러셀은 이런 낙담적인 결론에 도달했다. "서수자와 추기경들의 이론은 살아남지만 비합리적, 그리고 실제 숫자들은 일반적으로 더 이상 적절하게 다루어질 수 없다. 아마도 축소성의 공리보다 덜 반대되는 어떤 더 이상의 공리는 이런 결과를 줄지도 모르지만, 우리는 그런 결과를 찾는데 성공하지 못했다. axiom" (PM 1927:xiv).

괴델 1944는 러셀의 논리주의 프로젝트가 틀렸다는 것에 동의한다; 그는 심지어 정수조차도 살아남았다는 것에 동의하지 않는 것 같다.

"[제2판에] 환원성의 공리는 떨어지며, 모든 원시 술어는 가장 낮은 형식에 속하며, 상위 질서와 유형의 변수(그리고 명백한 상수)의 유일한 목적은 원자 명제의 보다 복잡한 진실 기능을 주장할 수 있게 하는 것이라고 명시되어 있다."(고델 1944년 수집 작품:134).

그러나 괴델은 이 절차가 어떤 형태로든 산수를 전제로 하는 것 같다고 단언한다(p. 134). 그는 "다른 질서의 정수를 얻는다" (p. 134-135); 러셀 1927 PM 부록 B에서 "5보다 높은 질서의 정수는 순서 5의 정수와 같다"는 증거는 "결정적이지 않다"와 "정수의 이론이 raminated 계층 구조[classes plu]에 기초하여 얻을 수 있는가 (또는 어느 정도까지)의 의문"을 추론한다.s type]은 현재 미해결인 것으로 간주되어야 한다. 괴델은 순서 n (any n)의 명제적 함수는 기호의 유한 조합에 의해 설명되어야 하기 때문에 (모든 인용문과 내용 135페이지에서 도출된 내용) 어차피 중요하지 않을 것이라고 결론지었다.

괴델의 비판과 제안

괴델은 1944년 작품에서 러셀의 논리주의가 실패했다고 생각하는 장소를 밝히고 문제를 시정하기 위한 제안을 한다. 그는 재심의를 위해 '악의 서클 원칙'을 제출하며, 이를 '의 관점에서만 정의 가능한' '인볼루션' '존재하는' 세 부분으로 나뉜다. "충격적 정의를 불가능하게 하여 데데킨드와 프레지에 의해 야기된 논리학에서 수학의 파생과 수학 그 자체를 상당 부분 파괴한다"는 것이 첫 번째 부분이다. 수학은 내재된 충동성(예: "모든 실수에 의해 정의되는 실수")에 의존하는 것으로 보기 때문에, 그는 그가 제시한 것이 "악순환 원리가 고전 수학이 거짓이라는 증거보다 거짓이라는 증거"(모두 괴델 1944:127 인용)라고 결론짓는다.

러셀의 무계급 이론은 이 문제의 근본이다. 괴델은 충동성이 수학 전반에 걸쳐 나타나는 것처럼 "무서운" 것은 아니라고 믿는다. 러셀의 문제는 논리와 수학의 대상, 특히 명제, 계급, 관념에 대한 그의 "구성주의적(또는 명목주의적)"^[29] 관점에 기인한다. 그것은 상징이 되는 개념이다. 그래서 상징이 나타내는 별개의 물체는 단순한 허구로 나타난다." ( 페이지 128)

실제로 러셀의 '무계급' 이론인 괴델은 다음과 같이 결론짓는다.

"데이터" 밖에 있는 물체의 존재에 대한 가정을 없애고 이러한 데이터에³³ 근거한 구성으로 대체하려는 경향의 세부적으로 수행된 몇 안 되는 사례 중 하나로서 매우 흥미롭다. "데이터"는 여기에서 상대적인 의미로 이해해야 한다. 즉, 우리의 경우 계급과 개념의 존재에 대한 가정이 없는 논리로서 이해해야 한다. 결과는 이 경우에 본질적으로 부정적이었다.즉, 이런 식으로 소개된 수업과 개념은 수학에서 그들의 용도에 필요한 모든 성질을 가지고 있지 않다.…. 이 모든 것은 (물리학)이 실제 내용일 수 없는 공리학 위에 쌓이는 것과 마찬가지로 위에서 변호한 견해에 대한 검증일 뿐이다.xplanned away" (132 페이지)

그는 다음과 같은 제안과 관찰로 에세이를 끝맺는다.

"계급과 개념이라는 용어의 의미를 더 명확하게 하고, 계급과 개념에 대한 일관된 이론을 객관적으로 존재하는 실체로 설정하려는 것과 같은 좀 더 보수적인 과정을 밟아야 한다. 이것이 수학적 논리의 실제적 발전이 취해온 과정이고 러셀 자신이 그의 작품의 보다 건설적인 부분에서 들어갈 수밖에 없었던 과정이다. 이 방면의 시도들 중에서 주요한 것은 단순한 유형의 이론. 그리고 자명적인 집합론인데, 둘 다 적어도 이 정도까지는 성공적이었던 것이 현대 수학의 파생을 허용함과 동시에 알려진 모든 역설을 피한다는 것이다…. 이런 불완전한 이해력이라고 의심하는 것은 타당해 보인다.지금까지 수학적 논리가 페이노와 다른 사람들의 높은 기대치보다 훨씬 뒤떨어져 있다는 사실에 책임이 있는 기초의 ng. . . . . . . . ( 페이지 140)

신논리주의

신논리주의는 그들의 지지자들에 의해 원래의 논리주의자 프로그램의 계승자로 간주되는 견해의 범위를 묘사한다.^[30] 보다 좁게 보면 신논리주의는 그룬지세츠(Grundgesetze)에서 수정된 버전의 프레지 시스템을 사용함으로써 프레지(Frege) 프로그램의 일부 또는 전 요소를 살리려는 시도로 보일 수 있다(이러한 일종의 2차 논리로 보일 수도 있다).

예를 들어, 알려진 역설이 파생되는 것을 막기 위해 기본 법칙 5(순진한 집합 이론에서 제한되지 않은 이해의 공리 스키마에 대한 아날로그)를 어떤 '더 나은' 공리로 대체할 수 있다. BLV를 대체할 가장 많이 인용되는 후보는 '#F = #G'^[31]로 주어진 '#'의 문맥적 정의인 흄의 원칙이다. 이런 종류의 신논리주의는 흔히 신자유주의라고 한다.^[32] 신자유주의 지지자들은 크리스핀 라이트와 밥 헤일 등이 있는데, 때때로 스코틀랜드 학교 또는 추상주의 플라톤주의자로도 불리며 인식론적 근본주의의 한 형태를 지지한다.^[33][34]

신논리주의의 다른 주요 지지자들로는 때때로 스탠포드-에드먼턴 학파라고 불리는 베르나르 린스키와 에드워드 N.잘타, 자칭 형이상학의 형태를 지지하는 추상적 구조주의 또는 모달적 신논리주의가 있다.^[34][32] 모달 신논리주의는 2차 모달 객체 이론 안에서 페아노 공리를 파생한다.^[35][36]

M. 랜들 홈즈가 제안한 또 다른 준 신논리주의 접근법이 있다. 이런 종류의 Grundgesetze 수정에서, BLV는 온전하게 유지되며 Quine의 NF와 관련 시스템 방식으로 계층화할 수 있는 공식에 대한 제한을 절약할 수 있다. 본질적으로 모든 그룬게세제는 '통과'한다. 결과 시스템은 젠센의 NFU + 로서의 Axiom of Counting과 동일한 일관성 강도를 가진다.^[37]

참조

참고 문헌 목록

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• 1990년 하워드 에베스, 수학 제3판의 기초와 기본 개념, 도버 출판사, 주식회사, 마이놀라, 뉴욕, ISBN 0-486-69609-X.
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• 스티븐 C. 1971, 1952년 클레네, 1971년, 1952년, 1991년 10번째 인상, NY 암스테르담 노스홀랜드 출판사, ISBN 0-7204-2103-9
• 마리오 리비오 2011년 8월 "왜 수학이 효과가 있는가: 수학은 발명된 것인가, 아니면 발견되었는가? 대표적인 천체물리학자는 밀레니아가 된 이 질문에 대한 해답은" 사이언티픽 아메리칸(ISSN 0036-8733), 305권, 2011년 8월 2권, NY, Nature America, Inc.의 Scientific American 부문"이라고 말한다.
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외부 링크

• 수학 백과사전 '논리학'