세레의 다중성 추측

수학에서, 장 피에르 세레의 이름을 딴 세레의 다중성 추측들은, 대수 기하학의 필요성에 의해 동기 부여된, 정류 대수학에서, 순전히 대수학상의 문제들이다.안드레 웨일의 교차로 번호에 대한 초기 정의 이후, 1949년경, 어떻게 하면 더 유연하고 계산 가능한 이론을 제공할 수 있을 것인가에 대한 문제가 있었다.

R을 (Noetherian, communative) 정기적인 지역 고리가 되게 하고 P와 Q를 R의 주요한 이상이 되게 하라.1958년, 세레는 다중의 고전 대수학-기하학 사상이 동질대수의 개념을 이용하여 일반화될 수 있다는 것을 깨달았다.Serre는 다음과 같이 호몰로지 대수학의 Tor functors를 이용하여 R/P와 R/Q의 교차 다중성을 정의했다.

${\displaystyle \chi(R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\inflt }-(1)^{i}\ell _{R}(\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/P,R/Q)}$

여기에는 ${\displaystyle {module}_{}}$ R ${\$$_{R}$ 로 표시된 모듈의 길이의 개념과 다음과 같은 가정이 필요하다.

$\displaystyle \ell _{R}(R/P)\times(R/Q)<\infully.}$

그러나 이 생각이 통한다면, 어떤 고전적인 관계는 아마도 계속 유지되어야 할 것이다.세레는 네 가지 중요한 성질을 골라냈다.그 후 이것들은 추측이 되어 일반적인 경우에서 도전하게 되었다.(R/P와 R/Q를 정밀하게 생성된 모듈로 대체하는 이러한 추측에 대한 더 많은 일반적인 진술이 있다: 자세한 내용은 Serre's Local Agebra를 참조)

치수 부등식

$\dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)}$

세레는 모든 일반 지역 반지들에게 이것을 증명했다.그는 R이 동일한 특성 또는 혼합 특성 및 비문명(이 경우 잔류장의 특성이 국부 링의 최대 이상적 사각형의 요소가 아님을 의미함)일 때 다음과 같은 세 가지 특성을 확립하고 그들이 일반적으로 보유하고 있다고 추측했다.

비네거티

${\displaystyle \chi(R/P, R/Q)\geq 0}$

이것은 1995년 오퍼 가버에 의해 증명되었다.

사라지다

만약

$\dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\}$

, 그러면.

$\displaystyle \chi(R/P, R/Q)=0.\ }$

이것은 1985년에 Paul C에 의해 증명되었다. 로버츠, 그리고 앙리 길렛과 크리스토프 소울레가 독자적으로 작곡했다.

긍정의

만약

$\dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\}}$

, 그러면.

$\displaystyle \chi (R/P, R/Q)>0.\ }$

이것은 아직 열려 있다.

참고 항목

• 정류대수의 동질적 추측

참조

• Serre, Jean-Pierre (2000), Local algebra, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer, pp. 106–110, doi:10.1007/978-3-662-04203-8, ISBN 978-3-642-08590-1, MR 1771925
• Roberts, Paul (1985), "The vanishing of intersection multiplicities of perfect complexes", Bulletin of the American Mathematical Society, Bull. Amer. Math. Soc. 13, no. 2, 13 (2): 127–130, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15394-7, MR 0799793
• Roberts, Paul (1998), Recent developments on Serre's multiplicity conjectures: Gabber's proof of the nonnegativity conjecture, L' Enseign. Math. (2) 44 , no. 3-4, pp. 305–324, MR 1659224
• Berthelot, Pierre (1997), Altérations de variétés algébriques (d'après A. J. de Jong), Séminaire Bourbaki, Vol. 1995/96 , Astérisque No. 241, pp. 273–311, MR 1472543
• Gillet, H.; Soulé, C. (1987), "Intersection theory using Adams operations.", Inventiones Mathematicae, Invent. Math. 90, no. 2, 90 (2): 243–277, Bibcode:1987InMat..90..243G, doi:10.1007/BF01388705, MR 0910201, S2CID 120635826
• Gabber, O. (1995), Non-negativity of serre's intersection multiplicities, Exposé à L’IHES